Optimizaci

1
Optimización de Procesos
2
Tier I Métodos Matemáticos de optimización

• Daniel Grooms
• Sección 1
• Introducción

3
Propósito de este Módulo

• Este módulo provee una introducción del área de
  optimización y muestra como se relaciona la
  optimización a la ingeniería química en general y
  a la integración de procesos en particular
• Esta es una introducción así que hay muchos
  aspectos interesantes que no serán cubiertos aqui
  
• Para una discusión más detallada, vea las
  referencias listadas al final del módulo

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Introducción a la Optimización

• Qué es optimización?
• Un proceso matemático de obtención del valor
  mínimo (o máximo) de una función sujeto a algunas
  restricciones determinadas
• La optimización es usada todos los días
  Ejemplos
• Al elegir la ruta que llevará a un destino
• Al asignar el tiempo de estudio para varias
  clases
• El orden de cocción de varios artículos en una
  comida
• Qué tan frecuentemente se debe cambiar el filtro
  de aire de un carro

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Aplicaciones de la Optimización

• Ejemplos de optimización en una planta química
• A qué temperatura operar un reactor?
• Cuándo regenerar/cambiar el catalizador del
  reactor?
• Qué razón de reflujo de destilación usar para la
  pureza deseada?
• Qué diámetro de tubería para una red de
  tuberías?
• La optimización puede ser usada para determinar
  las mejores respuestas para cada una de estas
  preguntas

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Beneficios de la Optimización

• Capaz de determinar sistemáticamente la mejor
  solución
• Un modelo creado por optimización puede ser usado
  para otras aplicaciones
• Los conocimientos ganados durante el proceso de
  optimización pueden identificar cambios que
  pueden hacerse para mejorar el desempeño

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Requisitos para la Optimización

• Un claro entendimiento de que se necesita
  optimizar.
• Ej. minimizar el costo o maximizar la calidad
  del producto?
• Comprensión de las restricciones en la
  optimización.
• Ej asuntos de seguridad, requisitos del cliente,
  límites de presupuesto, etc.
• Una manera de representar esto matemáticamente
  (i.e. un modelo)

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Definiciones

• Función objetivo Una representación de lo que
  quieres minimizar o maximizar - como costo,
  tiempo, producción, ganancia, etc.
• Variables Elementos que pueden ser cambiados
  para influenciar el valor de la función objetivo
• Restricciones Igualdades o desigualdades que
  limitan la cantidad de variables que pueden ser
  cambiadas

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Más Definiciones

• Mínimo Un punto donde la función objetivo no
  disminuye cuando la(s) variable(s) es cambiada en
  cierta cantidad.
• Máximo Un punto donde la función objetivo no se
  incremente cuando la(s) variable(s) es cambiada
  en cierta cantidad.
• Mínimo Mínimo Estricto

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Ejemplo 1 de Modelamiento

• Una planta química hace urea y nitrato de amonio.
  Las utilidades netas son 1000 y 1500/ton
  producida respectivamente. Ambos químicos son
  fabricados en dos pasos - reacción y secado. El
  número de horas necesarias para cada producto es
  proporcionado abajo

Paso/Químico Urea Nitrato de Amonio
Reacción 4 2
Secado 2 5
11
Ejemplo 1 de Modelamiento

• La etapa de reacción opera un total de 80 horas
  por semana y la de secado está disponible por 60
  horas por semana. Hay 75 toneladas de materia
  prima disponible. Cada tonelada producida de
  cualquier producto requiere 4 toneladas de
  materia prima.
• Cuál es la velocidad de producción de cada
  químico que maximizará las utilidades netas de la
  planta?

12
Ejemplo 1 de Modelamiento

• Función Objetivo
• Queremos maximizar la utilidad neta. Utilidad
  Neta Ingresos - Costo. Consideremos x1
  toneladas de urea producidas por semana y x2
  toneladas de nitrato de amonio producidas por
  semana. Ingresos 1000x1 1500x2. No existen
  datos para los costos, así que asumiremos Costo
  0.
• Entonces, la función objetivo es
• Maximizar 1000x1 1500x2

13
Ejemplo 1 de Modelamiento

• Restricciones
• Sabemos que la fase de reacción opera durante 80
  hrs/semana. Así, los tiempos combinados de
  reacción requeridos para cada producto no pueden
  exceder esta cantidad.
• La tabla indica que cada tonelada de urea
  producida requiere 4 horas de reacción y cada ton
  de nitrato de amonio producido requiere 2 horas
  de reacción. Esto resulta en la siguiente
  restricción
• 4x1 2x2 80

14
Ejemplo 1 de Modelamiento

• También sabemos que la fase de secado opera 60
  hrs/semana. La tabla indica que la urea requiere
  2 hrs/ton producida y el nitrato de amonio 5
  hrs/ton producida. Así, obtenemos la siguiente
  restricción
• 2x1 5x2 60

15
Ejemplo 1 de Modelamiento

• Recordemos que el suministro de materia prima es
  75 tons/semana y cada ton de urea o nitrato de
  amonio producido requiere 4 toneladas de materia
  prima. Esto nos da la restricción final
• 4x1 4x2 75

16
Ejemplo 1 de Modelamiento

• Finalmente, para asegurar un resultado realista,
  siempre es prudente incluir restricciones
  no-negativas para las variables donde sea
  aplicable.
• Aquí, no debemos tener velocidades de producción
  negativas, así que incluimos las dos
  restricciones
• x1 0 x2 0

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Ejemplo 1 de Modelamiento

• Así, tenemos el siguiente problema
• Maximizar 1000x1 1500x2
• Sujeta a 4x1 2x2 80
• 2x1 5x2 60
• 4x1 4x2 75
• x1, x2 0
• Una vez resuelto, esto tiene una respuesta óptima
  de x1 11.25 tons/semana y x2 7.5 tons/semana

Restricción 1
Restricción 2
Restricción 3
18
Gráfica de Ejemplo 1
x2
Restricción 1
Punto Óptimo
Vector ganancia
Restricción 2
x1
Restricción 3

• El área gris es llamada región factible y se
  puede observar que el punto óptimo se encuentra
  en la intersección de las restricciones.
• Ya que estamos maximizando, analizamos en la
  dirección del vector ganancia

19
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Una compañía tiene tres plantas que producen
  etanol y cuatro clientes a los que debe proveer
  etanol.
• La siguiente tabla muestra los costos de entrega
  por tonelada de etanol de las plantas a los
  clientes.
• (Un guión en la tabla indica que cierta planta no
  puede entregar a cierto cliente)

Planta/Cliente C1 C2 C3 C4
P1 132 - 97 103
P2 84 91 - -
P3 106 89 100 98
20
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Las tres plantas P1, P2, P3 producen 135, 56, y
  93 tons/año, respectivamente. Los cuatro
  clientes, C1, C2, C3, C4 requieren 62, 83, 39,
  y 91 tons/año, respectivamente.
• Determine el esquema de transportación que
  resultará en el costo más bajo.

21
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Función Objetivo
• Queremos obtener el menor costo, así que debemos
  minimizar el costo. El costo será los costos
  dados en la tabla por la cantidad transferida de
  cada planta a cada cliente. Muchas de las
  cantidades serán cero, pero debemos incluirlas
  todas porque no sabemos cuales usaremos.

22
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Consideremos a xij como la cantidad (tons/año) de
  etanol transferida de la planta Pi al cliente Cj.
  Así, x21 es la cantidad de etanol enviada de la
  planta P2 al cliente C1. Dejaremos fuera las
  combinaciones que la tabla indica muestra
  imposibles (como x12). Entonces, la función
  objetivo es
• Minimizar 132 x11 97 x13 103 x14 84 x21
  91 x22 106 x31 89 x32 100 x33 98 x34.

23
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Restricciones
• Las plantas de etanol no pueden producir más
  etanol debido a sus limitaciones de capacidad. El
  etanol que cada planta produce es la suma del
  etanol que envía a los clientes. Así, par la
  planta P1, el límite es de 135 tons/año y la
  restricción es
• x11 x13 x14 135

Puesto que la planta puede enviar etanol a los
clientes C1, C2, y C4.
24
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Para las plantas P2 y P3, los límites son 56 y 93
  tons/año, así que sus restricciones son
• x21 x22 56
• x31 x32 x33 x34 93
• El signo es usado porque las plantas pueden
  producir menos o hasta sus límites, pero no
  pueden producir más del límite.

25
Ejemplo 2 de Modelamiento

• También, cada uno de los clientes tiene
  requerimientos de etanol que deben cumplirse. Por
  ejemplo, el cliente C1 debe recibir al menos 62
  tons/año de cualquiera de las plantas P1, P2, P3,
  o una combinación de las tres. Así, la
  restricción del cliente es
• x11 x21 x31 62

Ya que puede recibir etanol de las plantas P1,
P2, P3.
26
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Los requisitos de los clientes C2, C3, y C4 son
  83, 39, y 91 tons/año así que las restricciones
  son
• x22 x32 83
• x13 x33 39
• x14 x34 91
• El signo es usado porque está bien si los
  clientes reciben etanol extra, pero deben cumplir
  al menos los requerimientos mínimos.

27
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Si los clientes tuvieran que recibir exactamente
  la cantidad especificada de etanol, usaríamos
  restricciones de igualdad
• Sin embargo, no se ha indicado para este
  problema, así que las dejaremos como
  restricciones de desigualdad

28
Ejemplo 2 de Modelamiento

• Como en el ejemplo anterior, las restricciones
  no-negativas son requeridas porque no podemos
  tener una cantidad negativa de etanol trasferido.
  
• x11, x13, x14, x21, x22, x31, x32, x33, x34 0

29
Ejemplo 2 de Modelamiento

• El problema es
• Minimizar 132 x11 97 x13 103 x14 84 x21
  91 x22 106 x31 89 x32 100 x33 98 x34
• Sujeta a x11 x13 x14 135
• x21 x22 56
• x31 x32 x33 x34 93

30
Ejemplo 2 de Modelamiento

• x11 x21 x31 62
• x22 x32 83
• x13 x33 39
• x14 x34 91
• Y x11, x13, x14, x21, x22, x31, x32, x33, x34
  0
• El resultado óptimo es

x11 x13 x14 x21 x22 x31 x32 x33 x34
0 39 87 56 0 6 83 0 4
31
Ejemplo 2 de Modelamiento

• A diferencia del ejemplo previo, no podemos
  encontrar el punto óptimo gráficamente porque
  tenemos más de dos variables
• Esto ilustra el poder de la optimización
  matemática

32
Maximizando y Minimizando

• Maximizar una función es equivalente a minimizar
  lo negativo de la función

f(x)
f(x)
x
x
x
33
Extremos Locales y Globales
f(x)
x

• Ejemplo Al tratar de minimizar una función
  objetivo f(x) que tiene una variable única, x.
• Existen dos mínimos locales
• Hay un mínimo global

34
Repaso de Cálculo

• 1a Derivada Velocidad de cambio de la función.
  También, línea tangente.
• 2a Derivada Velocidad de cambio de la 1a derivada

1a's Derivadas
En esta región, la 2a derivada es positiva porque
la pendiente de la 1a derivada va en aumento
f(x)
En esta región, la 2a derivada es negativa porque
la pendiente de la 1a derivada va en aumento
x
35
Repaso de Cálculocontinuación

• Podemos observar que la pendiente de la 1a
  derivada es cero (horizontal) en máximos y
  mínimos
• También, la 2a derivada es lt 0 (negativa) en los
  máximos y es gt 0 (positiva) en los mínimos

f(x)
x
36
Optimización no restringidaEjemplo

• Supón que estás decidiendo que tanto aislamiento
  debes poner en tu casa. Asume que la pérdida de
  calor de la casa puede ser modelada por la
  ecuación
• donde x es el espesor del aislamiento en
  centímetros.

kJ/h
37
Optimización no restringidaEjemplo

• También, supón que la generación de 1 kJ de calor
  cuesta 0.50 para tu caldera y el aislamiento
  costará 1/año por cada centímetro de grosor a lo
  largo de su periodo de vida. Queremos minimizar
  el costo del calor perdido y de el aislamiento.

38
Optimización no restringidaEjemplo

• De este modo, mientras más aislante instalemos,
  menos calor perderemos, el aislamiento puede
  hacer muy buen trabajo, pero cuesta dinero
  también, así que necesitamos encontrar el
  equilibrio óptimo. Aquí está una gráfica de los
  dos costos

Costo de aislamiento
Costo Anual
Costo del calor
Espesor del aislamiento
39
Optimización no restringidaEjemplo

• No tenemos ninguna restricción de presupuesto o
  de suministro de aislamiento, así que solo
  minimizaremos el costo total.
• El costo total anualizado de la pérdida de calor
  es dado por

40
Optimización no restringidaEjemplo

• Cada centímetro de aislamiento cuesta 1/año,
  entonces el costo total anualizado de aislamiento
  es 1x /año. El costo total es simplemente la
  suma de los dos costos

41
Optimización no restringidaEjemplo

• Podemos encontrar el mínimo usando los elementos
  de cálculo que observamos antes. Primero,
  encontramos donde la primera derivada es cero
  (horizontal). Entonces nos aseguramos de que la
  segunda derivada sea positiva, puesto que estamos
  buscando un mínimo.

42
Optimización no restringidaEjemplo

• Encuentra la derivada del costo total
• Resuelve para la derivada igual a cero

43
Optimización no restringidaEjemplo

• El resultado es x ? 66.18
• x es el grosor del aislamiento y obviamente no
  podemos tener valores negativos. Así, nuestro
  resultado es x 66.18 cm
• A propósito, ya que solo hay una solución
  positiva, sólo tenemos un mínimo. Así sabemos que
  éste es el mínimo global.

44
Optimización no restringidaEjemplo

• Verifica la 2a derivada
• A x 66.18,
• Puesto que la 2a derivada es positiva, este punto
  es un mínimo.

45
Resultados del Ejemplo de Optimización no
restringida
Costo Total
Espesor del aislamiento
x 66 cm

• Así, el mejor equilibrio entre costo por pérdida
  de calor y costo de aislamiento se alcanza si
  instalamos cerca de 66 cm de aislamiento.

46
La Región Factible

• La región factible es el grupo de soluciones que
  satisfacen las restricciones de un problema de
  optimización
• Un problema de optimización de 2 variables con 4
  restricciones de desigualdad

x2
Región Factible
x1
47
Restricciones de Igualdad
x2
Restricción de Igualdad
Restricciones de Desigualdad
x1

• Ahora, la región factible es la sección de la
  línea de la restricción de igualdad que se
  encuentra dentro del área formada por las
  restricciones de desigualdad

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Más de la Región Factible

• El punto óptimo se encuentra en la región
  factible
• Si la región factible es solo un punto, no
  existen grados de libertad para optimizar. Las
  restricciones son simplemente un sistema de
  ecuaciones
• Si la región factible no existe,
• las restricciones están
• en conflicto

x2
x1
49
Conjuntos Convexos

• Un conjunto es convexo si una combinación convexa
  de cualesquiera dos puntos en el conjunto se
  encuentra también en el conjunto
• Una combinación convexa
• Una combinación convexa de puntos x1 y x2 es
  donde
• Gráficamente, una combinación convexa de dos
  puntos es una línea que conecta ambos puntos.

l0
l1
50
Visualización Gráfica

• Un conjunto es convexo si, para cualesquiera dos
  puntos en el conjunto, la longitud total de la
  línea conectora está también en el conjunto
• Prueba estos

La totalidad de la línea está en el grupo, así
que el grupo es convexo
Esta área no se encuentra en el grupo, así que el
grupo es no-convexo
Convexo
Convexo
51
Funciones Convexas

• f(x) es una función convexa si
• f(l.x1(1-l).x2) l.f(x1) (1-l).f(x2)
• donde 0 l 1

52
Funciones Convexas

• En términos geométricos, una función es convexa
  si la línea que conecta dos puntos cualesquiera
  de la función nunca es menor que los valores de
  la función entre los dos puntos.

53
Funciones Cóncavas

• La definición de una función cóncava es
  exactamente opuesta a la de la función convexa
• Si f(x) es una función convexa, -f(x) es una
  función cóncava

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Resultados de Convexidad

• Para el problema de optimización
• minimizar f(x)sujeta a gi(x) 0 i 1, , m
• donde x es un vector de n variables.
• Si f(x) es una función convexa y las
  restricciones gi(x) forman un conjunto convexo,
  entonces solo hay un mínimo de f(x) el mínimo
  global

55
Implicaciones

• Esto es importante porque usualmente es posible
  encontrar un óptimo local, pero es muy difícil
  determinar si el óptimo local es el óptimo
  global.
• Así luce el proceso de optimización

56
Conclusiones de Convexidad

• Tener un problema convexo (función objetivo
  convexa y un grupo convexo de restricciones) es
  la única manera de garantizar una solución óptima
  global
• Desafortunadamente, la mayoría de los problemas
  reales son no_convexos
• Sin embargo, los problemas convexos proporcionan
  algunos elementos y tienen propiedades que
  podemos usar parcialmente para problemas
  no-convexos