Pour voir o

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Pour voir où nous en sommes dans le cours S.S.I.
Signal numérique
Rappel de la démarche suivie
spectre

• expliquer le signal numérique
• utiliser Matlab
• comment exploiter le spectre
• comment bien échantillonner, et que signifie
  sous échantillonner
• quest ce quun filtre ?
• comment créer des filtres quasi rectangulaires
• Comment créer des bancs de filtres pour découper
  le spectre
• Comment compresser avec un banc de filtres et un
  sous échantillonnage
• Du son à limage numérique

Sous-échantillonner
Nous sommes ici !
filtrer
Créer des filtres quasi rectangulaires
Des bancs de filtres pour découper le spectre
Compresser selon le principe de mp3
Du son à limage ?
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Filtrage (numérique) des Signaux

• Importance de linterprétation dans le domaine
  des fréquences
• Exemples dobjectifs du filtrage (sons, images,
  transmissions, ...)
• Formalisation dun filtre (convolution) notion
  de causalité
• Lien avec la transformée de Fourier et la
  transformée en z
• Filtres à réponse impulsionnelle finie (ou non
  récursifs)
• Technique élémentaire de synthèse des filtres
  numérique
• Exemples de filtres utilisé en compression MP3
• et en
  reconnaissance de parole
• Filtres non récursifs problème de stabilité
• Illustration en synthèse de son (timbre dun
  instrument,
• compression de la voix en
  téléphonie mobile)

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Importance de linterprétation dans le domaine
des fréquences
Opération usuelle de filtrage, dannulation
décho, etc ... déformation linéaire
invariante dans le temps par un milieu de
transmission
Signal émis
Signal capté et déformé
Milieu de transmission
Une composante sinusoïdale est amplifiée et
déphasée différemment suivant la fréquence
trouver cette déformation et la
compenser
Atténuation
Déphasage
visut
XR
(
)
visut
XPH
(
)
visut
XR
(
)
Fréquence
Fréquence
Filtrer un signal cest calculer une combinaison
linéaire déchantillons successifs du signal afin
de modifier lamplitude et la phase de ses
composantes sinusoïdales
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Exemples de Filtrage
Lissage par filtrage passe-bas (atténuation du
bruit)
élimination dune composante à 50 Hz
temps
temps
composante à 50 Hz
fréquence
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Modulation d amplitude translation en
fréquence exemple dutilisation du filtrage en
communication numérique
Bande de base
modulation
Addition, transmission (multiplexage)
time
x1
(
)
time
x1
(
)
time
x2
(
)
frequence
XX1
(
)
frequence
XX2
(
)
time
y1
(
)
frequence
YY1
(
)
frequence
YY1
(
)
time
y2
(
)
frequence
YY2
(
)
time
ys
(
)
démodulation
filtrage
frequence
YYS
(
)
time
yrec2
(
)
frequence
YYR1
(
)
time
yrec1
(
)
time
yr2
(
)
frequence
YYR1
(
)
frequence
YYR2
(
)
time
yr1
(
)
frequence
YYRT2
(
)
temps
frequence
YYRT1
(
)
fréq.
fréq.
temps
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Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le
signal intéressant est dans les basses fréquences)
(basses fréquences variations lentes)
7
Filtrage passe bas dune image
8
filtrage passe haut (dérivation) dune image en
vue de la détection de contours (il y a contour
quand il y a une variation rapide de lintensité)
Pour mettre en évidence les contours on amplifie
les hautes fréquences
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Application en Radar, Sonar, antennes adaptatives
en communications numériques filtrage spatio -
temporel
deuxième onde (provenant dune autre direction)
onde plane provenant dune direction
Traitement dantennes Retrouver par un réseau
de capteurs (antenne) la direction de
propagation des ondes sonores ou
électromagnétiques en ajustant les gains et les
retards appliqués à chacun des signaux captés et
reconstruire le signal provenant de cette
direction (et remplacer les antennes paraboliques
pour les réceptions satellites)
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Filtrage (numérique) des Signaux
Numérique dès que la bande de fréquence occupée
par le signal est suffisamment faible pour le
permettre plus fiable, plus souple que le
filtrage analogique actuellement les
téléviseurs font des traitements numériques (de
lordre dun milliard de multiplications par
seconde)
Filtrage numérique convolution discrète
y(t) St h(t) x(t-t)
entrée (signal original)
sortie signal filtré
filtre caractérisé par sa réponse impulsionnelle
x(t)
y(t)
h(t)
Filtre causal sa réponse impulsionnelle h(t)
est nulle pour les temps négatifs (en général
nécessité pour la programmation)
filtrage analogique équation différentielle
linéaire
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Filtrage (numérique) des Signaux
Résultat fondamental pour linterprétation et
parfois pour limplémentation
La transformée de Fourier (ou la transformée en
z) Y(z) dune convolution y(t) de deux fonctions
x(t) et h(t) est le produit des transformées X(z)
et H(z) de ces deux fonctions
y(t) St h(t) x(t-t)
Y(z)H(z).X(z)
Y(ei.w)H(ei.w).X(ei.w)
Fourier / z
La transformée de Fourier de x(t) est X(ei.w)
valeur de X(z) pour z ei.w
transformée en z dune convolution produit de
polynômes
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Filtrage (numérique) des Signaux
filtre à réponse impulsionnelle finie
Schéma
x(t)
y(t)
B(z)
Convolution filtre à réponse impulsionnelle
finie filtre non récursif
La fonction de transfert B(z) est un polynôme
Synthèse dun filtre
En général on se donne la réponse en fréquence du
filtre
(par transformée de Fourier inverse on obtient
la réponse impulsionnelle b(t))
Filtre passe-bas typiquement pour réaliser un
lissage
Filtre passe-bande ne conserver que les
composantes dans une bande de fréquence ainsi
dans MP3 le signal est filtré dans quelques
dizaines de bandes de fréquences et analysé dans
chacune de ces bandes
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synthèse des filtre numériques à réponse
impulsionnelle finie
Filtre idéal réponse en fréquence (module et
éventuellement phase)
Bande de transition
Bande passante
Bande atténuée
Gabarit tolérance
freq.
Fréquence de coupure
transformée de fourier inverse réponse
impulsionnelle troncature dans le domaine
temporel modification de la réponse en
fréquence transformée de Fourier vérification
est ce que le gabarit est respecté
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Réalisation dun filtre passe-bande
Temps
Fréquence
Troncature
Oscillations
Troncature
(Atténuation des oscillations en utilisant une
fenêtre de pondération)
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Lissage par filtrage passe-bas
fréquence déchant.
fréquence
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Principe du codage MP3
Filtrage des signaux dans différentes bandes de
fréquences
T. Cos et codage

T. Cos et codage
Emission des données
T. Cos et codage
T. Cos et codage
T. Cos et codage
Sélection des canaux utiles (effet de
masquage 1er codage
T. Fourier
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Filtres MP3
Réponse impulsionnelle des filtres (sans la
modulation)
Temps(échantillons)
Réponse en fréquence du filtre (la modulation se
traduit par une translation en fréquence pour
chacun des filtres)
Fréquence(kHz)
Fréquence déchantillonnage 44100Hz
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Filtrage dans différentes bandes de
fréquences lévolution de lénergie en sortie de
chacun des filtres sert de base aux techniques de
reconnaissance de parole
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Convolution filtre à réponse impulsionnelle
finie filtre non récursif
La fonction de transfert H(z) est un polynôme
Cas des filtres récursifs
Cas des filtres récursifs (ou à réponse
impulsionnelle infinie) analogie avec
les filtres à temps continu
léquation différentielle est approximée
par une équation aux différences et se
traduit par une équation récurrente

Meilleure modélisation de résonances
Synthèse de parole et de sons
Mais problèmes de précision et de stabilité
(bouclage)
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Cas des filtres récursifs
y(t) x(t) - Sp a (k) y(t-k)
(en synthèse de parole lordre p vaut 10 ou 12)
k1
schémas usuels
La fonction de transfert nest plus un
polynôme mais une fraction rationnelle
y(t)
x(t)
- Sp a (k) y(t-k)
k1
y(t)
x(t)
Bouclage risque dinstabilité
- Sp a (k) z-k
k1
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Stabilité dun filtre
Filtre stable si lentrée est bornée la sortie
est aussi bornée
les filtres à réponse impulsionnelle finie sont
toujours stables
les filtres récursifs sont caractérisés par les
racines du dénominateur zpA(z)
Le filtre 1/A(z) est stable si et seulement si
le polynôme dénominateur zpA(z) a toutes ses
racines (pôles du filtre) à lintérieur du cercle
de rayon 1
stable
instable
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Stabilité dun filtre récursif
Exemple élémentaire (filtre du premier ordre)
y(t)x(t) - a(1).y(t-1)
a(1) lt 1 ? filtre stable
A(z) 1 a(1) z -1
La réponse impulsionnelle est donnée par h(t)
a(1)t
a(1) -1.05
a(1) -0.95
filtre instable
filtre stable
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On peut combiner des filtres
en cascade
au lieu de
B(z)/A(z)
B(z)
1/A(z)
au lieu de
B(z).C(z)
B(z)
C(z)
en parallèle
B(z)
B(z)C(z)
au lieu de
C(z)
Interprétation en termes de transformées en z
multiplications et additions de polynômes ou de
fractions rationnelles
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Filtre récursif du deuxième ordre (simulation
dune équation différentielle avec oscillations
amorties)
fréquence de résonance q
amortissement r
réponse impulsionnelle
temps
réponse en fréquence
r
q
q
2p-q
pôles (racines du dénominateur z2A(z))
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Synthèse de son utilisant des filtres récursifs
Entrée suite dimpulsions (mélodie)
Sortie (mélodie timbre)
temps
temps
fréquence
fréquence
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Analyse / Synthèse de la parole en téléphonie
mobile
Code Excited Linear Prediction (CELP)
adresse dans un Dictionnaire de signaux
élémentaires
Prédiction à long terme (intonation, cordes
vocales)
Modèle du conduit vocal
Informations déduites du signal analysé et
transmises au synthétiseur
Filtres récursifs de synthèse
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algorithme danalyse fondé sur les
probabilités et produisant les coefficients
dun filtre récursif stable ayant les mêmes
caractéristiques spectrales que le signal
temps
temps
temps
28
Le filtrage linéaire est une des bases du
traitement du signal (avec la transformée de
Fourier et les probabilités) à
partir de laquelle il y a une grande variété
dextensions de plus en plus élaborées Quand on
traite un signal fourni par un capteur, il y a la
plupart du temps une opération de filtrage
En programmation essentiellement un calcul de
produit scalaire
de deux vecteurs (somme de produits)