DISTRIBUSI KHUSUS DARI RUMPUN VARIABEL RANDOM DISKRET

1
DISTRIBUSI KHUSUS DARI RUMPUN VARIABEL RANDOM
DISKRET
2
HUBUNGAN TIMBAL BALIK ANTARA BEBERAPA DISTRIBUSI
YANG MENDASAR
3
DISTRIBUSI BERNOULLI
Definisi Variabel Random X dikatakan
berdistribusi Bernoulli dengan parameter p,
dan ditulis dalam bentuk X BIN (1, p)
Jika X mempunyai Distribusi Probabilitas/peluang
X 0 1
p (x) P (Xx) 1-p p
Distribusi Bernaoulli merupakan hal khusus dari
Distribusi Binomial. Tabel diatas, dapat ditulis
sbb
X BIN (1, p)
pmf
parameter dari Distribusi Bernouli
4
DISTRIBUSI KHUSUS VARIABL RANDOM DISKRET
DISTRIBUSI BERNOULLI Random Experiment dengan
dua outcomes disebut Bernoulli Trial
ON, PRESENT, GOOD,
MALE, LIFE
1
SUCCESS
RE OUTCOMES
FAILURE
0
FEMALE, DEATH
OFF, ABSENT, DEFECT
VR 0 - 1 DISEBUT VR. BERNOULLI VR.
INDIKATOR
5
SIFAT BERNOULLI TRIALS

• Sifat dari Bernoulli Trials
• OUTCOMES setiap Trial dinyatakan
• SUKSES DAN GAGAL
• (succes) (failure)
• 2. p P (SUKSES) sama untuk setiap trial
• Setiap Trial, saling bebas (independent)
• DEFINISI
• Yang dimaksud dengan serangkaian Bernoulli Trials
  adalahVariabel Random X1, X2, X3, . . . yang
  bersifat i.i.d dimana untuk setiap i 1, 2, 3, .
  . .
• Xi BIN (1,p)

6
DISTRIBUSI BINOMIAL
DEFINISI Untuk 0 lt p lt1 dan bilangan bulat
positif, n, VRD X berdistribusi Binomial dengan
parameter n dan p ditulis dengan lambang X
BIN (n,p) Dimana X X1 X2 . . . Xn Dan Xi
adalah i.i.d BIN (1,p) E (X) np Var X np
(1-p) pmf dari X BIN (n,p) ?
7
pmf dari DISTRIBUSI BINOMIAL
x SUKSES
BERNOULLI trial
1 1 1 1 . . . . . 1 0 0 0 . . . . 0
(n- x) GAGAL
DLP p. p .p (1-p)(1-p) (1-p)
x SUKSES
(n-x) GAGAL
8
DISTRIBUSI POISSON
Distribusi Poisson diambil dari nama Matematisi
Prancis Simeon Denis Poisson. Konsep dasar
Distribusi Poisson berawal dari Distribusi
Binomial, oleh karena itu Distribusi Poisson
disebut sebagai pendekatan/hampiran dari
distribusi Binomial. ANDAIKAN X BIN (n,p)
Jika np ??, Bila n ??, ? konstanta maka p ? 0
BORTKIEWICZ MEMBUKTIKAN
9
HUBUNGAN REKURENSI
Definisi Variabel Random X dengan nilai-nilai
x 0, 1, . n dikatakan berdistribusi Poisson
dengan parameter ?, ? gt0, jika
SELANJUTNYA DIPEROLEH
FUNGSI DISTRIBUSI
SUDAH DITABELKAN p(x, ?) F (x, ?) F (x-1, ?)
10
MEAN DAN VARIANSI
DAPAT DIBUKTIKAN, BAHWA
11
DISTRIBUSI HYPERGEOMETRIK
Salah satu kriteria pada distribusi Binomial,
yaitu peluang sukses tetap bernilai sama dari
satu percobaan ke percobaan lainnya
APABILA TIDAK SAMA
DISTRIBUSI HYPERGEOMETRIK (WOR)
DISTRIBUSI BINOMIAL (WR)
12
DISTRIBUSI HYPERGEOMETRIK
x cacat
N1
n
n-x baik
Sampel banyaknya n
N2
Item yang cacat
N N1 N2
Item dari sesuatu populasi yang finite
Item yang baik
Andaikan X VR yang menyatakan banyaknya item
yang cacat dalam sampel. maka distribusi
probabilitas/pmf
13
FUNGSI DISTRIBUSI
DIPEROLEH HUBUNGAN REKURENSI
14
HYP ? BIN ? POI
HYP
BIN
Jika n, N, N1 ? ? sehingga
Konvergen dan
POI
UNTUK SEMUA HARGA x, MAKA
15
DISTRIBUSI GEOMETRIK
P(S) p P (F) 1 - p
Distribusi Geometrik, dilakukan pengamatan dan
pencatatan pada kejadian sukses yang pertama.
X GEO (p) pmf p (x) P (X x) (1 p
)x-1 p x 1, 2, . . . Kadang kadang di tulis
g (x p ) (1 p ) x-1p x 1, 2, . .
16
FUNGSI DISTRIBUSI
X GEO (p) Fungsi Distribusi F (x) P (X
x) 1 (1 - p)x x 1, 2, . . . Sebagai
ilustrasi X GEO (0,2) Maka P ( X gt 4 ) 1
P ( X 4) 1 F (4) 1 1
(1-0,2)4 1 1 (0,8)4 (0,8)4
17
DISTRIBUSI PASCAL
Pascal distribution/Negative Binomial
distribution/Waiting time distribution
Distribusi Bernoulli percobaan diamati hingga
tepat r sukses dengan peluang sukses p
DENGAN r 1, 2, 3, . . . x
r, r1, r2, . . . .
18
Contoh Soal

• Bagian pengendalian kualitas produksi, ingin
  mengetahui kualitasnya dengan mengambil sampel
  sebanyak enam items. Jika diketahui bahwa
  proporsi peluang items yang cacat adalah 0,20
• Beberapa peluang dari sampel yang diambil
  tersebut berisi/memuat
• a. Tidak ada yang cacat
• b. Satu item yang cacat
• c. Dua item yang cacat
• d. Empat items yang cacat
• f. Lebih dari tiga items yang cacat

19

• x 0,16
• n 6 Selanjutyna a. p (0)
• p 0,20 b. p (1)
• c. p (2)

20
Soal-soal

• 1. Box berisi 24 Diaode, 8 diantaranya
  rusak/cacat. Jika X VR yang menyatakan banyaknya
  Diode yang cacat dalam sampel sebanyak 10.
• Pertanyaan
• a. Tentukan pmf dari X
• b. Tentukan peluang paling sedikit dua diode
  yang cacat
• c. Tentukan mean dan standard deviasinya

21
Soal-soal

• 2. A telephone exchange receives calls at random
  with an avarage of 3 incoming calls perminute.
• What is the probability that
• a. No calls arrive in a 1 minute interval ?
• b. More than 3 calls arrive interval
• c. Less than 4 calls arrive in a 5 minute
  interval
• d. More than 8 calls arrive in a 5 minute
  interval?
• e. Betweenn 3 and 8 calls inclusive arrive in a
  5 minute interval

22
Soal-soal

• 3. An urn contains six red, four white, and eight
  blue balls. Consider the following situations.
• (i). Five ball are drawn WR. What is the
  probability of obstaining there red?
• (ii). Five balls are drown WOR. What is the
  probability of obtaining three red ?
• (iii). Five balls are drawn WR. What is the
  probability of obtaining two red, two white and
  one blue.
• (iv). Five balls are drawn WOR. What is the
  probability of obtaining two red, two white and
  one blue.