Test des Machines de Mealy

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Test des Machines de Mealy
Master 2 Recherche SL Méthodes de test 

• Stavros Tripakis
• Laboratoire Verimag

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Les machines à entrées/sorties synchrones
(machines de Mealy)
sorties
entrées
Entrées e1 e2 e3
Fonctionnement
Sorties s1 s2 s3
3
Un exemple de machine
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Objectif test de conformité
Spécification
Implémentation
Boite noire
Modèle
Est-elle conforme à A ?
Se comporte-t-elle comme A ?
5
Possibilités et impossibilités
a/0
s1
b/1
Comment tester la conformité pour cette
spécification ?
Conformité Isomorphisme
6
Un exemple un peu plus compliqué
Spécification
Est-ce correct ?
7
Pas tout à fait
Spécification
Machine B
b/1
t1
a/0
a/1
t2
b/1
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Plan du cours

• Rappel sur les machines de Mealy
• Problèmes didentification détat
• Séquences  homing  et  synchronizing 
• Séquences  distinguishing 
• Séquences  UIO 
• Existence, construction, longueur, complexité
• Test de conformité

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Machines de Mealy formalisation et rappel de
notions
M (I, O, S, ?, ?)

• Ensemble détats fini
• Déterministe et complète

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Machines de Mealy formalisation et rappel de
notions
M (I, O, S, ?, ?)

• Exemple
• Table des transitions
• Notation

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Machines de Mealy formalisation et rappel de
notions
M (I, O, S, ?, ?)

• Équivalence des états, séquences  separating 
• Machines minimales
• Algorithme de minimisation
• Machines équivalentes
• Machines isomorphes
• Machines fortement connexes

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Plan du cours

• Rappel sur les machines de Mealy
• Problèmes didentification détat
• Séquences  homing  et  synchronizing 
• Séquences  distinguishing 
• Séquences  UIO 
• Existence, construction, longueur, complexité
• Test de conformité

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Problèmes didentification détat

• La machine est connue, son état est inconnu
• Plusieurs types de problèmes
•  homing  identifier létat final
•  synchronizing  mener vers un état donné
•  distinguishing  identifier létat initial
•  UIO  ( unique I/O ) vérifier létat
  initial
• Ca va servir pour le test de conformité

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Exemple séquences homing et synchronizing (1)
La séquence  a  est homing. Elle est aussi
synchronizing.
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Exemple séquences homing et synchronizing (2)
Cette machine est minimale (pourquoi ?)
Homing a b (dautres ?)
Pas de synchronizing (pourquoi ?)
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Exemple séquences homing et synchronizing (3)
Pas de homing/synchronizing
Homing/synchronizing a
s1
a/1
a/1
s2
Ces machines ne sont pas minimales (pourquoi ?)
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Séquences homing et synchronizing des faits

• Toute séquence synchronizing est aussi une
  séquence homing
• mais pas linverse.
• Machines non-minimales peuvent avoir ou ne pas
  avoir des séquences homing/synchronizing.
• Toute machine minimale a une séquence homing
• mais elle peut ne pas avoir de synchronizing.

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Comment trouver des séquences homing le
 successor tree (pour machines minimales)
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Existence des séquences homing(pour machines
minimales)

• Toute machine minimale avec n états a une
  séquence homing de longueur

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Longueur des séquences homing

• Il existe des machines qui nécessitent une
  séquence de longueur
• (exercice)

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Comment trouver des séquences synchronizing (sil
en existe)

• Utiliser le  successor tree 
• Modifications
• Ignorer les sorties
• Arrêter lexploration quand on tombe sur une
  boucle
• Arrêter quand on trouve un nœud singleton
  séquence synchronizing trouvée !

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Exemple synchronizing
(s1, s2)
a
b
(s1)
(s1, s2)
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Exemple pas de synchronizing
(s1, s2, s3)
a
b
(s1, s2, s3)
(s1, s2, s3)
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Exercice
entrées
0 1
A B, 0 D, 0
B A, 0 B, 0
C D, 1 A, 0
D D, 1 C, 0
états

• Trouver si la machine a une synchronizing

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Longueur des séquences synchronizing

• Si une séquence synchronizing existe, alors il
  existe une de longueur
• Il existe des machines qui nécessitent une
  séquence de longueur
• (exercices)

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Plan du cours

• Rappel sur les machines de Mealy
• Problèmes didentification détat
• Séquences  homing  et  synchronizing 
• Séquences  distinguishing 
• Séquences  UIO 
• Existence, construction, longueur, complexité
• Test de conformité

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Exemple une séquence distinguishing

• La séquence  a  est distinguishing
• Si on observe  0 , on était à s1
• Si on observe  1 , on était à s2

Toute séquence distinguishing est aussi une
séquence homing (pourquoi ?)
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Exemple pas de séquence distinguishing (machine
non-minimale)
Une machine non-minimale ne peut avoir de
séquence distinguishing (pourquoi ?)
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Exemple pas de séquence distinguishing (machine
minimale)

• Ca ne peut pas commencer par a,
• Ca ne peut pas commencer par b,
• M4 est minimale (pourquoi ?)

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Comment trouver des séquences distinguishing
(sil en existe)

• Utiliser le  successor tree  pour homing
• Modifications
• Arrêter lexploration quand on tombe sur une
  boucle
• Arrêter lexploration quand on tombe sur un nœud
  avec deux mêmes états dans un block
• Arrêter quand on trouve un nœud avec que des
  singletons séquence distinguishing trouvée !

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Exemple distinguishing
32
Exemple pas de distinguishing
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Des tests  adaptatifs 
M5 est minimale (pourquoi?)
M5 na pas de séquence distinguishing (pourquoi?)
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Tests adaptatifs des faits

• Tout test non-adaptatif peut être vu comme
  adaptatif.
• Il existe des machines qui ont un distinguishing
  adaptatif mais pas de distinguishing
  non-adaptatif.
• La longueur des adaptatifs est inférieure (dans
  le pire cas polynomiale vs. exponentielle pour
  les non-adaptatifs).
• Ladaptation ninfluence pas lexistence de
  séquences synchronizing (pourquoi ?)

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Plan du cours

• Rappel sur les machines de Mealy
• Problèmes didentification détat
• Séquences  homing  et  synchronizing 
• Séquences  distinguishing 
• Séquences  UIO 
• Existence, construction, longueur, complexité
• Test de conformité

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Exemple séquence UIO

• La séquence  a  est UIO pour s1
• Si on observe  0 , on était à s1
• Si on observe  1 , on nétait pas à s1

Sil existe un test distinguishing alors il
existe une séquence UIO pour tout état (pourquoi
?)
Une séquence UIO peut ne pas exister pour un ou
plusieurs états (pourquoi ?)
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Exemple séquence UIO

• La séquence  a  est UIO pour s1
• Si on observe  0 , on était à s1
• Si on observe  1 , on nétait pas à s1

Ladaptation influence-t-elle lexistence de
séquence UIO ?
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Exemple séquence UIO

• La séquence  a  est UIO pour s1
• Si on observe  0 , on était à s1
• Si on observe  1 , on nétait pas à s1

Exercice proposer une méthode pour chercher des
séquences UIO
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Complexité

• Les algorithmes basés sur le  successor tree 
  sont chers exponentiels.
• Peut-on faire mieux ?

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Complexité homing/synchronizing

• Les problèmes dexistence et construction sont
  polynomiaux.
• Idée utiliser la preuve sur la longueur de
  homing pour nexplorer quun seul chemin dans le
  successor tree.

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Complexité homing/synchronizing

• Trouver les séquences les plus courtes est un
  problème difficile NP-dur.
• Réduction du problème 3SAT au tableau !

Est-ce que jai triché ?
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Complexité distinguishing

• Trouver une séquence non-adaptative (sil y en a)
  est difficile PSPACE-dur.
• Réduction du problème  Intersection dAutomates
  Finis .
• Trouver des séquences adaptatifs est  facile 
  polynomial.

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Complexité UIO

• Les problèmes suivants sont PSPACE-complets
• Est-ce quun état s de M a une séquence UIO ?
• Est-ce que tout état de M a une séquence UIO ?
• Y a-t-il des états de M qui possèdent une
  séquence UIO ?

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Plan du cours

• Rappel sur les machines de Mealy
• Problèmes didentification détat
• Séquences  homing  et  synchronizing 
• Séquences  distinguishing 
• Séquences  UIO 
• Existence, construction, longueur, complexité
• Test de conformité

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Objectif test de conformité
Spécification
Implémentation
Boite noire
Modèle
B conforme à A?
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Objectif test de conformité
Spécification
Implémentation
Boite noire
Modèle
B équivalente à A ?
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Hypothèses

• Le nombre d'états de B est ? k
• pour commencer, k nombre d'états de A
• A est minimale
• si elle ne lest pas, on peut toujours la
  minimiser sans changer la spécification
• A est fortement connexe
• sinon, on ne peut pas tout tester - pourquoi ?

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Objectif test de conformité
Spécification
Implémentation
Boite noire
Modèle
B isomorphe à A ?
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Méthode

• Deux phases
• Mener B vers un état donné
• Pour cela on va utiliser des séquences homing ou
  synchronizing
• Parcourir toutes les transitions de B et vérifier
  quelles produisent les bonnes sorties
• Pour cela on va utiliser des séquences
   checking 
• Pour produire des séquences checking, on peut
  utiliser des séquences distinguishing, UIO, ou
  dautres
• Le test final est la concaténation de ces tests.

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Première phase mener B vers un état donné s

• Si A a une séquence synchronizing vers s,
  utiliser cette séquence.
• Si A na pas de séquence synchronizing
• utiliser une séquence homing pour aller vers un
  état connu
• utiliser une séquence de transfert pour aller
  vers s (pourquoi cest toujours possible ?)
• Séquence de transfert ?(s1,s2) une séquence qui
  mène de l'état s1 à l'état s2.

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Première phase exemple 1
Machine A
Et pour l'état s2 ?
52
Première phase exemple 2
Pas de séquence synchronizing
53
Première phase exemple 2
Le test de la première phase est en général
adaptatif
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Séquences  checking 

• Étant donnés une machine A avec n états et un
  état s de A,
• Une séquence dentrées x est une séquence
  checking pour (A, s) ssi
• Pour toute machine B avec n états, si B nest
  pas isomorphe à A, alors pour tout état s de B

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Séquences checking quelques faits

• On peut toujours construire une séquence checking
  pour une machine minimale
• En utilisant des séquences  identifying 
• Problème longueur peut être exponentielle
• Sil en existent, on peut aussi utiliser des
  tests distinguishing (adaptatifs ou pas)
• Longueur de la séquence checking polynomiale
  sur la longueur du test distinguishing et la
  taille de A

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Construction dune séquence checking à partir
dune séquence distinguishing (I)

• Objectif vérifier que B a n états distincts
• Supposons
• x une séquence distinguishing pour A
• s1 l'état initial de A (après la première
  phase)
• ti ?(si, x)
• Séquence (I)

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Exemple (I)
Spécification
Séquence distinguishing a
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Construction dune séquence checking à partir
dune séquence distinguishing (II)

• Objectif vérifier toute transition de B
• Pour chaque transition
• Mener la machine à l'état si
• Appliquer lentrée a et observer la sortie o
• Vérifier que l'état destination est bien sj
• Pour ce faire, appliquer la séquence (II)

(t est l'état de départ, après la séquence
précédente)
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Exemple (II)
Spécification
Séquence distinguishing a
Séquence (II) pour
a b b a
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Et sil ny a que de tests distinguishing
adaptatifs ?
Pour chaque état si, définir une séquence xi le
chemin de larbre
x1 a a b a b a
x6 a b a
61
Longueur de la séquence checking
lt longueur de séquence de transfert lt n
ld longueur de séquence distinguishing
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Exercice

• Trouver un test de conformité pour la machine

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La vie plus facile les machines avec  status 
ou  reset 

• Status dévoile l'état de la machine
• Un  self-loop  à chaque état  si  de A avec
  une entrée  status  qui donne une sortie
   si .
• Reset amène la machine dans un état donné
• Une transition de chaque état de A vers un état
   s1  avec entrée  reset  (peu importe la
  sortie).
• Hypothèse  status  et  reset  fonctionnent
  correctement dans la machine B ( reliable ).

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Les machines avec  status 

• Pour construire une séquence checking
• Trouver un chemin qui parcourt toutes les
  transitions de la machine A.
• Appliquer lentrée  status  entre chaque deux
  autres entrées.
• Exemple
• Chemin (à partir de s1) a b a b b
• Checking s a s b s a s b s b s
• (entrée  s  implicite)

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Les machines avec  reset 

• Pour construire une séquence checking
• Trouver un  spanning tree  T
• Pour chaque état
• Appliquer  reset , puis le chemin de T qui mène
  vers cet etat
• Vérifier l'état à laide dune séquence
  distinguishing
• (ça vérifie aussi les transitions de T)
• Vérifier les transitions restantes
• Exemple
• T s1 -gt s2
• Pour s1 r a
• Pour s2 r b a
• Puis r b b
• (entrée  r  vers s1 implicite)

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La vie plus difficile k n u(k borne sur
le nombre d'états de B)

• Le test devient beaucoup plus  cher 
• Si le nombre d'entrées est p, alors la longueur
  du test est
• Exemple

La machine B est un  combination lock 
Machine B
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Questions ?
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Conclusions

• Modèle machines de Mealy
• Simple, bon pour les circuits
• Entrées/sorties  synchrones 
• Théorie bien développée
• Algorithmes, propriétés, complexité

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Bibliographie

• Zvi Kohavi,  Switching and finite automata
  theory , 2nd edition, 1978, McGraw-Hill, Chapter
  13.
• David Lee and Mihalis Yannakakis,  Principles
  and methods of testing finite-state machines A
  survey , Proceedings of the IEEE, vol.84, no.8,
  August 1996.

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Pour aller plus loin

• Dautres modèles
• Machines non-déterministes
• Machines avec entrées/sorties  asynchrones 
• Machines étendues avec variables
• Automates temporisés
• Machines probabilistes
• Dautres relations de conformité
• Dautres techniques de génération et sélection
  des tests
• Algorithmes randomisés
• Couverture