Geometrik - PowerPoint PPT Presentation

About This Presentation
Title:

Geometrik

Description:

Title: 7. Amfi Author: b tb t Last modified by: Ceng Chair Created Date: 12/4/2005 10:52:35 PM Document presentation format: On-screen Show Company – PowerPoint PPT presentation

Number of Views:37
Avg rating:3.0/5.0
Slides: 31
Provided by: bitbit
Category:
Tags: geometrik | taha

less

Transcript and Presenter's Notes

Title: Geometrik


1
  • Geometrik
  • Dönüsümler

2
Genel Bakis
  • 2 ve 3 boyutlu,
  • Çevirim(Translation)
  • Dönüs(Rotation)
  • Ölçeklendirme(Scaling)
  • Homojen koordinatlar
  • Koordinat sistemleri

3
2 Boyutlu Konum Degistirme (Translation)
  • Bir nesneyi bir koordinattan bir digerine düz bir
    çizgi boyunca yeniden konumlandirma
  • Orijinal koordinat pozisyonuna tx ve ty, çevirim
    mesafelerini ekleme
  • Konum degistirme katilarda,
  • Nesneyi bozmadan hareket ettirir.

4
2 Boyutlu Dönüs (Rotation)
  • Orijin etrafinda dönüs..
  • Orijinal kutup koordinatlari..
  • Yerlerine yerlestirdikten sonra..
  • Matris yapisi
  • Pozitif dönüs açilari saat yönünün tersini
    gösterirken, negatif açilar saat yönünü gösterir.

5
2 Boyutlu Dönüs
  • Rastgele bir nokta etrafinda dönüs
  • Önce translation(xr,yr) ve yerlerine koymadan
    sonra dönüs..

6
2 Boyutlu Dönüs
  • Dönüslerde islem sirasi önemlidir. Sonuç imge
    farkli olabilmektedir. Asagidaki örnekte oldugu
    gibi...

7
2 Boyutlu Dönüs
  • Bir dogru, dogrunun bitis noktalarina dönüs
    denklemi uygulanarak döndürülür ve yeni bitis
    noktalari arasina yeniden çizilir.
  • Çokgenler her tepe noktasini belirlenen dönüs
    açisiyla döndürülürler ve daha sonra yeniden
    çizerler.
  • Egriler tanimlama noktalarinin yeniden
    konumlandirilmasi ve egrinin yeniden çizilmesiyle
    döndürülür.

8
2 Boyutlu Ölçeklendirme
  • Nesnenin boyutunu degistirir
  • Bir nesne her tepe noktasinin (x,y)
    koordinatlarinin birer ölçekleme katsayisi olan
    sx ve sy ile çarpilmasiyla ölçeklendirilir.
  • Sx ve sy herhangi bir pozitif deger alabilir.
  • 1den küçük degerler nesnenin boyutunu küçültür.
  • 1den büyük degerler genisleme saglarlar
  • Sx ve sy 1 ise, boyut degismez.

9
2 Boyutlu Ölçeklendirme
  • Tek düze ölçeklendirme
  • Sx ve sy ayni degerdedirler.
  • Diferansiyel ölçeklendirme
  • Sx ve sy esit degildirler.
  • 1den küçük ölçekleme degerleri nesneyi orijine
    yaklastirir.
  • 1den büyük ölçekleme degerleri nesneyi orijinden
    uzaklastirir.
  • Sabit nokta
  • (xf,yf) sabit noktasi ölçeklemeden sonra konumu
    kontrol etmek içindir.
  • (xf,yf) sabit noktasinin koordinatlari herhangi
    bir pozisyonda olabilir.????
  • xf(1-sx) ve yf(1-sy) nesnenin tüm noktalari için
    sabit tasima (translation) olusturur.

10
Homojen koordinatlar
  • Soru
  • Çevirim(Translation) matrisleri toplama
    gerektirmesine ragmen, ölçekleme ve dönüs
    matrisleri çarpim gerektirir. Bunlari nasil
    birlestiririz?
  • Çözüm
  • Kartezyen koordinatlari yerine homojen
    koordinatlar kullanilir. Bu koordinat sisteminde
    çevirim, ölçekleme ve dönüs genel bir matris
    çarpim yöntemiyle ifade edilebilir.

11
Homojen koordinatlar
  • 2 boyutlu koordinatta temsil edilen p1(x1,y1)
    noktasini bir h degiskeni ekleyerek
    p1h(hx1,hy1,h) olarak gösterilir. h1 oldugunda
    (x,y) için kartezyen koordinatlardaki deger elde
    edilir.
  • Homojen koordinatlarda p(m,n,h) ile verilen nokta
    p(m/h,n/h,1) kullanilarak kartezyen
    koordinatlardaki degerler bulunabilir.
  • Her nokta için ayni dogru üzerinde h degerine
    bagli olarak birden çok homojen koordinatla
    gösterilebilir.

12
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Çevirim
  • Matris temsili..
  • Ters çevirim matrisi tx ve tyyi tx ve ty ile
    degistirilerek yapilir. P den P ne
  • ve P nden P ye çevirim..

13
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüs
  • Matris temsili.
  • Ters dönüs matrisi ?nin ?ya dönüstürülmesi ile
    gerçeklestirilir.
  • Iki basarili dönüs..

14
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Ölçekleme
  • Matris temsili..
  • Ters ölçekleme matrisi sx ve synin 1/sx ve 1/sy
    ile degistirilmesiyle elde edilir.
  • P den P ne ve P den P ne ölçekleme.

15
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüsüm
Birlesimi
  • Açik GL sadece orijin etrafinda bir dönüs
    fonksiyonu saglar.
  • Rasgele bir nokta etrafinda bir nesneyi döndürmek
    için ardi ardina 3 esas dönüsüm yapilmalidir.
  • Eksen noktasi orijine çevrilir.
  • Orijin etrafinda dönülür.
  • Eksen noktasi tekrar orijinal haline çevrilir.

16
(No Transcript)
17
2 Boyutlu Çevirimin Bilesenleri
18
DIGER DÖNÜSÜM ÇESITLERI
  • Makaslama-Kaykilma(Shear)
  • Yansima(Reflection)

19
Makas(Shear-Kaykilma) Çevirimi
  • Bir nesnenin seklini sanki birbirleri üzerinden
    kayan iç tabakalardan olusmus gibi gösterecek
    sekilde biçimini bozar
  • X-yönünde makas
  • Y- yönünde makas

20
Yansima Çevirimi
  • Bir nesnenin ayna yansimasini olusturur.

21
Temel Dönüsüm Siniflari
  • 1)Kati kütle(Rigid Body) ÇevirimUzunluk, açi ve
    yönelim(orientation) korunur. Örn Dönüs
    (Rotation) ve çevirim(Translation)
  • 2)Yakin(Affine) Çevirim Dogrularin uzunluklari
    ve açilarini degil, paralelliklerini korur.
    Çizgiler çizgi olarak kalir. Örn
    Çevirim(translation), Dönüs(rotation),
    Ölçekleme(scaling), Makaslama(shear), ve Yansima
    (reflection)
  • 3)(Conformal) Çevirim Sadece Açi ve yönelimin
    (orientation) korundugu çevirim. Orn Dönüs
    (Rotation), çevirim(Translation) ve düzenli
    ölçekleme (uniform scaling).
  • Bu özellikler ayni zamanda 3 boyutlularda da
    geçerlidir.

22
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Çevirimler
  • 4e 4lük homojen bir matris
  • Ters çevirim matrisi tx , ty ve tzyi tx ,ty
    ve tz ile degistirerek elde edilir.

23
3 Boyutlu Dönüsüm3 Boyutlu Çevirim
  • Tüm tanim noktasi çevrilmistir.
  • Nesne bir çokgense, her tepe noktasi ayrica
    çevrilir.

24
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Ölçekleme
  • 4e 4lük bir homojen matris
  • Ters ölçekleme matrisi sx, sy ve sz yerine 1/sx,
    1/sy ve 1/sz konularak olusturulur.

25
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Ölçekleme
  • Sabit bir noktaya göre ölçekleme

26
3 Boyutlu Dönüsüm3 Boyutlu Dönüs
  • z ekseni etrafinda dönüs
  • x ekseni etrafinda dönüs
  • y ekseni etrafinda dönüs

27
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri
  • Ilk hali. son hali
  • Dönüsümü basarabilmek için iki yol vardir.
  • T, rx,ry, rz dönüsümlerini olustur.
  • Dikey matrisin özelliklerini kullan

28
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri
  • 2 boyutlu bilesenleriyle ayni sekilde yapilir.
  • P1i orijine dönüstür.
  • y ekseni etrafinda çevir (p1, p2 (y,z) düzleminde
    uzanmaktadir.)
  • x ekseni etrafinda çevir (p1, p2 z ekseni
    üzerindedir)
  • z ekseni etrafinda çevir (p1, p3(y,z) düzleminde
    uzanmaktadir)
  • Bilesik matris asagidaki gibidir

29
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri
  • Dönüs matrisini çapraz çarpim kullanarak
    olusturunuz
  • RZ z eksenine dönecektir
  • RX x eksenine dönecektir
  • RY y eksenine dönecektir
  • Bilesik matris

30
(No Transcript)
Write a Comment
User Comments (0)
About PowerShow.com