Gli alberi

1
Gli alberi

• E' un tipo di dato astratto che rappresenta
  relazioni gerarchiche tra oggetti
• Le relazioni esplicate sono tra
• genitori
• figli
• fratelli
• Radice, foglie
• Alberi binari, N-ari

2
Gli alberi binari

• Ogni nodo ha al massimo 2 figli
• Sui figli è definito un ordinamento
• Ogni figlio può essere la radice di un nuovo
  albero binario
• Vantaggio migliorare l'efficenza della visita di
  una lista

3
Gli alberi binari

• Metodi
• test_albero_vuoto alb_bin ? boolean
• costruisci alb_bin x nodo x alb_bin? alb_bin
• radice alb_bin ? nodo
• sinistro alb_bin ? alb_bin
• destro alb_bin ? alb_bin

4
Gli alberi binari

• Algoritmi di visita
• visita in preordine (ABCD)
• visita in postordine(BDECA)
• visita simmetrica(BADCE)

A
B
C
D
E
5
Alberi binari rappr. sequenziale

• Utilizza array di lunghezza predefinita
• radice in prima posizione
• figli in posizione (2i) e (2i1)
• Alberi completi
• Per gli alberi non completi serve un tag booleano
  che indica se il nodo esiste

6
Alberi binari rappr. sequenziale
A
true
1
B
true
2
A
C
true
3
0
false
4
B
C
0
false
5
D
true
6
D
E
E
true
7
7
Alberi binari rappr. sequenziale

• Svantaggi
• utilizzo elevato memoria
• operazioni in inserimento complesse (richiedono
  spostamenti nell'array)
• Vantaggi
• accesso semplice (anche per elementi ad una
  specifica profondità)

8
Alberi binarirappresentazione collegata

• Ogni elemento della lista contiene
• un atomo (la radice dell'albero)
• una lista (sottoalbero sinistro)
• una lista (sottoalbero destro)
• ( A (B () () ) ( C (D () () ) (E () () ) ) )

9
Alberi binarirappr. collegata mediante array

• Array a tre valori
• indice sottoalbero sinistro
• valore del nodo
• indice sottoalbero destro
• Serve una variabile inizio per definire l'indice
  della radice all'interno dell'array

10
Alberi binarirappr. collegata mediante array
0
D
0
1
A
5
A
3
2
1
C
6
3
0
0
0
4
B
C
0
B
0
5
0
E
0
6
D
E
Inizio 2
11
Alberi binari rappr.collegata mediante puntatori

• Ogni nodo viene rappresentato con tre campi
• l'informazione associata al nodo
• un puntatore al sottoalbero di sinistra
• un puntatore al sottoalbero di destra

12
Alberi binari rappr. collegata mediante
puntatori
A
A
0
B
0
B
C
C
D
E
0
E
0
0
D
0
13
Esercizio

• Data in ingresso una rappresentazione parentetica
  di un albero, generare l'albero corrispondente
  utilizzando la rappresentazione collegata sia
  mediante array che mediante puntatori

14
Alberi binari di ricerca

• Problema
• memorizzare grosse quantità di dati soggetti a
  frequenti operazioni di ricerca
• Soluzione
• utilizzo di alberi di ricerca in cui il valore di
  un nodo è per definizione maggiore o uguale di
  quello dei nodi del sottoalbero sx, e minore del
  sottoalbero dx

15
Alberi binari di ricerca

• Vantaggi
• minor complessità
• Requisiti
• profondità ridotta dell'albero
• alberi bilanciati
• bilanciamento dell'albero

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Alberi n-ari

• Non hanno limiti sul numero di figli
• Generalmente
• visita solo preordine e postordine
• rappresentazione mediante lista
• rappresentazione mediante albero binario (miglior
  sfruttamento della memoria)
• rappresentazioni tramate(per ottimizzare certe
  operazioni)

17
I grafi

• Strutture che rappresentano relazioni binarie su
  un insieme di elementi (grafi orientati)
• E' necessario definire politiche di visita (in
  presenza di cicli è possibile raggiungere nodi
  già visitati serve un tag di visita)

18
Visita in profondità di un grafo
Depth first serach analoga alla visita in
preordine
2
1
3
4
7

• 1 3 4 6 5 7 2

5
6
19
Visita in ampiezza di un grafo
Breadth first serach analoga alla visita in
postordine
2
1
3
4
7

• 7 5 6 4 2 3 1

5
6
20
Rappresentazione dei grafi

• Per rappresentare un grafo esistono diverse
  possibilità
• matrice delle adiacenze
• liste dei successori
• lista doppia

21
Matrice delle adiacenze

• La matrice è così definita
• tante righe e colonne quanti sono i nodi del
  grafo
• gli elementi della matrice sono di tipo booleano
• il generico elemento ei,j è definito
• true, se esiste un arco tra il nodo i e il nodo
  j
• false, altrimenti

22
Matrice delle adiacenze

• 1 2 3 4 5 6 7
• 1 0 0 1 0 0 0 0
• 2 1 0 1 0 0 0 0
• 3 0 1 0 1 0 0 0
• 4 0 0 0 0 0 1 1
• 5 0 0 0 0 0 0 0
• 6 0 0 1 1 1 0 0
• 7 1 0 0 0 0 0 0

23
Matrice delle adiacenze

• Se i valori dei nodi non sono numerici, serve una
  corrispondenza tra nodi (ad es. stringhe) con gli
  indici
• "Vettore dei nodi"
• A S R V K P E
• 1 2 3 4 5 6 7

24
Matrice delle adiacenze

• Se anche gli archi sono etichettati, gli elementi
  della matrice non saranno booleani, ma del tipo
  usato per le etichette

25
Matrice delle adiacenze

• Vantaggi
• semplice
• accesso diretto alle informazioni sugli archi
  (meccanismi di accesso ad una matrice)
• Svantaggi
• numero massimo di nodi del grafo
• occupazione in memoria pari a N2
• l'analisi di un nodo richiede una scansione

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Matrice delle adiacenzerappresentazione compatta

• Generalmente la matrice delle adiacenze è sparsa,
  quindi si può usare
• la rappresentazione compatta usata per le matrici
  sparse
• una nuova rappresentazione che evidenzia solo gli
  archi
• nodo di part 1 2 2 3 3 4 4 6 6 6 7
• nodo di arr 3 1 3 2 4 6 7 3 4 5 1

27
Liste di successori

• Si associa ad ogni nodo una lista semplice,
  realizzata mediante rappresentazione collegata
• In ogni lista si memorizza l'insieme dei
  successori del nodo senza un ordinamento
  particolare
• I nodi sono in corrispondenza con gli archi per
  cui si possono memorizzare anche evenuali
  etichette

28
Liste di successori
1
3 0
2
1
3 0
3
2
4 0
4
6
7 0
0
5
6
3
4
5 0
7
1 0
29
Liste di successori

• Vantaggi
• migliore occupazione della memoria proporzionale
  a NM
• più efficiente determinare la lista dei
  successori
• Svantaggi
• verifica di un arco tra i e j è poco agevole
• l'utilizzo di un vettore per le info sui nodi

30
Liste doppie

• Si utilizza una lista per memorizzare le
  informazioni dei nodi
• Vantaggi
• il numero di nodi non ha un limite massimo
• Svantaggi
• l'accesso ai nodi è più complesso

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Percorso minimo in un grafo

• Problema
• dato un grafo con archi etichettati con valore
  interi positivi, si trovi il percorso più breve
  tra due nodi
• Soluzione
• proposta da Dijkstra