5' Estabilidad de sistemas de control

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5. Estabilidad de sistemas de control
5.1 El concepto de estabilidad Un sistema
dinámico lineal e invariante en el tiempo se dice
estable si cualquier entrada acotada
produce una salida acotada
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Teorema. Un sistema es estable si donde h(t) es
la respuesta al impulso del sistema. Teorema. Un
sistema con función de transferencia H(s) es
estable si y solo si los polos de H(s) tienen
parte real negativa, esto es, si y solo si los
polos de H(s) están ubicados en la parte
izquierda del plano complejo.
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5.2 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus
raíces tienen parte real negativa. Si es la
función de transferencia de un sistema, entonces
el sistema es estable si el polinomio d(s),
conocido como el polinomio característico del
sistema, es Hurwitz.
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• Criterio de Routh-Hurwitz
• Sirve para determinar si un polinomio a(s) es
  Hurwitz o no.
• Considere el polinomio a(s) de grado n escrito en
  la forma
• donde los coeficientes son números reales.
  
• Se supone que es decir a(s) no tiene
  raíces en s0.
• 2. Si alguno de los coeficientes es cero o
  negativo en presencia de al menos un coeficiente
  positivo, entonces el polinomio a(s) tiene raíces
  puramente imaginarias, o que tienen parte real
  positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

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3. Si todos los coeficientes son positivos (o
todos negativos) y diferentes de cero, construya
el siguiente arreglo
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donde Se continua de esta forma hasta que
la n-ésima fila del arreglo ha sido completada.
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El criterio de Routh-Hurwitz establece que el
número de raíces de a(s) con parte real positiva
es igual al número de cambios de signo de los
coeficientes en la primera columna del
arreglo. Entonces, el polinomio a(s) es Hurwitz
si y solo si y
todos los coeficientes en la primera columna del
arreglo son positivos.
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• Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz
• El primer elemento de una fila es cero, y es el
  único elemento de la fila, o los demás elementos
  de la fila son diferentes de cero.
• En este caso, el cero es reemplazado por un
  número positivo muy pequeño ? y se continua con
  el cálculo del arreglo.
• Si el signo del coeficiente arriba del cero (?)
  en el arreglo es el mismo que el de abajo,
  entonces el polinomio a(s) tiene un par de raíces
  imaginarias. En caso contrario, esto es, si el
  signo del coeficiente arriba del cero (?) es
  diferente que el de abajo, entonces el polinomio
  a(s) tiene 2 raíces con parte real positiva.

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• Si todos los coeficientes de una fila son cero,
  entonces el polinomio a(s) tiene raíces de igual
  magnitud y opuestas en el plano s, esto es, 2
  raíces de igual magnitud y de signo contrario, o
  2 raíces imaginarias conjugadas.
• En este caso, el arreglo de los coeficientes
  puede ser completado formando un polinomio
  auxiliar con los coeficientes de la fila anterior
  y usando los coeficientes de la derivada de este
  polinomio en la siguiente fila. Las raíces de
  igual magnitud y opuestas en el plano s
  corresponden a las raíces del polinomio auxiliar.
  

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El criterio de Routh-Hurwitz también puede usarse
para estudiar la estabilidad relativa de un
sistema esto es, si el sistema es estable, qué
tan cerca está de ser inestable. Nos interesa
saber en este caso si el polinomio a(s) tiene
raíces a la derecha de la línea s-?, donde ? es
una constante. Para ello hacemos la substitución
en a(s) y aplicamos el criterio de
Routh-hurwitz al polinomio El número de
cambios de signo en la primera columna del
arreglo construido para es igual al número
de raíces de a(s) a la derecha de la línea s-?.