Cdigos de Ncuerpos

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Códigos de N-cuerpos

• Son códigos númericos para buscar soluciones a
  las ecuaciones del movimiento para N partículas
  en interacción gravitacional.
• En astrofísica son muy usados para estudiar
  problemas de mecánica celeste, sistemas estelares
  densos (e.g. cúmulos globulares) la influencia de
  agujeros negros, dinámica de galaxias y
  cosmología
• El problema queda descrito de la siguiente
  manera
• Cada partícula experimenta una aceleración que
  surge de la atracción gravitacional de todo el
  resto de partículas del sistema
• La descripción del problema se completa
  especificando las velocidades y posiciones
  iniciales de las N partículas

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Códigos de N-cuerpos

• El problema se divide en dos partes
• 1-calcular la fuerza neta en cada partícula en
  un determinado momento
• 2-determinar la nueva posición y velocidad de la
  partícula en un nuevo tiempo tdt
• Debido a la no linearidad del problema las
  singularidades que aparecen cuando las distancias
  entre partículas se acerca a 0 (grandes
  velocidades) dependen de las condiciones
  iniciales intervalos de tiempo
  constantes pueden resultar en aceleraciones no
  fisicas en encuentros cercanos entre partículas
  (intervalos de tiempo adaptativos!)

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Códigos de N-cuerpos

• Una manera para evitar la singularidad es no usar
  partículas puntiformes, si asumimos que las
  partículas son objetos extendidos.

Donde e es la longitud de suavizado, es la
distancia típica en la cual la interacción es
alterada. En este caso no debemos ver las
partículas como estrellas o planetas si no como
grupos de objetos, que ocupan el mismo volumen en
el espacio de fase. Este método funciona para
sistemas como galaxias en los que los procesos
colisionales no son importantes.
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Códigos de N-cuerpos

Cuando el numero de partículas es menor de 2000
partículas podemos calcular las fuerzas sumando
directamente las fuerzas de cada par de
partículas. Es decir, en cada momento tenemos que
evaluar la suma i1,.,N de las fuerzas a las que
la partícula j esta sujeta, es decir 0.5N(N-1)
veces!! Si consideramos que en 1 segundo
evaluamos las fuerzas en un instante determinado
de N104 necesitaremos mas de una semana para
evaluar las fuerzas en un sistema de N107!!
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Códigos de N-cuerpos
Si el numero de partículas es pequeño (N3)
estamos probablemente interesados en el
comportamiento preciso de las orbitas durante
muchos periodos orbitales gtgt 105 años

el método de integración más simple métodos de
Euler (instables) Runge-Kutta a pesar de ser un
método de muy fácil implementación y estandard en
la aproximación de ecuaciones diferenciales, el
error del RK4 es del orden del intervalo (h) h5 y
el error total acumulado h4. Necesitamos control
sobre el intervalo de tiempo, podemos usar un RK4
adaptativo.
http//faculty.ifmo.ru/butikov/Projects/Collection
2.html
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Códigos de N-cuerpos

En simulaciones astrofísicas estamos
probablemente interesados en intervalos de tiempo
tanto pequeños como mas grandes, e.g. en un
cúmulo globular las estrellas binarias del centro
del cúmulo tienen periodos medidos de horas,
mientras que las estrellas en las afueras del
cúmulo, tardan millones de años en en cruzar el
cúmulo de un lado a otro.
Simon Portegies Zwart (Leiden University),
GRAPE4 N6144 1 seg pocos miles de años
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Códigos de N-cuerpos

Para problemas de pocas partículas, en las que se
requiera gran precisión en el calculo orbital
(e.g. si estamos interesados en como las orbitas
de un planeta se alteran al paso de una estrella
cerca del sistema solar) se usa el integrados
Bulirsch-Stoer. Usa un sistema adaptativo para el
intervalo de tiempo y lidia bien con los
encuentros cercanos de dos partículas, para una
precisión dada, es más rápido que el
Runge-kutta. Si requerimos velocidad de calculo
podemos usar el metodo Symplectic, en este método
las orbitas estan divididas en una parte
kepleriana y una parte no kepleriana, no lidia
bien con encuentros cercanos, pero es util para
problemas en los que queremos entender el efecto
a largo plazo de la interacción entre planetas
(sin colisiones)
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Códigos de N-cuerpos

Para problemas de muchas partículas lo que nos
importa no es la precisión en la integración a lo
largo de muchas orbitas, donde queremos mantener
lo mas estrictamente posible la conservación de
energía y momento. En sistemas mas grandes, como
las galaxias estamos interesados en el
comportamiento colectivo de las partículas, y en
pocas orbitas. E.g. el periodo orbital del sol
alrededor del centro de la galaxia es de 250
millones de años, es decir, que el sol solo ha
completado unas 18 orbitas desde su formación! El
problema de los N-cuerpos cuando N es grande es
la integración de la cantidad enorme de
partículas. Principales problemas 1-El numero de
interacciones a integrar 2-Las diferentes
escalas de tiempo
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Códigos de N-cuerpos
Una de las maneras mas simples de lidiar con los
diferentes intervalos requeridos es el llamado
leapfrof. Es un integrador de segundo orden, las
posiciones están definidas en intervalos ti,
ti1, ti2 y las velocidades en intervalos
ti-1/2, ti1/2, t3/2 ti1 - ti1/2 ti1/2 -
ti dt/2

Las aceleraciones están definidas en intervalos
como las posiciones, si tomamos un intervalo dt
para obtener de ri, vi-1/2 a ri1, vi1/2 y
volvemos usando un intervalo -dt volvemos a los
mismo valores (reversibilidad), aunque solo es un
esquema de segundo orden los errores se cancelan
(salvo los de redondeo)
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Códigos de N-cuerpos
Una de las maneras mas simples de lidiar con los
diferentes intervalos requeridos es el llamado
leapfrof. Es útil para sistemas con un gran
numero de particulas y un grado de disipación
interno alto. E.g colisión de galaxias, evolución
de un cúmulo de galaxias, donde requerimos
conocer el potencial de manera precisa y no un
seguimiento preciso de las posiciones y las
velocidades

dt0.001
dt0.01
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Códigos de N-cuerpos
Encuentros cercanos y regularización El
suavizado introducido en la segunda ley de
Newton hace
que la aceleracion gravitacional sature a un
maximo finito de orden aj
2Gmi/33/2e2 cuando las particulas tienen una
separacion de (1/v2)e2 al limitar la aceleración
el intervalo de tiempo también tiene un valor
mínimo. Problema de esto? No podemos seguir la
trayectoria de un sistema binario cercano..es
decir, no es posible seguir la trayectoria de una
sistema si la longitud de suavizado es mayor que
la distancia física que queremos estudiar.

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Códigos de N-cuerpos
Para tratar el problema de la singularidad de
las colisiones entre partículas y nos preocupa
seguir la trayectoria de encuentros cercanos no
podemos usar el suavizado. La regularización
introduce una transformación del sistema de
coordenadas que reemplaza el tiempo con un tiempo
regularizado. La aceleración del vector R
(separacion) de los componentes de un par de
partículas en una simulación de N-cuerpos viene
dada por si introducimos
un tiempo regularizado

Hemos eliminado la singularidad 1/R2, pero aun
tenemos la indeterminación de R/R cuando la
distancia entre partículas tiende a 0.
Introducimos una transformación espacial, en este
caso 1-D, si no hay fuerza externas
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Códigos de N-cuerpos

Si usamos la conservación de energía, la energía
de ligadura (que es constante por cada orbita
binaria) por unidad de masa reducida es ?m1m2/
m1m2 es
Esta libre del problema de la indeterminacion
R/R, si escribimos u2 R
Ecuacion de un oscilador harmonico
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Códigos de N-cuerpos
Método Tree de calculo de fuerzas Metodo
lagrangiano en el que el volumen se subdivide y
solo las particulas de celdas cercanas se tratan
individualmente las particulas en celdas mas
distantes se tratan como una particula centrada
en su centro de masas, esto reduce el numero de
interacciones entre pares de particulas a
calcular (tiempo de calculo es ? NlogN y no a N2).

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Códigos de N-cuerpos
Metodo particle-mesh PM, P3M (Particle-Particle
Particle-Mesh) de calculo de fuerzas Metodo
euleriano en el que el espacio se discretiza en
una malla y se asume que las particulas se
dividen entre los vertices de las celdas de la
malla, el potencial se calcula en esta cuadricula
de densidad y las fuerzas se calculan respecto a
la posicion de la celda. Varios metodos para
convertir un sistema de particulas en una
cuadricula de densidad, un metodo simplemente
adjudica la masa de la particula al punto mas
cercano en la cuadricula, el CIC (Cloud-In-Cell)
considera las particulas como cubos de densidad y
una particula puede contribuir en masa a
distintas celdas de la cuadricula normalmente hay
menor numero de celdas que de particulas, luego
el numero de interacciones a calcular es menor.
Una vez que se tiene la distribucion de masa, el
potencial se usando FFT (transformadas de
Fourier) el hecho de poder usar tecnicas de FFT
para obtener el potencial facilita el calculo

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Procesos de dinámica de fluidos
Método SPH Es un método Lagrangiano en el que el
fluido se discretiza. Estos elemento de
fluido tienen una distancia (h) suavizada entre
ellos, las propiedades del fluido estan
suavizadas a esta distancia con una función
(kernel, por ejemplo una Gausiana)

Si se asigna a cada partícula una distancia de
suavizado que cambie con el tiempo la simulación
se adapta a las condiciones de cada partícula en
cada momento. Combinado con un integrador y una
ecuación de estado simula los flujos dinámicos
eficientemente
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Procesos de dinámica de fluidos
Tratamiento de choques en SPH Cuando dos
parcelas de fluido se encuentran con velocidad
relativa mayor que la velocidad del sonido, las
ondas de sonido son incapaces de transportar la
energia del choque y la entropia del gas aumenta.
Para el tratamiento de choques SPH usa, en
general, una viscosidad artificial, donde la
acelaracion de la materia producida por la
viscosidad es, El tensor de viscosidad tiene que
ser construido de manera que el momento total y
angular se conserve y logre imitar el efecto
macroscopico de los choques. La viscosidad logra
dar un resultado razonable, pero si estamos
interesados en estudiar sistemas donde los
choques son muy importantes, otras tecnicas
tienen que ser usadas, e.g. tecnicas eulerianas,
Godunov-SPH

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Procesos de dinámica de fluidos
Metodo SPH, ejemplo de N-body/SPH, dinamica de
una galaxia como la nuestra

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Procesos de dinámica de fluidos
Método Euleriano calcula las variables que
describen un fluido calculando el flujo en
celdas adyacentes de una cuadricula. Para tratar
lo choques se usa una viscosidad artificial del
tipo de la viscosidad numerica que vimos, en las
que el choque ocupa varias celdas de la
cuadricula. Hay casos en los que la

estructura que se va generando en la simulacion
es mas pequeña que el dominio de calculo, en
estos casos, una cuadricula uniforme no es
suficiente, se pueden usar celdas anidadas
funciona si sabemos donde estan las estructuras a
resolver, grid estaticos, si no se necesita un
metodo AMR (adaptive mesh refinement) grid
dinámicos
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Procesos de dinámica de fluidos
Metodo grid Euleriano vs SPH SPH, ventajas
adaptativo, si hay regiones casi vacías es mucho
mas eficiente que el grid, mas fácil de tratar
con problemas con geometrías sin simetrías y
contornos libres Grid, ventajas trata mejor
choques, más fácil de implementar en problemas de
MHD y transferencia de radiación

Agertz et al 2007, MNRAS, 380, 963
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Otros métodos no basados en incrementos finitos

• Elementos finitos
• Se basa en un grid no estructurado, se utiliza en
  ingeniería.
• Monte Carlo es una técnica se muestreo
  estadístico en la que las soluciones se
  construyen con simulaciones que involucran
  números aleatorios. Muy utilizado en astronomía.
• http//astro.u-strasbg.fr/koppen/numex/Montye.htm
  l

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Código de la practica GadgetMillenium simulation

10 billones de particulas en un cubo de 2
billones de años luz, en el super-ordenador del
Max-Planck, 20 millones de galaxias