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         Alice Ahlert Vanessa
Paula Reginatto Bernadete adaptado por
José Camilo Chaves
Análise Combinatória
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• ANÁLISE COMBINATÓRIA
• A análise combinatória é a parte da matemática
  que estuda o número de possibilidades de
  ocorrência de um determinado acontecimento.

Exemplo I João e Paulo
disputam entre si um campeonato de xadrez com as
seguintes regrasI - vence a disputa quem ganhar
duas partidas seguidas ou três em qualquer
ordem.II - em caso de empate, o vencedor será
declarado através sorteio.O número de resultados
possíveis nesta competição é
3
Legenda V_P vitória Paula V_A vitória Ana
Árvore de possibilidades
2 jogo
3 jogo
4 jogo
5 jogo
1 jogo
V_P
V_P
V_P
V_P
V_P
V_A
V_A
V_A
V_A
1 jogo
2 jogo
3 jogo
4 jogo
5 jogo
V_A
V_A
V_A
V_A
V_P
V_P
V_A
V_P
V_P
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• ANÁLISE COMBINATÓRIA
• Exemplo II

Uma Pessoa quer pintar os 4 cômodos de uma casa,
com as cores vermelho e amarelo. Quantas são as
possibilidades de pintar esses quatros cômodos.
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• Desenhando as possibilidades do Exemplo II

1ª possibilidade
2ª possibilidade
3ª possibilidade
4ª possibilidade
5ª possibilidade
8ª possibilidade
6ª possibilidade
7ª possibilidade
9ª possibilidade
10ª possibilidade
11ª possibilidade
12ª possibilidade
13ª possibilidade
14ª possibilidade
15ª possibilidade
16ª possibilidade
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• ANÁLISE COMBINATÓRIA
• A análise combinatória é a parte da matemática
  que estuda o número de possibilidades de
  ocorrência de um determinado acontecimento.

Dois conceitos são fundamentais para a análise
combinatória Fatorial de um número e o Princípio
Fundamental da Contagem.
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• Princípio fundamental da contagem
• .Se um acontecimento A pode ocorrer de m
  maneiras diferentes, um acontecimento B pode
  ocorrer de n maneiras diferentes e um
  acontecimento C pode ocorrer de p maneiras
  diferentes, o número total de ocorrência desses
  acontecimento e representado por m . n. p
• O mesmo se aplica a mais de 3 ocorrências

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• Exemplo 1
• Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas
  diferentes.De quantas maneiras diferentes você
  pode se vestir usando uma calça e uma camisa?

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• Resolvendo o problema através da árvore das
  possibilidades(método direto)

Escolha da camisa
Escolha da calça
3 possibilidades
3 possibilidades
Total de possibilidades 6
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• Resolvendo o problema da escolha das calças e das
  camisas através do princípio multiplicativo (
  método indireto)

Escolha da calça
Escolha da camisa
2 possibilidades
3 possibilidades
Total de possibilidades ( 2 . 3) 6
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• Exemplo 2
• Em uma escola, haverá um torneio de futsal do
  qual tomarão partes 3 classes. Apenas as duas
  primeiras colocadas(1º e 2º lugar) participarão
  dos jogos regionais. Determine quantas
  possibilidades existem para essa classificação

Time 1A
Time 2B
Time 3A
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• Desenhando as possibilidades do exemplo 2

2º lugar
Time 1A
1º lugar
Time 2B
Time 2B
Time 3A
Time 1A
Time 1A
Time 3A
Time 2B
Time 3A
Time 1A
Time 2B
Time 3A
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• Utilizando o princípio
  multiplicativo para resolver esse problema

1º lugar
2º lugar
Time 1A
Time 2B ou Time 3A
Time 1A ou Time 3A
Time 2B
Time 2B ou Time 1A
Time 3A
3 possibilidades x 2 possibilidades
6
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• Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B ,
  e 2 linhas ligando as cidades B e C. De quantas
  maneiras distintas pode-se ir de A até C,
  passando por B

3 possibilidades x 2 possibilidades
6
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Para montar um computador, temos 3 diferentes
tipos de monitores, 2 tipos de teclados, e 2
tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes
possibilidades de computadores que podem ser
montados com essas peças utilizamos o princípio
multiplicativo
CPU
Teclados
Monitores
2 x 3
x 2 12
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• Combinação Simples
•   Combinação simples é o tipo de agrupamento em
  a mudança da ordem de um grupo não diferente um
  grupo do outro pela ordem ou pela natureza dos
  elementos componentes. 

Cn,p n! / p!.(n-p)!
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Exemplo Carlos quer
presentear sua namorada, com dois presentes entre
três que ele comprou. Quantas são as
possibilidades da escolha dos presentes para sua
namorada
Observamos que nessa situação proposta, se a
namorada de Carlos receber de presente um livro e
depois um celular e a mesma situação que ela
receber um celular e depois um livro. A ordem de
receber o presente não altera o grupo
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Escolhendo o 1º Presente
Escolhendo o 2º Presente
Livro, Bombom
Livro, Celular
Bombom, Celular
Carlos tem três possibilidades de escolha para
presentear sua namorada
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• FÓRMULA DA
  COMBINAÇÃO SIMPLES
• No exemplo anterior, para descobrirmos o número
  de combinações, basta Aplicar a fórmula Cn,p
  n! /p!.(n-p)!
• O número de combinações de n elementos de
  grupos de p elementos é igual ao número de
  arranjos de n elementos tomados p a p divididos
  por p!, isto é
• C n, p n !
• p! .( n p)!
• C 3, 2 3 ! . 3. 2. 1
• 2! (3 2) ! 2! 1!
• C 3 2 6 3 gt C3,2 3
• 2.1

• n elementos distintos, quantidades de coisas
• ex 3 presentes (livro, bombom, celular)
• p agrupamentos possíveis dois presentes
• ex duplas ou tomados dois a dois.
•  

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Quantas diagonais tem um hexágono Regular (figura
de 6 lados)
9 diagonais
Utilizando fórmula da combinação temos
C n, p n ! p! .( n p)!
C 6, 2 6! 2! .( 6 2)!
C 6, 2 720 2 .24
15-6 9
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• PERMUTAÇÃO SIMPLES
•  
•  
• Permutações simples de n elementos distintos
  são os agrupamentos formados com todos os n
  elementos e que diferem uns dos outros pela ordem
  de seus elementos. 
• Pn n!   
•  

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• Num consultório estão três pessoas para ser
  atendidas por ordem de chegada. Quantas são as
  possibilidades dessas três pessoas serem atendidas

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• Desenhando as possibilidades pela ordem de chegada

1 a chegar
2 a chegar
3 a chegar
24

• Utilizando o princípio multiplicativo pela ordem
  de chegada

1 a chegar
2 a chegar
3 a chegar
3 x 2 x
1 6
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• EXEMPLO 2
• Quantos são os anagramas da palavra BOLA?
•  BOLA BOAL BLOA BLAO BALO
  BAOL
• OBAL OBLA OLBA OLAB OABL
  OALB
• LOBA LOAB LBAO LBOA LABO
  LAOB
• ABLO ABOL ALOB ALBO AOLB
  AOBL
• P 4 4! 24 permutações ou anagramas

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• ARRANJOS SIMPLES
•  
• Arranjos simples é o tipo de agrupamento em que
  um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela
  natureza dos elementos componentes.

An,p n! /(n-p)!
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Um ladrão esquecido pretende arrombar um cofre,
mas esqueceu a combinação da senha. Ele sabe que
a senha é formada por três números diferentes,
entre os números 3,4,7,9 Após quantas tentativas
ele poderá abrir o cofre?
1º número
2º número
3º número
4 x 3 x 2
24
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• Utilizando a fórmula do arranjo simples temos

An,p n! /(n-p)!
A4,3 4! /(4-3)!
A4,3 24 /1
A4,3 24 possibilidades de abrir o cofre
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(No Transcript)
30

•  .
•  

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• Quantos números de dois algarismos (elementos)
  distintos podem ser formados, usando os
  algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?

Pode-se observar que os grupos (números ou
elementos) obtidos diferem entre si   pela
ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)   Os
grupos assim obtidos são denominados arranjos
simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são
indicados A 4, 2 4. 3 12
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(No Transcript)
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• Idéia do trabalho
• Alice Ahlert
• Vanessa Paula Reginatto
• Bernadete
• Estudantes do curso de Ciências Exatas UNIVATES
• Lajeado - RS
• Adaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007
• Prof. de Matemática da E.T.E João Gomes de Araújo
• Pindamonhangaba-SP