REFERANSLAR YAGER, Ronald R. and ZADEH, Lotfi A.(1998). An

1

• REFERANSLAR
• YAGER, Ronald R. and ZADEH, Lotfi A.(1998). An
  Introduction to Fuzzy Logic Applications In
  Intelligent Systems, 5th Edition, Kluwer Academic
  Publishers, USA
• BUCKLEY, James J., ESLAMI, Esfandiar, FEURING,
  Thomas (2002), Fuzzy Mathematics in Economics and
  Engineering,Physica-Verlag, Germany
• ORAL, Gülsüm (1989), Dogrusal Olmayan
  Programlama, Akademi Matbaasi, Ankara
• BAKIR, M. Akif ve ALTUNKAYNAK, Bülent (2003),
  Tamsayili Programlama, Nobel Yayin Dagitim,
  Ankara
• TAHA, Hamdy A. (Çevirenler BARAY, S. Alp ve
  ESNAF, Sakir) (2005), Yöneylem Arastirmasi, 5.
  Basim, Literatür Yayincilik, Istanbul.

2
OPTIMIZASYONA GIRIS Tek ya da çok degiskenin
sayisal bir fonksiyonu ile ilgili maksimum ya da
minimum degerleri arastiran problemlere
optimizasyon problemleri denir. Literatürde
optimizasyon problemleri yerine matematiksel
programlama problemleri de kullanilmaktadir. Bir
optimizasyon problemi
gi(x1,x2,,xn),,bi i1,2,,m
(1.1) bagintilarini saglayan ve
f(x1,x2,,xn)
(1.2) fonksiyonunu
maksimum ya da minimum yapan (x1,x2,,xn)
degerlerini yani optimal noktayi arar. (1.1)
bagintilarina kisit (1.2) fonksiyonuna ise amaç
fonksiyonu adi verilir.
3

• Degisken sayisi n ile kisit sayisi m arasinda
  herhangi bir iliski bulunmamaktadir. Kisit sayisi
  m, degisken sayisi nden küçük, büyük ya da ona
  esit olabilir. m0 ise problem, kisitsiz
  programlama problemi adini alir.
• Bir optimizasyon probleminde, amaç fonksiyonuyla
  kisitlarin bazilari ya da tümü dogrusal olmayan
  ifadelerse, probleme, dogrusal olmayan
  programlama problemi adi verilir.
• Herhangi bir f(x) fonksiyonunun minimum noktasi
  x ise, ayni nokta fonksiyonun negatifi olan
  f(x)in maksimumudur. O halde, bir fonksiyonun
  maksimumu, ayni fonksiyonun negatifinin minimumu
  hesaplanarak da bulunabilir. Böylece, bir
  dogrusal olmayan programlama probleminin tanimi,
  bir minimum problemi üzerinden yapilirsa,
  genellikten bir sey kaybedilmeyecektir.

4

• Bu açiklamalardan sonra bir dogrusal olmayan
  programlama problemi vektörel olarak asagidaki
  sekilde ifade edilebilir
• Min f(X)
• gi(X)0 i1,2,,t
• hi(X)0 it1,,m
• Problemde
• Xx1,x2,,xnt ?Tasarim vektörü
• x1,x2,,xn ?Karar degiskenleri
• gi(X) ? Esitsizlik kisitlari
• hi(X) ? Esitlik kisitlari

5

• gi(X) 0 esitsizlik kisitlarini içeren bir
  problemi göz önüne alalim. gi(X)0 denklemini
  saglayan X vektörlerinin kümesi, tasarim uzayinda
  bir çok boyutlu yüzey (hyper surface) olusturur.
  Bu yüzeye kisit yüzeyi (constraint surface)denir.
  Kisit yüzeyi, tasarim uzayini ikiye böler.
  Bunlardan birinde gi(X)lt0, digerinde gi(X)gt0
  olur.
• gi(X)lt0 olan bölgedeki noktalar uygun ya da kabul
  edilebilir noktalardir. gi(X)gt0 olan bölgedeki
  noktalar ise uygun degildir ya da kabul edilemez
  noktalardir.
• gi(X)0 kisit yüzeyleri topluluguna bilesik kisit
  yüzeyi (composite constraint surface) denir.

6

• Bir ya da daha fazla kisit yüzeyinde
  bulunan bir tasarim noktasina sinir noktasi
  (bound point) adi verilir. Herhangi bir kisit
  yüzeyinde yer almayan nokta ise serbest nokta
  (free point) olarak adlandirilir.
• ÖRNEK Iki boyutlu tasarim uzayinda
• Min f(X)x12 x2
• g1(X)x12 x22 -90
• g2(X)x1 x2 -10
• g3(X)2x1 x2 -20
• seklinde bir dogrusal olmayan programlama
  problemi verilsin. Bu problem için kisit
  yüzeyleri, bölgeler ve noktalari bir sekil
  üzerinde gösterelim.

7
Uygun sinir noktasi
Sekil 1. 2 boyutlu tasarim uzayinda kisit
yüzeyleri
8

• Bir f(X) amaç fonksiyonunu göz önüne alalim. c
  bir sabit olmak üzere f(X)cyi saglayan tüm
  noktalar bir çok boyutlu yüzey olusturacaktir ve
  degisik c degerleri için bir yüzeyler kümesi
  meydana gelecektir. Bu yüzeyler, amaç fonksiyonu
  yüzeyleri ya da amaç fonksiyonu çevritleri
  (contour)olarak adlandirilmaktadir.
• Bir dogrusal olmayan programlama probleminde,
  tasarim degiskenlerinin sayisi 2 ya da 3 ise,
  kisit yüzeyleri ve amaç fonksiyonu yüzeyleri
  çizilerek optimal nokta bulunabilir. Eger
  problemde degisken sayisi 3ten fazla ise,
  geometrik yoldan çözüm elde edilemez. Bu durumda
  matematiksel çözüm yapilir.
• Dogrusal olmayan programlama problemlerinin
  hepsini çözen genel bir yöntem bulunmamakla
  birlikte, degisik tipteki dogrusal olmayan
  programlama problemlerinin çözümü için farkli
  yöntemler bulunmaktadir.

9
DIS BÜKEY KÜMELER S kümesi verilmis olsun. S
kümesinin Ende bir disbükey küme olmasi için her
x1,x2?S ve ??0,1 olmak üzere ?x1(1-?)x2
seklindeki bir dogru parçasinin S kümesine dahil
olmasi gerekmektedir.. x ?x1(1-?)x2, ??0,1
seklindeki x noktalari, x1 ve x2 noktalarinin
disbükey kombinasyonu olarak ifade edilirler.
Disbükey küme
Disbükey olmayan küme
10
HIPER YÜZEYSx pTxa p?En, a?E' Sifir
olmayan p vektörü, hiper yüzeyin normali olarak
adlandirilir. a bir skaler sayidir. YARIM UZAY
Sx pTxa p?En, a?E'
Uzay
AÇIK YARIM UZAY Sx pTxlta p?En, aE'
11
Hiper yüzey
12
(No Transcript)
13

• ÇOK YÜZLÜ UZAY
• Sx Axb A mxn matris b m boyutlu vektör
• ÇOK YÜZLÜ KONI
• Sx Ax0 A mxn matristir.
• a1,a2,,amEn vektörleri üzerine çekilmis koni

noktasinin egt0 etrafi
, Ende sabit bir vektördür.
14
(No Transcript)
15
(Çokyüzlü koni)
16
Ayirici Hiper Yüzey S1 ve S2, Enin birer alt
kümesi oldugunu ve S1nS2Ø kosullarini saglayan
S1 ve S2 kümelerinin mevcut oldugunu farz edelim.
Eger, Hx pTxa yüzeyi bu iki kümeyi ayirirsa
yani,
olursa H ayirici hiper yüzey olarak adlandirilir.
kosullarini saglayan
17
(No Transcript)
18
Farkas Teoremi A, mxn boyutlu matris ve c, n
boyutlu vektör olsun. Bu verilenlerle, asagidaki
sistemlerden yalnizca birisi çözülebilir Sistem
1 Ax0, ctxgt0, x?En. Burada c, asagidaki
gibidir.
Sistem 2 Atyc, y0, y ? Em
19

• Açiklama Farkas teoremi, dogrusal ve dogrusal
  olmayan programlama problemlerinin optimallik
  kosullarinin türetiminde yogun olarak
  kullanilmaktadir. Teoreme göre verilen iki
  sistemden sadece birinin bir çözüme sahip oldugu
  belirtilmektedir. Atnin sütunlarini a1,...,am
  ile gösterdigimizde, eger c vektörü a1,...,am ile
  olusturulan disbükey huni içerisinde yer aliyorsa
  Sistem 2 bir çözüme sahiptir.

20

• Eger xAx0 seklinde temsil edilen kapali
  disbükey huni ve xctxgt0 ile temsil edilen bir
  açik yarim uzayin kesisimi bos küme degilse
  Sistem 1 bir çözüme sahiptir.

21

• Gordan Teoremi
• A, mxn boyutlu matris ise asagidaki sistemlerden
  yalnizca birisi çözülebilir.
• Axlt0, x?En
• Aty0, y0, y?Em
• x1,x2?S ?(0,1) olmak üzere eger x?S noktasinin
  x?x1(1-?)x2, seklinde yazilisi yalniz xx1x2
  halinde dogruysa, x noktasi, S kümesinin uç
  (extremal) noktasi adini alir. Baska bir deyisle,
  eger x bir extremal nokta ise bu noktayi,
  kendisinden farkli noktalarin disbükey
  kombinasyonlari seklinde yazmak olamaz.
• Örnegin, S xAxb, x0 kümesi verilmis olsun.
  A matrisinin AB,N matrislerine ayrilabilmesi
  ancak ve ancak xin S kümesinde bir ekstremal
  nokta olmasi ile mümkündür. Burada B, mxm boyutlu
  ve tersi olan bir matristir.
• Eger S, sinirsiz kapali bir disbükey küme ise ve
  bir d vektörü için, her ?0 ve x?S olmak üzere
  x?d ?S kosulu saglanirsa, bu vektör, S kümesinde
  bir yön belirlemis olur..

22

• DISBÜKEY FONKSIYONLAR
• Eger fS?E¹ fonksiyonu, her x1, x2?S ve her ?
  ?0,1 için
• f?x1(1-?)x2 ?f(x1)(1-?)f(x2)
• kosulunu saglarsa, f fonksiyonu disbükey
  fonksiyon adini alir. Burada S, disbükey kümedir.
  
• Her x1?x2 ve ? ?0,1 iken
• f?x1(1-?)x2lt?f(x1)(1-?)f(x2)
• esitsizligi ciddi olarak saglanirsa, f, ciddi
  disbükey fonksiyon olarak adlandirilir. Eger f
  ciddi disbükey fonksiyon ise, -f fonksiyonu ciddi
  içbükey fonksiyon adini alir.
• Birçok durumda, fonksiyonun disbükeylik kosulu,
  daha zayif olan quasi disbükey veya pseudo
  disbükey anlayislariyla degistirilebilir. S?En
  disbükey kümeyi göz önüne alalim. x1, x2?S için
• f?x1(1-?)x2maxf(x1),f(x2), ??(0,1)
  (2)
• kosulu saglanirsa, f fonksiyonu quasi disbükey
  fonksiyon adini alir.

23
(No Transcript)
24

• f(x1)?f(x2) oldugunda (2) esitsizligi ciddi
  olarak saglanirsa, bu durumda f fonksiyonu ciddi
  quasi disbükey fonksiyon olarak adlandirilir.
• Eger (2) esitsizligi x1?x2 olmasi halinde ciddi
  olarak saglanirsa, bu durumda fonksiyon güçlü
  quasi disbükey fonksiyon olarak adlandirilir.
• SCEn Ede bos olmayan bir açik disbükey küme
  olsun. x1, x2?S için

kosulunun saglanmasi ancak ve ancak f(x2)f(x1)
kosulunun saglanmasiyla mümkündür. Bu durumda f
fonksiyonu pseudo disbükey fonksiyon adini
alir. Her x1,x2?S için x1?x2 olmasi durumunda
(3) esitsizligi ciddi olarak saglanirsa,
f(x2)gtf(x1) olur. Bu durumda f fonksiyonu ciddi
pseudo disbükey fonksiyon olarak adlandirilir.
Yukaridaki bütün tanimlar, -f fonksiyonu için
saglandiginda, iç bükeylik durumu meydana gelir.
25
(No Transcript)
26

• CIDDI DISBÜKEY FONKSIYONLARIN
• ÖZELLIKLERI
• f fonksiyonu int Ste süreklidir. int S, Sin
  içerigi demektir.
• (x,y) x?S, yf(x) kümesi disbükeydir.
• x?S f(x)a her bir reel a sayisi için
  disbükey kümedir.
• Diferansiyellenebilir f fonksiyonu ancak ve ancak
  o zaman ciddi disbükey olur ki

saglanmis olsun.
27
(No Transcript)
28
Ciddi disbükey fonksiyonlarin özellikleri
(Devam) Eger nxn boyutlu simetrik A matrisi için
x?En, x?0 oldugunda, xtAxgt0 saglanirsa, A,
pozitif belirli matris olarak adlandirilir.
xtAx0 saglanirsa, A, pozitif yarim belirli
matris olarak adlandirilir. xtAxlt0 veya xtAx 0
oldugu durumlarda ise A matrisi sirasiyla negatif
belirli matris ve negatif yarim belirli matris
olarak adlandirilir. A matrisinin pozitif
belirli, pozitif yarim belirli, negatif belirli
ve negatif yarim belirli olmasi için onun
özdegerlerinin sirasiyla pozitif, negatif
olmayan, negatif ve pozitif olmayan olmasi
gerekir.
29
Ciddi disbükey fonksiyonlarin özellikleri
(Devam) Orta Deger Teoremi S?En bos olmayan
açik disbükey küme, fS?E¹ diferansiyellenebilir
bir fonksiyon olsun.

• esitligi belirli bir x?x1(1- ?)x2, ??(0,1) için
  saglanir.
• xCS kümesinde f fonksiyonunun her bir yerel
  minimumu, ayni zamanda onun tek bir global
  minimumu olur.

noktasi, f fonksiyonunun S kümesindeki tek bir
global

• minimum noktasidir.
• f fonksiyonu, kompakt çok yüzlü XCS kümesinde
  (kompakt küme, kapali ve sinirli SCEn kümesidir)
  maksimum degerine bu X kümesinin ekstremal
  noktasinda ulasir.

30
(No Transcript)
31

• PSEUDO DISBÜKEY FONKSIYONLARIN ÖZELLIKLERI
• x?S f(x)a kümesi her bir reel a degeri için
  bir disbükey kümedir.
• f fonksiyonunun XCS kümesindeki her bir yerel
  minimum noktasi, ayni zamanda onun global minimum
  noktasi olur.

noktasi X kümesinde, f(X) fonksiyonunun global
minimum noktasidir.

• f fonksiyonu, kompakt çok yüzlü XCS kümesinde
  maksimum degerine
• bu X kümesinin ekstremal noktasinda ulasir.

32

• QUASI DISBÜKEY FONKSIYONLARIN ÖZELLIKLERI
• f fonksiyonu ancak ve ancak o zaman quasi
  disbükey olur ki
• x?S f(x)a kümesi her bir reel a degeri
  için bir disbükey olsun.
• f fonksiyonu kompakt çok yüzlü XCS kümesinde
  maksimum degerine, bu X kümesinin extremal
  noktasinda ulasir.
• Diferansiyellenebilir f fonksiyonu ancak ve ancak
  o zaman quasi disbükey olur ki,