Estimaci

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Estimación e intervalos de confianza

• Capitulo 9

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OBJETIVOS

• Definir un estimador puntual.
• Definir nivel de confianza.
• Construir un intervalo de confianza para la media
  poblacional cuando se conoce la desviación
  estándar de la población.
• Construir un intervalo de confianza para la media
  poblacional cuando no se conoce la desviación
  estándar de la población.
• Construir un intervalo de confianza para una
  proporción de la población.
• Determinar el tamaño de la muestra para un
  muestreo de atributos y variables

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Estimadores puntuales e intervalos de confianza
de una media

• Un estimador puntual es un estadístico calculado
  a partir de información de la muestra para
  estimar el parámetro poblacional.
• Un intervalo de confianza es un conjunto de
  valores formado a partir de una muestra de datos
  de forma que exista la posibilidad de que el
  parámetro poblacional ocurra dentro de dicho
  conjunto con una probabilidad específica. La
  probabilidad específica recibe el nombre de nivel
  de confianza.

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Factores que afectan a los intervalos de
confianza.

• Los factores que determinan el ancho del
  intervalo de confianza son
• 1.El tamaño de la muestra, n.
• 2.La varianza de la población, usualmente s es
  estimada por s.
• 3.El nivel deseado de confianza.

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Interpretación de los intervalos de confianza.

• Para un intervalo de confianza alrededor del 95
  se puede esperar que alrededor de 95 de estos
  intervalos de confianza contenga la media de la
  población. Cerca de 5 de los intervalos no
  contendrían a la media de la población. Además el
  95 de las medias de las muestras para una
  muestra especifica de tamaño dado estarán dentro
  de 1.96 desviaciones estándar de la población
  hipotetica.

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Características de la distribución t

• 1. Esta distribución, es como la distribución z ,
  una distribución continua.
• 2. Es una distribución simétrica y con forma de
  campana.
• 3. No existe una sola distribución de t, mas bien
  una famila de distribuciones de t. Todas las
  distribuciones de t tiene media 0, pero sus
  desviaciones estándar difieren de acuerdo al
  tamaño de la muestra, n.
• 4. La distribution t se extiende más y es más
  plana por el centro que la distribución normal.
  Conforme se incrementa el tamaño de la muestra,
  la distribución t se aproxima a la distribución
  normal estándar, pues los errores que se cometen
  al utilizar s para estimar s disminuyen con
  muestras más grandes.

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Comparación de las distribuciones t y z cuando n
es pequeña.
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Intervalo de Confianza Para la Media

• Use la distribución Z
• Si la desviación estándar es conocida o la
  muestra es mayor que 30.

• Use la distribución t
• Si la desviación estándar no es conocida y la
  muestra es menor que 30.

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Cuando usar la distribución z o t para el
cálculo del intervalo de confianza.
No
Si
Determinar cuándo usar la distribución z o la
distribución t
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Intervalo de Confianza para la Media Ejemplo
usando la distribución t

• Un fabricante de llantas desea investigar la
  durabilidad de sus productos. Una muestra de 10
  llantas para recorrer 50000 millas reveló una
  media muestral de 0.32 pulgadas de cuerda
  restante con una desviación estándar de 0.09
  pulgadas. Construya un intervalo de confianza de
  95 para la media poblacional. Sería razonable
  que el fabricante concluyera que después de 50000
  millas la cantidad media poblacional de cuerda
  restante es de 0.30 pulgadas?

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Tabla de distribución-t Student
Dado el problema n 10 Calcule el I.C usando la
dist t (como s es desconocida)
Conclusión El fabricante puede estar seguro (95
seguro) de que la profundidad media de las
cuerdas oscila entre 0.256 y 0.384
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Intervalo de Confianza para la Media Usando
Minitab

• El gerente del Inlet Square Mall, cerca de Ft.
  Myers, Florida, desea estimar la cantidad media
  que gastan los clientes que visitan el centro
  comercial. Una muestra de 20 clientes revela las
  siguientes cantidades.
• Cuál es la mejor estimación de la media
  poblacional?Determine un intervalo de confianza
  de 95. Interprete el resultado. Concluiría de
  forma razonable que la media poblacional es de
  50?Y de 60?

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Intervalo de Confianza Estimación de la Media
Mediante Fórmula
Calcule el I.C usando la dist t (como s es
desconocida)
Los puntos extremos del intervalo de confianza
son 45.13 y 53.57. Conclusión Resulta
razonable que la media poblacional sea de 50. El
valor de 60 no se encuentra en el intervalo de
confianza. De ahí que se concluya que no es
probable que la media poblacional sea de 60
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Confidence Interval Estimates for the Mean
Using Minitab
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Intervalo de Confianza para la Media Usando Excel
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Aproximación de la Distribución Normal a la
Binomial

• Para crear un intervalo de confianza para una
  proporción, es necesario cumplir con los
  siguientes supuestos
• 1. Las condiciones binomiales, se satisfagan las
  cuales son
• a. Los datos de la muestra son resultado de
  conteos.
• b. Sólo hay dos posibles resultados (lo normal
  es referirse a uno de los resultados como éxito y
  al otro fracaso).
• c. La probabilidad de un éxito permanece igual
  de una prueba a la siguiente
• d. Las pruebas son independientes. Esto
  significa que el resultado de la prueba no
  influye en el resultado de otra.
• 2. Los valores de np y n(1-p) deben ser mayores o
  iguales que 5. Esta condición permite recurrir al
  teorema del límite central y emplear la
  distribución normal estándar, es decir, z, para
  completar un intervalo de confianza.

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Intervalo de Confianza para la Proporción de una
Población

• El intervalo de confianza de la proporción de una
  población es cálculado mediante

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Confidence Interval for a Population Proportion-
Example

• El sindicato que representa Bottle Blowers of
  America (BBA) considera la propuesta de fusión
  con Teamsters Union. De acuerdo al reglamento del
  sindicato de BBA, por lo menos tres cuartas
  partes de los miembros del sindicato deben
  aprobar cualquier fusión. Una muestra aleatoria
  de 2,000 miembros actuales revela que 1,600
  planean votar por la propuesta Qué es el
  estimador de la proporción poblacional?
• Determine un intervalo de confianza de 95 para
  la proporción poblacional. Fundamente su decisión
  en esta información de la muestra puede
  concluir que la proporción necesaria de miembros
  BBA favorece la fusión? Por qué?

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Factor de Corrección de una Población Finita

• Una población con un límite superior es finita
• En el caso de una población finita, en la que el
  número total de objetos o individuos es N y el
  número de objetos o individuos es n, se ajusta el
  error estándar de la media y de la proporción
• Sin embargo, si n/N lt .05, el factor de
  corrección de una población finita puede ser
  ignorado

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Efecto de el FCP cuando n/N Cambia
Observe que FCP se acerca a 1 cuando n/N se hace
más pequeño
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Fórmulas de Intervalo de Confianza para la
Estimación de Medias y Proporciones con un Factor
de Corrección de una Población Finita
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IC para la Media con FCP - Ejemplo

• Dado en el Problema
• N 250
• n 40
• s 75
• 1.- No conoce la media poblacional, que es el
  valor que quiere calcular. El mejor estimador de
  la media poblacional es la media de la muestra,
  que es de 450.
• 2.- Como n/N 40/250 0.16, el FCP debe ser
  usado.
• 3.- La desviación estándar de la población no es
  conocida por eso se utiliza la distribución t
  (puede usar la distribución z debido a que ngt30)
• Use la fórmula de abajo para calcular el
  intervalo de confianza

• Hay 250 familias en Scandia, Pennsylvania. Una
  muestra aleatoria de 40 de estas familias revela
  que la contribución anual media fue de 450, y la
  desviación estándar, de 75. La media
  poblacional puede ser 445 o 425.
• 1.- Cual es la media de la población?Cuál es el
  mejor estimador de la media poblacional?
• 2.- Analice la razón por la que se debe emplear
  el factor de corrección para una población
  finita.
• 3.- Construya un intervalo de confianza de 90
  para la media de la población?
• 4.- Interprete el intervalo de confianza.

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IC Para la Media con FCP - Ejemplo
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Elección del tamaño adecuado de una muestra

• El tamaño adecuado de una muestra depende de tres
  factores
• El nivel de confianza deseado.
• El margen de error que tolerará el investigador.
• La variabilidad de la población que se estudia.

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Elección del tamaño adecuado de una muestra

• Para encontrar el tamaño de la muestra

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Elección del tamaño adecuado de una muestra -
Ejemplo

• Un estudiante de administración pública desea
  determinar la cantidad media que ganan al mes los
  miembros de los consejos ciudadanos de las
  grandes ciudades. El error a calcular la media
  debe ser inferior a 100, con un nivel de
  confianza del 95 . El estudiante encontró un
  informe del Departamento del Trabajo en el que la
  desviación estándar es de 1,000. Cuál es el
  tamaño de la muestra que se requiere?
• Dado en el problema
• E, el máximo error admisible, es 100
• El valor de z para un nivel de confianza de 95
  es1.96,
• El estimador de la desviación estándar es 1,000.

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Elección del tamaño adecuado de una muestra -
Ejemplo

• Un grupo consumidor desea estimar la media del
  cargo de electricidad por familia en Julio con un
  error de 5 usando un nivel de confianza de 99.
  La desviación estándar es estimada de estudios
  similares la cual es 20.00? Qué tan grande debe
  ser la muestra?

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Tamaño del Muestra Para Proporciones

• La fórmula para determinar el tamaño de la
  muestra en el caso de una proporción es

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Otro Ejemplo

• El Club American Kennel desea estimar la
  proporción de niños que tiene como mascota a un
  perro. Si el club desea que el margen de error
  sea del 3 de la proporción de la población
  cuantos niños tendrán que contactar? Se
  requiere un nivel de confianza del 95 y el club
  estimó que el 30 de los niños tiene un perro
  como mascota.

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Otro Ejemplo

• Un estudiante desea estimar la proporción de
  ciudades que cuantan con recolectores de basura
  privados. El estudiante desea que el margen de
  error se encuentre a .10 de la proporción de la
  población el nivel de confianza deseado es de
  90, y no se encuentra disponible ningún
  estimador para la proporción de la población.
  Cuál es el tamaño de la muestra?

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Final del Capitulo 9