Laboratorio: le coniche e le loro applicazioni

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Università di Roma Tor Vergata
Corso di Perfezionamento in Nuove tendenze
della didattica della Matematica e della Fisica
Laboratorio le coniche e le loro applicazioni
Referente dott.ssa F. Tovena
Tirocinanti L. Aragosa S. Ruzzante A.
Antonelli E. Pascale
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Le coniche e le loro applicazioni
Presentazione
Rivolto a studenti delle classi 4ªe 5ª liceo
classico e scientifico
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Obiettivi disciplinari e formativi
Trattare parallelamente sia il punto di vista
sintetico, riferendosi cioe al cono e al piano
con il quale il cono e tagliato, sia quello
analitico, determinando lequazione del luogo.
DaLe geometrie della visione di L.Catastini
F.Ghione
Dare una visione GESTALTICA delloggetto nello
spazio
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Obiettivi Disciplinari e Formativi
Presentare il periodo storico in cui si sviluppa
la teoria delle coniche.
Capire quale è stata la necessità di sviluppare
una teoria sulle coniche.
Mettere in luce le proprietà di rette, piani,
coni, sfere e cilindri, normalmente esclusi nei
programmi tradizionali, introducendo proprietà
focali in modalità applicativo-pratico.
Legare ad esso lo studio di problemi non banali
frequentemente ritrovati nei programmi accademici
come le orbite planetarie, fenomeni ottici e
risoluzione geometrica di equazioni algebriche,
esaltando il ruolo della metodologia didattica
applicabile ad altri contenuti.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Strategie didattiche per gli obiettivi
disciplinari e formativi
Affrontare il progetto di laboratorio con un
ordine di apprendimento, seguendo il percorso
scientifico compiuto dai matematici
Stimolare il loro interesse attraverso software
di geometria dinamica che rappresentano gli
oggetti in questione dinamicamente
Coinvolgerli personalmente nellutilizzo di
oggetti pratici costruiti appositamente farli
alzare dal banco.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Strumenti dalla storia testi classici,
compasso di Leonardo, compassi per specchi
parabolici, tavole prospettiche
Strumenti Utilizzati
Strumenti moderni computer collegato ad un
proiettore tavole di lavoro, oggetti duso
quotidiano (torce) software geometria dinamica
(Cabri,Cinderella), animazioni Java, materiale
fruibile in rete.
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Risultati finali attesi
e perchè no
future iscrizioni alle facoltà scientifiche
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Perchè un laboratorio sulle coniche
Produrre materiale didattico - laboratoriale
ripartito in

• cartaceo (dispense e tavole di lavoro)

Obiettivi Prefissati

• concreto (oggetti realizzati nei laboratori)

• multimediale (materiale in rete)

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Le coniche e le loro applicazioni
Suddivisione delle lezioni
Impostazione teorica di Apollonio introduzione
sintetica del concetto di conica vista come
risultato della sezione di un cono con un
piano. Deduzione dell'espressione analitica nei
casi generali e particolari attraverso semplici
passaggi algebrici.
1)
Percorso storico sul concetto di cono come viene
studiato nel passato. Introduzione pittorica del
De Pictura (Alberti) come nasce nella storia la
necessità di rappresentare e descrivere una
conica rappresentazione prospettica di una
circonferenza. Applicazioni suggerite dal
trattato sulle coniche di Pascal teorema
dellesagono mistico proiezione di circonferenza
su un quadro.
2)
Parallelo tra gli strumenti antichi e moderni per
la rappresentazione grafica di una
conica. Presentazione e utilizzo del compasso di
Leonardo Da Vinci Applicazioni mediante
programmi di geometria dinamica nel piano e nello
spazio (Cabri, Cinderella). Esercitazioni al
computer.
3)
Luoghi geometrici, equazione analitica delle
coniche. Conica e cartacome costrire una conica
con mezzi di uso quotidiano.Esercitazioni
pratiche che esaltano laspetto ludico
dellargomento.
4)
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Le coniche e le loro applicazioni
5)
Descrizione analitica di fuochi e
direttrici. Proprietà focali di una conica
fuochi rispetto alle leggi di riflessione. Applica
zioni tecniche specchi ustori e antenne
paraboliche.
6)
Le coniche viste come ombra di una sfera
descrizione sintetica di fuochi e direttrici di
una conica (sfere di Dandelin).
Applicazioni fisiche del concetto di conica
orbite kepleriane (studi sull'orbita di Marte) e
costanza della velocità aereolare. Eccentricita
7)
Risoluzione geometrica di equazioni algebriche di
terzo e quarto grado secondo la tradizione araba
intersecando cerchi, parabole o iperboli
equilatere.
8)
Tutte le lezioni sono corredate di tavole di
lavoro
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Le coniche e le loro applicazioni
Oggi presenteremo due delle otto lezioni
Partiamo con la lezione 1
Introduzione sintetica del concetto di conica
vista come risultato della sezione di un cono con
un piano.
Deduzione dell'espressione analitica nei casi
generale e particolare attraverso semplici
passaggi algebrici.
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Lezione 1
Descrizione sintetica data una retta a e una
retta r che si intersecano in un punto detto V,
chiamiamo ? langolo tra r ed a. La superficie
che si ottiene dalla rotazione completa di r
attorno a , lasciando fisso langolo, e detta
cono (a due falde).
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Lezione 1
Approccio geometrico-visivo
a) Collocare il cono nello spazio
b) Scegliere un sistema di riferimento
arbitrario e comodo
c) Intersecare il cono con piani di diversa
inclinazione, studiare i risultati delle
intersezioni ripercorrendo lo studio di Apollonio
di Perga (III sec. a.C.)
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Lezione 1
Parabola
Ellisse
Circonferenza
Iperbole
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Lezione 1
Approccio geometrico-analitico
Dedurre lequazione analitica di un cono e di un
piano attraverso semplici passaggi algebrici
Idea più semplice e intuitiva intersecare il
cono con un piano perpendicolare allasse a
Equazione Cono con V(0,0) e asse z
Equazione piano parallelo al piano OXY
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Esercizio
Tavola 1.1
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Esercizio
Cosa ci aspettiamo se il nostro approccio
funziona.
Con il tentativo di attivare una visione
gestaltica vorremmo che la risposta fosse
CONO
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Esercizio
Tavola 1.2
Cosa succede se puntiamo la luce di una torcia
contro il muro ?
Che forma ha il fascio di luce se punto una
torcia con il braccio perpendicolare al muro?
Che forma ha il fascio di luce se punto una
torcia con il braccio inclinato rispetto al muro?
Risposta si forma un cono di luce
Risposta si forma una circonferenza
Risposta si forma unellisse
o un iperbole
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Applicazioni
Le coniche nella realtà concreta
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Lezione 6
Passiamo ora alla lezione 6
Le coniche viste come ombra di una sfera
descrizione sintetica di fuochi e direttrici di
una conica. Sfere di Dandelin.
Equivalenza tra la definizione di conica data da
Apollonio e la definizione di conica come luogo
geometrico soddisfacente proprietà di carattere
metrico.
G.P. Dandelin
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Lezione 6
Una sezione conica possiede una o due sfere di
Dandelin caratterizzate dalla proprietà
Una sfera di Dandelin e tangente sia al piano
che al cono.
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Lezione 6
Ellisse o circonferenza
due sfere di Dandelin
Parabola
una sfera di Dandelin
Iperbole
due sfere di Dandelin
Proprietà Il punto nel quale una sfera tocca
il piano è un fuoco della sezione conica
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Lezione 6
Teoremi di Dandelin
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Lezione 6
Sfere di Dandelin (meta ottocento )
L'ombra proiettata da una sorgente luminosa posta
sopra una sfera è un'ellisse.
Abbassando ulteriormente la fonte luminosa si
otterrà un ramo di iperbole.
Se la sorgente di luce è in un piano parallelo al
tavolo che passa al di sopra della sfera, si
formerà una parabola.
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Esercizio
Soluzione
Tavola 6.2
Disegnare lombra di una sfera generata da un
fascio di luce perpendicolare al tavolo sul quale
poggia.
Determinare il luogo di tangenza tra la sfera e
la conica ombra generata.
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Conclusioni
Livello didattico
Livello personale