Probleml

1
Problemlösen im Mathematikunterricht (Klassen
5/6)

• Veranstaltung zu Sinus-Transfer am 10.05.2005 in
  der Humboldt-Universität zu Berlin

Wolfgang Schulz
2
Struktur eines Problems
Gelingt T nicht unmittelbar, liegt ein Problem
vor.
Gelingt T unmittelbar, liegt eine Aufgabe vor.
3
Problemlösen und
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik
der Länder Brandenburg, Berlin, Bremen und
Mecklenburg-Vorpommern, 2004
4
4. Gestaltung von Unterricht
fachdidaktische Ansprüche
Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen
Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf,
zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht
unmittelbar bekannt ist. Innermathematische
Probleme ermöglichen den Schülerinnen und
Schülern das Entdecken von mathematischen
Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische
Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur
mathematischen Modellbildung.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
23
5
Kann man Lösungsvorschläge ausschließen ?
6
Hundertertafel
9 als Einer
9 als Zehner
90
7
Struktur finden
Entscheidend war es, eine Hilfe für
systematisches Suchen zu finden. Es soll ja keine
Möglichkeit vergessen werden.
Hier war es mit der Hundertertafel eine vertraute
Form. Die Schüler sollten aber möglichst selbst
herausfinden, dass die Hundertertafel helfen kann.
8
4. Gestaltung von Unterricht
fachdidaktische Ansprüche
Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen
Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf,
zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht
unmittelbar bekannt ist. Innermathematische
Probleme ermöglichen den Schülerinnen und
Schülern das Entdecken von mathematischen
Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische
Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur
mathematischen Modellbildung.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
23
9
Modellierungsprozess bei mathematischen Aufgaben
Klieme, E. Neubrand, M Lüdtke, O.
Mathematische Grundbildung Test-konzeption und
Ergebnisse, in PISA 2000 - Basiskompetenzen von
Schü-lerinnen und Schülern im internationalen
Vergleich, Opladen 2001, S. 144
10
Situation
Streckenzüge
Modell
Längen betrachten
Konsequenzen
Längen vergleichen
Information
Kann das sein ?
11
1.4 Gestaltung von Unterricht
Problemorientierte Aufgaben entwickeln
Problemorientierte Aufgaben sind so angelegt,
dass Schülerinnen und Schüler zur kreativen
Bearbeitung angeregt und verschiedene Kompetenzen
gefördert werden. Sie zielen sowohl auf das
Verständnis von Zusammenhängen als auch auf
sachbezogenes, logisches, zielorientiertes
Arbeiten. Sie unterstützen die Entwicklung von
unterschiedlichen Lösungsstrategien und schließen
das Nachdenken über das Lernen ein.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
12
12
2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und
Erziehung in der Grundschule
Sachkompetenz
Schülerinnen und Schüler erwerben Sachkompetenz
und weisen diese nach, indem sie im Umgang mit
einem Problem ihre mathematischen Kenntnisse
sowie ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten
zielgerichtet einsetzen und erweitern. Zu diesen
Kenntnissen zählen im Verlauf des Unterrichts
erworbene Begriffe, Zusammenhänge (Sätze) und
Verfahren aus verschiedenen Inhaltsbereichen. Sie
gilt es in verschiedenen Kontexten reflektiert
einzusetzen.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
18
13
2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und
Erziehung in der Grundschule
Methodenkompetenz
Methodenkompetenz verlangt neben der Beherrschung
eines Verfahrens auch dessen begründete Auswahl.
Mathematische Methoden beherrschen
Für das Lösen inner- und außermathematischer
Probleme ist es notwendig, Informationen zu
beschaffen, auszuwerten und die eigenen
Ergebnisse darzustellen. Dazu sind Fähigkeiten
der Informationsentnahme aus Texten sowie
fachspezifische und heuristische Methoden
erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler können
diese Methoden reflektiert und bewusst anwenden.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
18
14
2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und
Erziehung in der Grundschule
Methodenkompetenz
Außer- und innermathematische Probleme zu lösen
bedeutet auch, dass die Schülerinnen und Schüler
mathematische Modelle entwickeln. Fragen wie Wie
lässt sich der Sachverhalt mathematisch
ausdrücken? und Ist das Modell der Situation
angemessen? und Kann das Ergebnis überhaupt
zutreffen? können von Schülerinnen und Schülern
beantwortet werden.
mathematisieren
interpretieren
validieren
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
18
15
2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und
Erziehung in der Grundschule
Soziale Kompetenz
Die Schülerinnen und Schüler erwerben im Rahmen
ihrer mathematischen Aktivitäten ... Fähigkeiten
zum Kommunizieren.
Personale Kompetenz
Ziel des Mathematikunterrichts ist es, das
Zutrauen in die eigene Leistungsfähigkeit bei den
Schülerinnen und Schülern zu entwickeln bzw. zu
erhalten.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
19
16
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben
Sachverhalte unter Verwendung mathematischer
Fachbegriffe und Symbole,
mathematisieren
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
17
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben
Sachverhalte unter Verwendung mathematischer
Fachbegriffe und Symbole, erkennen
mathematische Zusammenhänge, beschreiben und
begründen diese,
Sachkompetenz
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
18
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler beschreiben
Sachverhalte unter Verwendung mathematischer
Fachbegriffe und Symbole, erkennen
mathematische Zusammenhänge, beschreiben und
begründen diese, entnehmen aus Sachtexten und
anderen Darstellungen die relevanten
Informationen und kommunizieren mit anderen
darüber,
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
Methodenkompetenz
Soziale Kompetenz
19
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler stellen
Lösungsprozesse dar, kommentieren und
reflektieren diese und überprüfen Lösungen,
Kommunizieren
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
20
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler stellen
Lösungsprozesse dar, kommentieren und
reflektieren diese und überprüfen Lösungen,
übersetzen Sachprobleme in die Sprache der
Mathematik, lösen sie innermathematisch und
prüfen diese Lösungen an der Realität,
Modellbildung
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
21
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler stellen
Lösungsprozesse dar, kommentieren und
reflektieren diese und überprüfen Lösungen,
übersetzen Sachprobleme in die Sprache der
Mathematik, lösen sie innermathematisch und
prüfen diese Lösungen an der Realität,
nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen
von Problemen,
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
22
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler vollziehen
Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und
Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und
schätzen diese ein,
kommunizieren
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
23
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler vollziehen
Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und
Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und
schätzen diese ein, beschaffen sich
zielgerichtet Informationen mithilfe von
verschiedensten Medien und bereiten diese auf.
Methodenkompetenz
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
24
4. Gestaltung von Unterricht
fachdidaktische Ansprüche
Aufgabenkultur
Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine
veränderte Aufgabenkultur, indem sie Aufgaben
anbieten, anhand derer Mathematiklernen als
Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen
differenziert erfolgen kann,
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
25
25
4. Gestaltung von Unterricht
fachdidaktische Ansprüche
Aufgabenkultur
Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine
veränderte Aufgabenkultur, indem sie Aufgaben
anbieten, anhand derer Mathematiklernen als
Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen
differenziert erfolgen kann, authentische
Problemstellungen bereitstellen, die das
Lernen anwendungs- und strukturorientiert,
ganzheitlich und in Sinnzusammenhängen
ermöglichen,
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
25
26
4. Gestaltung von Unterricht
fachdidaktische Ansprüche
Aufgabenkultur
Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine
veränderte Aufgabenkultur, indem sie
komplexe Aufgaben einbeziehen, anhand derer die
Schülerinnen und Schüler zum Verknüpfen
einzelner mathematischer Inhaltsbereiche
miteinander sowie mit fachübergreifenden
Themen angeregt werden.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
26
27
5. Inhalte
5. 1 Übersicht über die Themenfelder
Form und Veränderung
Als wesentliche Voraussetzung für das Lösen von
Prob-lemen und für die Gewinnung der Einsicht in
die Schönheit und Ästhetik von Mustern müssen die
Schülerinnen und Schüler Fertigkeiten zur
zeichnerischen Darstellung von ebenen Figuren und
Körpern erwerben. Damit stehen ihnen neben dem
Hantieren mit geometrischen Objekten die
zeichnerische Darstellung derselben als Stütze
für das Er-fassen von Zuordnungen und Strukturen
sowohl im geome-trischen als auch im
arithmetischen Bereich zur Verfügung.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
28
28
Ein geometrisches Problem
Aus einem quadratischen Blatt Papier soll durch
Falten ein Viereck entstehen, dessen Eckpunkte
die Seitenmitten des Quadrates sind.
Was kann über die entstehenden Figuren gesagt
werden?
A
Z
T
29
Bezug zum Rahmenlehrplan
Jahrgangsstufen 5/6
Form und Veränderung
- Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern
identifizieren
- Figuren auf Kongruenz untersuchen und
vergleichen
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
39
30
Ein geometrisches Problem
Gegeben ist ein Quadrat, in dem die Seitenmitten
Eckpunkte eines Vierecks sind.
Welche Eigenschaften hat die Figur ?
31
Ein geometrisches Problem
Falten und Symmetrie
Sind das alle ?
C auf D legen und falten, liefert eine
Symmetrieachse.
B auf C legen und falten, liefert eine
Symmetrieachse.
C auf A legen und falten, liefert eine
Symmetrieachse.
B auf D legen und falten, liefert eine
Symmetrieachse.
32
Ein geometrisches Problem
Kongruente Figuren ?
Alle Dreiecke sind kongruent zueinander.
sws
Falten entlang der Seiten des neuen Vierecks.
Es entstehen vier Dreiecke, die auch kongruent
sind .
Das neue Viereck ist auch ein Quadrat.
Sein Flächeninhalt ist halb so groß.
33
A
Z
T
Herget, W. Jahnke, T. Kroll, W.Produktive
Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen
2001, S.12
34
Riesenschuh

• Keine Frage gestellt
• Welche Schuhgröße hat dieser Schuh ?
• Modellierung ?
• 1. Schritt Schuhlänge
• Mehrere Wege
• Verschiedene Ergebnisse

35
Riesenschuh

• Deutsche Schuhgrößen

• Unterbestimmte Aufgabe

• Proportionalität ?

Ja, Prop.faktor 1,5

• Modellierung mit mehreren Schritten

36
3. Standards
Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6
Allgemeine mathematische Fähigkeiten
Die Schülerinnen und Schüler vollziehen
Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und
Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und
schätzen diese ein, beschaffen sich
zielgerichtet Informationen mithilfe von
verschiedensten Medien und bereiten diese auf.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
21
37
Riesenschuh

• Schuhlänge auf dem Bild 14 cm

• Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm

• Meine Brille ist 13 cm breit.

• Dann ist der Schuh 112 cm lang.

• Das ist Schuhgröße 168.

38
Riesenschuh

• Schuhlänge auf dem Bild 14 cm

• Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm

• Meine Brille ist 13 cm breit.

• Dann ist der Schuh 112 cm lang.

• Das ist Schuhgröße 168.
• Keinem passt so ein Schuh.

39
Bezug zum Rahmenlehrplan
Jahrgangsstufen 5/6
Zahlen und Operationen
- Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich
lösen
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
39
40
5. Inhalte
5. 1 Übersicht über die Themenfelder
Zahlen und Operationen
In allen Jahrgangsstufen erhalten die
Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen
und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster,
Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese
in unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf
wird bei der Behandlung der Proportionalität
aufgebaut.
Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S.
29
41
Zahlenmauern
Was fällt auf ?
16
Was fällt auf ?
8 8
4 4 4
2 2 2 2
42
Zahlenmauern
4008
2003 2005
1001 1002 1003
Zahlensteine vertauschen
Wann größtes Ergebnis ?
59
7
48
5
1
43
Lücken füllen
43
Zahlenmauern
1000
500
500
250
250
250
Lücken füllen
Mehrere Möglichkeiten
7
8
Baue eine Mauer aus den Steinen7, 8, 9, 10, 16,
17, 18, 33, 35, 78
44
Zahlenmauern
1000
500
500
250
250
250
Lücken füllen
Mehrere Möglichkeiten
68
Nicht möglich
35
33
16
17
18
7
9
8
10
Baue eine Mauer aus den Steinen7, 8, 9, 10, 16,
17, 18, 33, 35, 78
45
Zahlenmauern
Baue Zahlenmauern mit vier aufeinander-folgenden
Zahlen auf den Grundsteinen.
Baue eine Zahlenmauer mit vier Grundsteinen und
einigen Lücken.
Hier sind die Steine einer Zahlenmauer. Ein Stein
ist zu viel. 5, 15, 17, 20, 35, 37, 72
Lege eine Zahlenmauer aus den Zahlen 1, 7,10, 3,
2, 5. Ist es die einzige Möglichkeit.
46
Zahlenmauern
Baue eine Zahlenmauern mit dem Zielstein 100. In
den Grundsteinen sollen vier aufeinanderfolgende
Zahlen stehen.
Baue eine Zahlenmauer, in der die Zahlen ½, ¼ und
¾ vorkommen.
Lege eine Zahlenmauer mit drei Grund-steinen.
Wie musst du die Steine legen, da-mit der
Zielstein besonders groß (klein) wird.
47
Känguru 2005
Klassenstufen 5 und 6
48
Känguru 2005
Klassenstufen 5 und 6
49
Känguru 2005
Klassenstufen 5 und 6
50
Rockkonzert
Bei einem Rockkonzert wurde ein recht-eckiges
Feld der Größe 100 m mal 50 m für die Zuschauer
reserviert. Das Konzert war komplett ausverkauft
und das Feld war voll mit stehenden Fans. Welche
der folgenden Schätzungen über die gesamte
Besucher-zahl ist wahrscheinlich die beste ?
A 2 000 B 5 000 C 20 000 D 50 000 E
100 000
PISA 2003, Internationaler Test
51
31 Pfennig
PISA 2000, nationaler Ergänzungstest,
Lösungshäufigkeit alle 6 Möglichkeiten 2,9
4 oder 5 Möglichkeiten
17,9