INFORMATION CHIFFREE

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• Pourcentages
• Pourcentages instantanés
• Pourcentage dévolution
• Approximation en pourcentage
• La notion de taux moyen nest pas au programme

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Pourcentages instantanésquelles difficultés
pour nos élèves?
Les élèves peuvent rencontrer des problèmes de
vocabulaire, de notations, de compréhension et
dinterprétation dénoncés

• Lorsque lon parle de pourcentage instantané, il
  sagit de part, proportion, fréquence, rapport
  dune partie au tout qui mesure la part relative
  à une quantité. Plusieurs expressions sont
  proposées afin que lélève fasse le lien avec ce
  quil peut entendre dans dautres disciplines.

• Le langage courant et les média utilisent le
  mot pourcentage avec des sens divers, ce qui
  entraîne bien souvent confusions et
  incompréhensions chez les élèves comme chez
  beaucoup dadultes.

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• En soi, le pourcentage nest rien dautre quune
  façon décrire les nombres décimaux z / 100
  sécrit z . On lutilise couramment pour écrire
  les fréquences et les taux dévolution.

• Il est important de noter que le taux est un
  nombre. On a donc diverses écritures du même
  nombre
• t 5 / 100 0,05 qui se notera aussi 5 .
• 82 de 1 200 se traduit directement par
  0,82 1 200. Le coefficient multiplicatif, dans
  le cas dun pourcentage dévolution, sera donc (1
  t) et non pas 1 t /100 .

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 Dans tout le programme, mais peut-être plus
encore dans cette partie, on pourra sefforcer de
développer un regard critique de lélève sur les
énoncés qui lui sont proposés.  (document
daccompagnement)
Par exemple,  On ne fait pas dopérations sur
les pourcentages seuls , mais que signifie alors
 pourcentage de pourcentages  ou encore
 somme de pourcentages  ?
Il ne sagit pas dapprendre pour apprendre, mais
de comprendre.
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Pourcentage de pourcentage (Exemple)

• La pension civile des fonctionnaires peut
  bénéficier dune surcote de 0,75 par trimestre
  travaillé, au delà du nombre de trimestres
  permettant dobtenir la pension maximale S (75
  de son dernier traitement S) et de 60 ans

• 4 trimestres supplémentaires apportent 3 de
  plus !
• Mais la pension ne sera pas de 78 de S

• La surcote ne représente pas 3 du dernier
  salaire mais 3 du montant maximal de la pension
  soit
• 0,03 S 0,03 (0,75 S )
• (0,03x0,75)S
• 0,0225 S soit 2,25 de S

Dans une telle situation on parle abusivement
de pourcentage de pourcentage, il ne sagit en
fait que de lassociativité de la
multiplication. Savoir que, si p est la
proportion de A dans E, et p celle de E dans F,
alors la proportion de A dans F est pp.
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Somme de pourcentages

• Dans lexemple précédent on ne peut ajouter 75 à
  3, ces deux pourcentages sappliquent à des
  grandeurs différentes !
• Si p est la proportion dindividus de A dans E et
  si p est la proportion dindividus de B dans E
  et si A et B sont disjoints alors la proportion
  dindividus de AUB dans E est pp

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Structure de lemploi en France, en milliers de
personnes (source Géographie de 1ère Bordas
année 1998, INSEE, Enquête emploi)
Tableau deffectifs à deux caractères
Secteur Emploi Agriculture Industrie Services Total
Salariés 273 4650 13904 18827
Non-salariés 806 608 1291 2705
Total 1079 5258 15195 21532
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Tableau des fréquences par rapport à leffectif
total
Secteur Emploi Agriculture Industrie Services Total
Salariés 1,3 21,6 64,6 87,5
non-salariés 3,7 2,8 6,0 12,5
Total 5,0 24,4 70,6 100

• Les fréquences marginales sont alors les sommes
  des fréquences conjointes par ligne ou par
  colonne (ces pourcentages sappliquent a la même
  quantité leffectif total)

• Ce tableau est un tableau de contingence, les
  deux modalités étudiées permettent de réaliser
  une partition de la population

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Un tableau à deux caractères qui ne réalise pas
de partition de la population nest pas un
tableau de contingence Exemple On sintéresse
aux communes des départements dune région
B A Département 1 Département 2 Département 3 Département 4
École de musique 15 57 53 55
Musée 14 39 18 20
Bibliothèque 73 111 88 101
(Une commune peut à la fois avoir une école de
musique, sa bibliothèque ainsi que son musée)
Les différentes modalités de la variable A ne
permettent pas de réaliser une partition des
communes même si les modalités de la variable B
permettent de le faire
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Évolutions successives

• Deux augmentations successives de x ne sont pas
  équivalentes à une hausse de 2x
• De même une augmentation de x nest pas
  compensée par une réduction de x
• Il faut revenir aux coefficients multiplicateurs
• Une augmentation suivie dune réduction du même
  taux ou une réduction suivie dune augmentation
  du même taux est toujours une réduction

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Approximations dans le cas de faibles
pourcentages

• Pour des valeurs de t proche de 0 on pourra
  approximer deux augmentations successives dun
  même taux t par un taux global de 2t .
• Cette étude pourra être exploitée dans le cadre
  de lutilisation du nombre dérivé .
• Voir à ce sujet fiche 48 deuler
  (http//euler.ac-versailles.fr)

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Interprétation des proportions et comparaison
Attention aux conclusions hâtives

• Pourcentage de reçus aux concours des grandes
  écoles en 1950 et 1993 Polytechnique , HEC, ENS,
  et ENA .
• Pour les deux années observées la population
  concernée (les reçus) représente 0,12 dune
  classe dâge de la population française.
• Parmi les reçus on distingue ceux originaires
  dun milieu populaire et ceux originaires dun
  milieu intellectuel (ceux dont le père a un
  niveau détude supérieur ou égal au baccalauréat
  )

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Etude de deux tableaux Tableau des pourcentages
de reçus suivant les catégories sociales et
tableau de la structure de la société française
Reçus 1950 1993
Milieu populaire 25 9
Milieu intellectuel 60 80
Autres 15 11
Population Française 1950 1993
Milieu populaire 80 60
Milieu intellectuel 5 20
Autres 15 20
Lecture des données En 1950, 25 des reçus sont
issus du milieu populaire et 60 du milieu
intellectuel En 1950, le milieu populaire
représente 80 de la population française et le
milieu intellectuel en représente 5.
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Le premier tableau montre une diminution très
importante des reçus en pourcentage entre les
deux années dans les catégories populaires

• Intéressons nous à la proportion de reçus dans
  un milieu donné à une date donnée
• Quelle est la population de référence ?
• Cest la population dune classe dâge
  française

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• Soit P le nombre dindividus de la classe dâge
  française concernée en 1950
• Les reçus de cette classe dâge constituent
  0,12 de P soit 0,0012P
• Parmi les reçus à cette date 25 sont issus du
  milieu populaire donc représentent 0,25(0,0012)P,
  soit 0,0003P individus ou encore une proportion
  égale à 0,25?0,0012 de P donc 0,03 de la classe
  dâge concernée.
• Le milieu populaire en 1950 représente 80 de P,
  soit 0,8P.
• La proportion de reçus dans le milieu populaire
  en 1950 est donc de 0,0003P 0,8P soit 0,000375
  donc 0,0375
• Cet exemple sera étudié à laide de fréquence
  conditionnelle soit fA(R) où R représente les
  reçus et A la classe dâge de milieu populaire

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Quelles sont les proportions de reçus à
lintérieur de chaque catégorie sociale ?
1950 1993
Milieu populaire 0,0375 0,018
Milieu intellectuel 1,44 0,48
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Remarques

• La situation des jeunes de milieu intellectuel
  sest plus dégradée que celle des milieux
  populaires
• Il est deux fois plus difficile de faire partie
  des reçus dans le milieu populaire et trois fois
  plus difficile dans le milieu intellectuel
• La variable cachée est lévolution considérable
  de la société française dans ces trois catégories
  
• Le raisonnement pourrait être affiné en
  sintéressant à des sous-catégories dans la
  population concernée

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Exemples de ressources

• Dans le domaine socio-économique, il existe sur
  Educnet des TP conçus pour les professeurs de SES
  en liaison avec lINSEE très utiles pour la
  lecture de tableaux
• www.educnet.education.fr/insee/emploi/pcs/pcsaccue
  il.htm

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Site http//euler.ac-versailles.fr

• 245 tableau deffectifs et calcul de
  pourcentage (apprentissage )
• De 874 à 876 part de sous population en
  pourcentage (apprentissage )
• De 877 à 888 pourcentages dévolution ,
  évolutions successives (Apprentissage)
• De 892 à 903 ( Générateur dexercices)
• De 1157à 1164 effectifs et part en pourcentage
  de réunion et intersection de sous population
  (apprentissage )
• De 889 à 891 ( générateur dexercice)
• De 1218 à 12315 (Générateur dexercices)