Bazele Fizicii Teoretice

1
Bazele Fizicii Teoretice
De ce Mecanica Analitica ?
Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice
(necuantice) , a chimiei, ingineriei etc.

• mecanica cereasca (miscarea stelelor,
  planetelor, satelitilor)

• fizica plasmei

• dinamica moleculara

• mecanica ( electricitate) ing.

Este o infrastructura puternica pentru
dezvoltarea Mecanicii Cuantice
2
CONTINUTUL CURSULUI

1. SISTEME DE PUNCTE MATERIALE Legaturi, Principiul
   II al dinamicii pentru SPM, Teoreme de variatie
   ale cantitatii de miscare, moment cinetic,
   energie cinetica.

2.ELEMENTE DE MECANICA ANALITICACoordonate
generalizate, Principiul lui dAlambert,
Ecuatiile lui Lagrange (miscarea liniara,
miscarea unei particule incarcate electric in
câmpuri electrice si magnetice stationare,
functia lui Lagrange pentru un sistem de
referinta neinertial).
3.ECUATIILE HAMILTON Expresia ecuatiilor
Hamilton, Proprietatile functiei Hamilton,
Parantezele Poisson.
4.ECUATIA HAMILTON-JACOBI. Expresia ecuatiei
Hamilton-Jacobi, Transformari canonice, Ecuatia
Hamilton-Jacobi pentru sisteme conservative.
5.APLICATII ALE SISTEMULUI LAGRANGIAN IN MECANICA
SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE Problema
celor doua corpuri, Miscarea in câmp central,
Problema lui Kepler, Miscarea in câmp
gravitational
6.CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILATII
Dezintegrarea particulelor, Ciocniri elestice ale
particulelor, Imprastierea particulelor, Formula
lui Rutherford, Teoria micilor oscilatii,
Oscilatii amortizate, Oscilatii fortate, Micile
oscilatii ale sistemelor cu mai multe grade de
libertate, oscilatii anarmonice, Rezonanta
parametrica.
3
7. SOLIDUL RIGID Miscarea de translatie si de
rotatie a solidului rigid, Miscarea solidului
rigid cu punct fix.
Bibliografia obligatorie Mecanica L.D.
Landau, E.M. Lifsit, Ed. Tehnica, Bucuresti,
1966 Mecanica teoretica C. Iacob, Ed. Did. si
Ped. Bucureti, 1971 Mecanica analitica si a
mediilor deformabile Merches, L. Burlacu, Ed.
Did. si Ped. Bucureti, 1983 Mecanica analitica
si aplicatii S. Filip, A. Marcu, Ed. Univ.
Oradea, 2002 Problems in Theoretical
PhysicsL.G. Sugakov, MIR, Moscow 1977. Problems
in Theoretical Physics L.G. Grechko, MIR,
Moscow, 1977 Culegere de probleme de Mecanica
Analitica L. Burlacu, D.G. David,
Univ.Bucuresti, 1988 Introduction to Lagrangian
and Hamiltonian mechanics ,A.J. Brizard, Saint
Michaels College,Colchester, 2003
4
Bibliografia optionala Advanced Classical
Mechanics, S.G. Rajeev, Univ.Rochester Spring,
2000. Classsical Mechanics, Haret C. Rosu,
Leon, Guajanato, Mexico,1999
http//arXiv.physics/9909035 v1 19 sept.1999 Los
Alamos Electronic Archives  physics/9909035 Calc
ulus of Variations and Applications, Lecture
Notes, A. Cherkaev, 2002 Lecture Notes on the
Dynamics and Particles and Rigid Bodies, Oliver
M. Reilly, Berkeley, California 97420-1740, 2004
oreilly_at_me.berkely.edu Methodsof
mathematical physics I, Michael Stone, Univ. of
Illiois, 1110 West Green Str.
Urbana, IL 61801, USA, 2004 Mechanics of
Manipulation, Mat Mason, 2004
http//www.cs.cmu.edu/mason
5
Istoric
Galileo
Cinematica particulelor
Sec.16,17
Newton
Vectorii forta si impuls
Gravitatia
Leibnitz
Calculul variational
Bernoulli
Descrierea Spatiului Configuratiilor
Sec.18
Euler
Energia
Lagrange
Principii variationale
Hamilton
Descrierea Spatiului Fazelor
Sec.19
Maxwell
Electrodinamica
Boltzmann
Mecanica Statistica
Gibbs
Poincare
Sec.20
Integrabilitate
Einstein
Simetrie
Noether
Teoria sistemelor Dinamice
Landau
Haos
Kolmogorov
6
Sec.21
Se pare ca este randul vostru!!!

• Simulare

?

• Complexitate

• Vizualizare

• Biodinamici

7
Leonhard Euler 1707 Basel 1783 St.Petesburg

• Mechanica 1736-37 pentru prima data se face o
  prezentare a dinamicii Newtoniene in for-malismul
  analizei matematice

• Theory of the Motions of Rigid Bodies 1765

• Contributii importante

1. Mecanica mediilor continue

2.Teoria miscarii Lunii (Clairaut)
3.Elasticitate, Acustica, Hdraulica
4.Teoria ondulatorie a luminii
8
Joseph-Louis Lagrange 1736-1813

• 1788 Mecanique Analytique

• Contributii importante

1. Calculul variatiilor

2. Calculul probabilitatilor
3. Propagarea sunetului
4. Studiul corzilor vibrante
5. Integrarea ecuatiilor diferentiale
6.Teoria orbitelor
7.Teoria numerelor
9
Teorie perfecta Newton
Sisteme simple
Sisteme reale
Cresterea Complexitatii

• Ecuatii vectoriale care sunt dificil de controlat
• Constrangeri
• Inexistenta unor proceduri generale

• Eliminarea constrangerilor
• Utilizarea energiilor cinetice si potentiale
• in rezolvarea miscarii
• Standardizarea formei ecuatiilor

Propunerea Lagrange
Mecanica Analitica
10
Teorema cantitatii de miscare pentru un SPM
P1
Fji
Pi
Fij
rezultanta tuturor fortelor interioare
P2
P3
rezultanta fortelor exterioare ce actioneaza
asupra fiecarui punct material
Pn
11
Teorema momentului cinetic pentru un SPM
conform principiului actiunii si reactiunii
momentul cinetic total al sistemului de puncte
materiale
vectorul moment rezultant al fortelor exterioare
12
Teorema energiei cinetic epentru un SPM
Lucrul mecanic elementar al fortelor interioare
Lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare
13

CONSTRANGERI Sistemele naturale implica existenta
unor legaturi (constangeri) prin care PM sunt
obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z0
x2y2R2). Constrangerile sunt restrictii
cinematice ale posibilitatilor de miscare ale
particulelor unui sistem si se exprima prin
intermediul unor relatii saclare de forma
n numarul PM din sistem
m numarul constrangerilor

• Existenta constrangerilor duce la mari
  complicatii in rezolvarea problemelor si de aceea
  
• pot fi pur si simplu eliminate
• se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii
  Lagrange)

Tipuri de constrangeri
Olonome (holosintegral) nu depind de viteze
Scleronome (nu depind explicit
de timp)-fixate
Reonome (depind explicit de
timp)
miscarile se efectueaza fara frecare, lucrul
mecanic este nul
miscari pe curbe sau suprafete mobile, fortele de
reactiune produc lucru mecanic
14
Exemple Penddulul canonic
Coord. Carteziene
Coord. Sferice
n 3 (x,y,z) m 1 (x2y2z2L2) NGL n-m 2
n 3(r, ?, f) m 1 , r L NGL n-m 2
(?, f)
Pendulul dublu
n 6 (x1 ,y1 ,z1) (x2 ,y2 ,z2) m
4 z10 z20 x12y12 l12
(x2-x1)2(y2-y1)2 l22 NGL n-m 2
(f1 , f2)
Cd. ca un sistem sa poata efectua o miscare este
mlt3n
15
Spatiul Configuratiilor (Figurativ)

• Dificultati induse de prezenta constrangerilor
• Razele vectoare nu mai sunt toate
  independente datorita ecuatiilor legaturilor gt
  Ec. de miscare nu mai sunt nici ele toate
  independente
• Conform legii a IIIa a mecanicii, datorita
  legaturilor, asupra PM constranse
• actioneaza si Forte de Reactiune
  (necunoscute apriori)

Cum pot fi inlaturate asemenea dificultati ?
3N coordonate carteziene dintre care
k sunt dependente (se pot exprima in
functie de restul de
3N-k) n3N-k sunt independente nr. Grd.
Libertate Sistem
N puncte materiale
K legaturi independente
- se aleg n marimi independente (q1, q2,.qn)
care pot descrie in mod univoc configuratia
spatiala a SPM - se renunta a se lucra cu raza
vectoare sau coord. carteziene si se lucreaza
direct cu qi i1,n coordonate generalizate
Propunerea Lagrange
16
Coordonatele generalizate
descriu in mod univoc, configuratia SPM in
orice moment
Spatiul configuratiilor
Se ne imaginam un spatiu n-dimensional
Fiecare punct din acest spatiu
corespunde unei configuratii a SPM
Evolutia in timp asistemului ? Curba in Spatiul
Configuratiilor
17
Deplasari
Efectul de miscare se reduce la deplasarile PM ce
alcatuiesc SPM, ale unor regiuni din SPM sau ale
intregului sistem ca un tot unitar
Deplasari posibile, reale
Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile
Pentru o deplasare virtuala dt0 toate punctele
sistemului sufera o deplasare spontana, ele
miscandu-se sincron
18
Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile
Consideram un sistem cu constrangeri

• Coordinate ordinare

• Coordonate generalizate

Sa ne imaginam ca toate particulele se misca usor
Deplasare virtuala

• dri trebuie sa satisfaca constrangerile

n coordonate independente
3N coordonate dependente
19
Principiul lui dAlembert
Dinamica Lagrangiana este capabila sa opereze cu
constrangeri dependente de timp, constrangeri
care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si
lucru mecanic virtual. Ne putem gandi la lucrul
mec. virtual ca un lucru mecanic care a uitat
de timp. Nu exista nici o diferenta intre cele
doua tipuri de lucru mecanic atat timp cat se
opereaza cu constrangeri dependente de timp.

• Din ecuatia de miscare a lui Newton

• O parte a fortei Fi se datoreaza constrangerilor

Forta aplicata
Forta de constrangere

• Forta de constrangere fi (in general) nu
• efectueaza lucru mecanic
• Miscarea este perpendicular pe forta

Forta aplicata este cunoscuta
2. Exceptia frecarea
20

• Multiplicand

cu dri si summand dupa i
Deoarece
Forta de constrangere a fost eliminata Si nu mai
are rost indicele (a)
Principiul lui dAlembert (1743)
Pentru un sistem de puncte materiale în miscare,
supus actiunii unor forte date si unor legaturi
bilaterale fara frecare (dependente sau
independente de timp), suma lucrurilor mecanice
virtuale ale fortelor date si ale fortelor de
inertie este nula
21
Conceptul de lucru mechanic virtual ne-a permis
eliminarea tuturor constrangerilor din sistem si
pastrarea doar a fortelor externe!!
Acest principiu trebuie sa functioneze pentru
orice variatie dqj ?
22
(No Transcript)
23
Notam
componentele generalizate ale fortelor
Observam ca
Ec. Lagrange de speta a II-a.
24
În cazul fortelor potentiale (forte conservative)
Intoducem notiunea de potentialul cinetic
Ec Lagrange sau ecuatiile diferentiale ale
miscarii unui SPM