Geometrik

1

• Geometrik
• Dönüsümler

2
Genel Bakis

• 2 ve 3 boyutlu,
• Çevirim(Translation)
• Dönüs(Rotation)
• Ölçeklendirme(Scaling)
• Homojen koordinatlar
• Koordinat sistemleri

3
2 Boyutlu Konum Degistirme (Translation)

• Bir nesneyi bir koordinattan bir digerine düz bir
  çizgi boyunca yeniden konumlandirma
• Orijinal koordinat pozisyonuna tx ve ty, çevirim
  mesafelerini ekleme
• Konum degistirme katilarda,
• Nesneyi bozmadan hareket ettirir.

4
2 Boyutlu Dönüs (Rotation)

• Orijin etrafinda dönüs..
• Orijinal kutup koordinatlari..
• Yerlerine yerlestirdikten sonra..
• Matris yapisi
• Pozitif dönüs açilari saat yönünün tersini
  gösterirken, negatif açilar saat yönünü gösterir.

5
2 Boyutlu Dönüs

• Rastgele bir nokta etrafinda dönüs
• Önce translation(xr,yr) ve yerlerine koymadan
  sonra dönüs..

6
2 Boyutlu Dönüs

• Dönüslerde islem sirasi önemlidir. Sonuç imge
  farkli olabilmektedir. Asagidaki örnekte oldugu
  gibi...

7
2 Boyutlu Dönüs

• Bir dogru, dogrunun bitis noktalarina dönüs
  denklemi uygulanarak döndürülür ve yeni bitis
  noktalari arasina yeniden çizilir.
• Çokgenler her tepe noktasini belirlenen dönüs
  açisiyla döndürülürler ve daha sonra yeniden
  çizerler.
• Egriler tanimlama noktalarinin yeniden
  konumlandirilmasi ve egrinin yeniden çizilmesiyle
  döndürülür.

8
2 Boyutlu Ölçeklendirme

• Nesnenin boyutunu degistirir
• Bir nesne her tepe noktasinin (x,y)
  koordinatlarinin birer ölçekleme katsayisi olan
  sx ve sy ile çarpilmasiyla ölçeklendirilir.
• Sx ve sy herhangi bir pozitif deger alabilir.
• 1den küçük degerler nesnenin boyutunu küçültür.
• 1den büyük degerler genisleme saglarlar
• Sx ve sy 1 ise, boyut degismez.

9
2 Boyutlu Ölçeklendirme

• Tek düze ölçeklendirme
• Sx ve sy ayni degerdedirler.
• Diferansiyel ölçeklendirme
• Sx ve sy esit degildirler.
• 1den küçük ölçekleme degerleri nesneyi orijine
  yaklastirir.
• 1den büyük ölçekleme degerleri nesneyi orijinden
  uzaklastirir.
• Sabit nokta
• (xf,yf) sabit noktasi ölçeklemeden sonra konumu
  kontrol etmek içindir.
• (xf,yf) sabit noktasinin koordinatlari herhangi
  bir pozisyonda olabilir.????
• xf(1-sx) ve yf(1-sy) nesnenin tüm noktalari için
  sabit tasima (translation) olusturur.

10
Homojen koordinatlar

• Soru
• Çevirim(Translation) matrisleri toplama
  gerektirmesine ragmen, ölçekleme ve dönüs
  matrisleri çarpim gerektirir. Bunlari nasil
  birlestiririz?
• Çözüm
• Kartezyen koordinatlari yerine homojen
  koordinatlar kullanilir. Bu koordinat sisteminde
  çevirim, ölçekleme ve dönüs genel bir matris
  çarpim yöntemiyle ifade edilebilir.

11
Homojen koordinatlar

• 2 boyutlu koordinatta temsil edilen p1(x1,y1)
  noktasini bir h degiskeni ekleyerek
  p1h(hx1,hy1,h) olarak gösterilir. h1 oldugunda
  (x,y) için kartezyen koordinatlardaki deger elde
  edilir.
• Homojen koordinatlarda p(m,n,h) ile verilen nokta
  p(m/h,n/h,1) kullanilarak kartezyen
  koordinatlardaki degerler bulunabilir.
• Her nokta için ayni dogru üzerinde h degerine
  bagli olarak birden çok homojen koordinatla
  gösterilebilir.

12
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Çevirim

• Matris temsili..
• Ters çevirim matrisi tx ve tyyi tx ve ty ile
  degistirilerek yapilir. P den P ne

• ve P nden P ye çevirim..

13
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüs

• Matris temsili.
• Ters dönüs matrisi ?nin ?ya dönüstürülmesi ile
  gerçeklestirilir.
• Iki basarili dönüs..

14
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Ölçekleme

• Matris temsili..
• Ters ölçekleme matrisi sx ve synin 1/sx ve 1/sy
  ile degistirilmesiyle elde edilir.
• P den P ne ve P den P ne ölçekleme.

15
Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüsüm
Birlesimi

• Açik GL sadece orijin etrafinda bir dönüs
  fonksiyonu saglar.
• Rasgele bir nokta etrafinda bir nesneyi döndürmek
  için ardi ardina 3 esas dönüsüm yapilmalidir.
• Eksen noktasi orijine çevrilir.
• Orijin etrafinda dönülür.
• Eksen noktasi tekrar orijinal haline çevrilir.

16
(No Transcript)
17
2 Boyutlu Çevirimin Bilesenleri
18
DIGER DÖNÜSÜM ÇESITLERI

• Makaslama-Kaykilma(Shear)
• Yansima(Reflection)

19
Makas(Shear-Kaykilma) Çevirimi

• Bir nesnenin seklini sanki birbirleri üzerinden
  kayan iç tabakalardan olusmus gibi gösterecek
  sekilde biçimini bozar
• X-yönünde makas
• Y- yönünde makas

20
Yansima Çevirimi

• Bir nesnenin ayna yansimasini olusturur.

21
Temel Dönüsüm Siniflari

• 1)Kati kütle(Rigid Body) ÇevirimUzunluk, açi ve
  yönelim(orientation) korunur. Örn Dönüs
  (Rotation) ve çevirim(Translation)
• 2)Yakin(Affine) Çevirim Dogrularin uzunluklari
  ve açilarini degil, paralelliklerini korur.
  Çizgiler çizgi olarak kalir. Örn
  Çevirim(translation), Dönüs(rotation),
  Ölçekleme(scaling), Makaslama(shear), ve Yansima
  (reflection)
• 3)(Conformal) Çevirim Sadece Açi ve yönelimin
  (orientation) korundugu çevirim. Orn Dönüs
  (Rotation), çevirim(Translation) ve düzenli
  ölçekleme (uniform scaling).
• Bu özellikler ayni zamanda 3 boyutlularda da
  geçerlidir.

22
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Çevirimler

• 4e 4lük homojen bir matris
• Ters çevirim matrisi tx , ty ve tzyi tx ,ty
  ve tz ile degistirerek elde edilir.

23
3 Boyutlu Dönüsüm3 Boyutlu Çevirim

• Tüm tanim noktasi çevrilmistir.
• Nesne bir çokgense, her tepe noktasi ayrica
  çevrilir.

24
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Ölçekleme

• 4e 4lük bir homojen matris
• Ters ölçekleme matrisi sx, sy ve sz yerine 1/sx,
  1/sy ve 1/sz konularak olusturulur.

25
3 Boyutlu Dönüsümler3 Boyutlu Ölçekleme

• Sabit bir noktaya göre ölçekleme

26
3 Boyutlu Dönüsüm3 Boyutlu Dönüs

• z ekseni etrafinda dönüs
• x ekseni etrafinda dönüs
• y ekseni etrafinda dönüs

27
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri

• Ilk hali. son hali
• Dönüsümü basarabilmek için iki yol vardir.
• T, rx,ry, rz dönüsümlerini olustur.
• Dikey matrisin özelliklerini kullan

28
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri

• 2 boyutlu bilesenleriyle ayni sekilde yapilir.
• P1i orijine dönüstür.
• y ekseni etrafinda çevir (p1, p2 (y,z) düzleminde
  uzanmaktadir.)
• x ekseni etrafinda çevir (p1, p2 z ekseni
  üzerindedir)
• z ekseni etrafinda çevir (p1, p3(y,z) düzleminde
  uzanmaktadir)
• Bilesik matris asagidaki gibidir

29
3 Boyutlu Dönüsümün Bilesenleri

• Dönüs matrisini çapraz çarpim kullanarak
  olusturunuz
• RZ z eksenine dönecektir
• RX x eksenine dönecektir
• RY y eksenine dönecektir
• Bilesik matris

30
(No Transcript)