oleh:

1
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Pokok Bahasan
Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Dua Peubah
Sistem Persamaan Linear dan Linear dgn Tiga Peubah
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
Sistem Kuadrat dan kuadrat
oleh Islamuddin
exit
2
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Dua
Peubah
Bentuk Umum
a1x b1y c1 a2x b2y c2
ax by c px qy r
atau
Dengan a,b,c,p,q, dan r atau a1,b1,c1,a2,b2,c2
merupakan bilangan bilangan real. Jika c1 c2
0 maka sistem persamaan linear dikatakan homogen
sedangkan jika c1 ? 0 atau c2 ? 0 maka sistem
persamaan linear dikatakan tidak homogen
Menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan
Linear Dua Peubah dapat ditentukan dengan cara
sbb
1. Metode Grafik
3. Metode Eliminasi
2. Metode Subtitusi
4. Metode determinan
oleh Islamuddin
exit
3
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Metode Grafik
Langkah langkah untuk menetukan himpunan
penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan
memakai metode grafik adalah sebagai berikut
Langkah I Gambarkan grafik masing masing
persamaan pada bidang Cartesius.

• Langkah 2
• Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka
  himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu
  anggota
• Jika kedua garis sejajar, maka himpunan
  penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan
  himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
• Jika kedua garis berimpit maka himpunan
  penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga
  banyaknya

oleh Islamuddin
exit
4
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh
x y 1
x 0
y 1
y 0
x 1
x y 1 x y 3
x y 3
x 0
y 3
y 0
x 3
x y 3
1
0
1
3
P (2, -1)
1
3
x y 1
oleh Islamuddin
exit
5
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Metode Subtitusi
Langkah langkah untuk meneyelesaikan sistem
persamaan linear dua peubah dengan menggunakan
metode Subtitusi
Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan (jika ada
pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x
sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
Langkah 2 Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke
persamaan yang lain
oleh Islamuddin
exit
6
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh
x y 4 4x 3y 13
Dari persamaan x y 4
y 4 - x
y 4 x
Disubstitusikan ke persamaan
4x 3y 13
Diperoleh
4x 3 (4 x) 13
4x 12 3x 13
x 12 13
x 1
Nilai x 1 disubstitusikan ke persamaan y 4
x, diperoleh
y 4 - 1
Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan
linear itu adalah (1,3)
y 3
oleh Islamuddin
exit
7
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Metode Eliminasi
Langkah yang ditempuh adalah sbb
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y
sedangkan nilai y di cari dengan cara
mengeliminasi peubah x
oleh Islamuddin
exit
8
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh Carilah himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan berikut
2x 3y 13 3x 4y 19
Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y
2x 3y 13
8x 12y 52
X 4
9x 12y 57
3x 4y 19
X 3
x 5
x 5
2x 3y 13
X 3
6x 9y 39
X 2
3x 4y 19
6x 8y 38
y 1
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah ( 5,1)
oleh Islamuddin
exit
9
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Penyelesaian sistem persamaan linear dapat juga
menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi
secara bersamaan. Perhatikan contoh berikut
Carilah himpunan penyelesaiaan dari sistem
persamaan berikut
2x 5y 15
3x 4y 11
Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y
2x 5y 15
X 4
8x 20y 60
15x 20y 55
3x 4y 11
X 5
23x 115
x 5
x disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan
semula
2x 5y 15
5y 5
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah (5,-1)
2(5) 5y 15
y 1
5y 15 10
oleh Islamuddin
exit
10
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Beberapa persoalan sehari hari seringkali dapat
diselesaikan dengan memakai model matematika yang
berbentuk sistem persamaan dua peubah. Perhatikan
contoh berikut
Disebuah toko Komar membeli 3 barang A dan 4
barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00.
Sedangkan Yayuk harus membayar Rp3.600,00 untuk
pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ratna
membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus
membayar .
Misalkan x barang A dan y barang B
Komar
3x 4y 2.700
(1)
(2)
Yayuk
6x 2y 3.600
X 2
3x 4y 2.700
6x 8y 5.400
X 1
6x 2y 3.600
6x 2y 3.600
6y 1.800
y 300
oleh Islamuddin
exit
11
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
y 300, disubtitusikan ke persamaan (2)
3x 4y 2.700
3x 4(300) 2.700
3x 1.200 2.700
3x 2.700 1.200
3x 1.500
x 500
Jadi harga sebuang barang A adalah Rp500,00 dan
harga sebuang barang B adalah Rp300,00 Ratna
harus membayar Rp500,00 Rp300,00 Rp800,00
untuk membeli 1 barang A dan 1 barang B
oleh Islamuddin
exit
12
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Sistem persamaan Linear dan Linear dengan Tiga
Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga
peubah x,y, dan z dapat dituliskan sebagai
berikut
ax by cz d ex fy gz h ix jy kz
l
a1x b1y c1z d1 a2x b2y c2z d2 a3x
b3y c3z d3
atau
dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau
a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan
d3 merupakan bilangan real .
Himpunan penyelesaian sistem linear tiga peubah
dapat ditentukan dengan beberapa cara sebagai
berikut
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi atau
3. Metede Determinan
oleh Islamuddin
exit
13
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Metode Substitusi
Langkah langkah penyelesaian sistem persamaan
linear tiga peubah dgn menggunakan metode
substitusi adalah sebagai berikut
Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan yang
sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y
dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z
sebagai fungsi x dan y
Langkah 2 Substitusikan x atau y atau z yang
diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan
yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan
linear dua peubah
Langkah 3 Selesaikan sistem persamaan linear
dua peubah yang diperoleh pada langkah 2
oleh Islamuddin
exit
14
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh Carilah himpunan penyelesaian dari
persamaan linear berikut
x 2y z 6 3x y 2z 4 7x 6y z 10
Dari persamaan x 2y z 6
x 2y z 6.
Peubah x ini disubstitusikan ke persamaan 3x y
-2z 4 dan 7x 6y z 10 diperoleh
3(2y z 6) y 2z 4
6y 3z 18 y 2z 4
7y 5z 14
(3)
7(2y z 6) 6y z 10
14y 7z 42 6y z 10
8y 8z 32
y z 4
(4)
oleh Islamuddin
exit
15
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan
linear dua peubah y dan z
7y 5z 14
dari persamaan y z 4
y z 4
y z 4
Peubah y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z
14, diperoleh
7 (z 4) 5z 14
7z 28 5z 14
2z 14
z 7
Substitusikan nilai z 7 ke persamaan y z 4,
diperoleh
y 7 4 3
Substitusikan nilai y 3 dan z 7 ke persamaan
x 2y z 6, diperoleh
x 2(3) 7 6
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (5, 3, 7)
x 6 7 6
x 5
oleh Islamuddin
exit
16
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Metode Eliminasi
Langkah langkah penyelesaian sistem persamaan
linear tiga peubah dengan menggunakan metode
eliminasi adalah
Langkah 1 Eliminasi salah satu peubah x atau y
atau z sehingga diperoleh sistem persamaan linear
dua peubah
Langkah 2 Selesaikan sistem persamaan linear dua
peubah yang didapat pada langkah 1
Langkah 3 Substitusikan nilai nilai dua peubah
yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu
persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah
yang lainnya.
oleh Islamuddin
exit
17
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh Carilah himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear
2x y z 6 x 3y z 2 x 2y z 3
Eliminasi peubah z
Dari persamaan pertama dan kedua
Dari persamaan kedua dan ketiga
2x y z 6
x 3y z 2
x 3y z 2
x 2y z 3
(5)
x 2y 8
2x y 1
(4)
Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan
linear dua peubah x dan y
x 2y 8
Eliminasi peubah y
x 2y 8
x 2y 8
X 1
2x y 1
4x 2y 2
2x y 1
X 2
5x 10
x 2
oleh Islamuddin
exit
18
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Eliminasi peubah x
x 2y 8
X 2
2x 4y 16
2x y 1
2x y 1
X 1
5y 15
y 3
Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x 2 dan
y 3 ke salah satu persamaan semula misal x 2y
z 3
x 2y z 3
2 2(3) z 3
8 z 3
x 5
Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan
linear adalah (2, 3, 5)
oleh Islamuddin
exit
19
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh penerapan persoalan sehari hari dalam
sistem persamaan tiga peubah
Ali, Boneng, dan Cecep berbelanja di sebuah toko
buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah
pensil dan sebuah penghapus dengan membayar
Rp4.700,00 Boneng membeli sebuah buku tulis , dua
buah pensil dan sebuah penghapus dengan membayar
Rp4.300,00 Cecep membeli tiga buah buku tulis,
dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan
membayar Rp7.100,00. Berapakah harga untuk sebuah
buku tulis, harga sebuah pensil dan harga sebuah
penghapus ?
Jika dimisalkan bahwa
Harga untuk sebuah buku tulis adalah x
rupiah Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah
dan Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah
Dengan demikian model matematika yang sesuai
dengan data tersebut adalah
oleh Islamuddin
exit
20
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
2x y z 4.700 x 2y z 4.300 3x 2y z
7.100
Eliminasi peubah z
2x y z 4.700
x 2y z 4.300
3x 2y z 7.100
x 2y z 4.300
x y 400
-2x -2.800
x 1.400
Substitusikan nilai x 1.400 ke persamaan x y
1.400, diperoleh
1.400 y 400
y 1.000
Substitusikan nilai x 1.400 dan y 1.000 ke
persamaan 2x y z 4.700 diperoleh
2(1.400) 1.000 z 4.700
3.800 z 4.700
z 900
Jadi harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,00
harga sebuah pensil adalah Rp1.000,00 dan harga
sebuah penghapus adalah Rp900,00
oleh Islamuddin
exit
21
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadrat dibagi
menjadi dua bagian sebagai berikut
1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian
kuadrat berbentuk Eksplisit

1. Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian
   kuadrat berbentuk Implisit

oleh Islamuddin
exit
22
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian
kuadrat berbentuk Eksplisit
Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan
berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat
dinyatakan dalam bentuk y f(x) atau x f(y)
y ax b
Bagian linear
Bagian kuadrat
y px2 qx r
Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan
bilangan real.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linear dan
kuadrat dapat ditentukan melalui langkah
langkah sebagai berikut
Langkah 1 Substitusikan bagian linear ke bagian
kuadrat
Langkah 2 Nilai nilai x pada Langkah 1 (jika
ada) disubstitusikan ke persamaan linear
oleh Islamuddin
exit
23
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Contoh Carilah himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dan kuadrat berikut ini
y x 1 y x2 3x 2
Substitusikan bagian linear y x 1 ke bagian
kuadrat y x2 3x 2, diperoleh
x 1 x2 3x 2
x2 4x 3 0
(x 1)(x 3) 0
x 1 atau x 3
Nilai x 1 atau x 3 disubtitusikan ke
persamaan y x 1
Untuk x 3 diperoleh y 3 1 2 jadi (3, 2)
Untuk x 1 diperoleh y 1 1 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1, 0), (3,
2)
oleh Islamuddin
exit
24
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian
kuadrat berbentuk implisit
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk
implisit jika persamaan itu tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk y f(x) atau x f(y).
Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,
y) 0.
px qy r 0
Bagian linear
ax2 by2 cxy dx ey f 0
Bagian kuadrat
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan
bilangan bilangan real. Bilangan kuadrat yang
berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu
A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan
B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan
oleh Islamuddin
exit
25
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian
kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat
difaktorkan
Langkah langkah penyelesaiannya adalah
Langkah 1 Pada bagian linear, nyatakan x dalam y
atau y dalam x
Langkah 2 Substitusikan x dan y pada langkah 1
ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh
persamaan kuadrat dalam x dan y
Langkah ketiga Selesaikan persamaan kuadrat yang
diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai nilai
yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear
oleh Islamuddin
exit
26
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Carilah himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dan kuadrat berikut ini
x y 1 0 x2 y2 25 0
Dari persamaan x y 1 0 menjadi y 1 x
Substitusi y ke persamaan x2 y2 25 0,
diperoleh
x2 ( 1 x)2 25 0
x2 1 2x x2 25 0
2x2 2x 24 0
x2 x 12 0
(x 3)(x 4) 0
x -3 atau x 4
Substitusi nilai nilai x -3 aatau x 4 ke
persamaan y 1 x
Untuk x -3 diperoleh y 1 (-3) 4 jadi (-3,
4) Untuk x 4 diperoleh y 1 4 -3 jadi (4,
-3)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-3, 4)(4,
-3)
oleh Islamuddin
exit
27
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian
kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Langkah langkah penyelesaiannya adalah
Langkah 1 Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke
dalam faktor faktor dengan ruas kanan sama
dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 0. L1.L2
0. jadi L1 0 atau L2 0, dengan L1 dan L2
masing masing berbentuk linier
Langkah 2 Bentuk bentuk linear yang diperoleh
pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan
linear semula, sehingga diperoleh sistem sistem
persamaan linear dengan dua peubah. Kemudian
selesaikan tiap sistem persamaan linier itu
oleh Islamuddin
exit
28
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan
linear dan kuadrat berikut
2x 3y 8 4x2 12xy 9y2 16
Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai
berikut
4x2 12xy 9y2 16
(2x 3y)2 16 0
(2x 3y 4)(2x 3y 4) 0
2x 3y 4 0 atau 2x 3y 4 0
Penggabungan dengan persamaan linear semula
diperoleh
2x 3y 8 2x 3y 4 0
2x 3y 8 2x 3y 4 0
Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian
(1, 2)
Dari sistem persamaan ini diperoleh penyelesaian
( 3, 2/3)
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu
adalah (1,2), (2, 2/3)
oleh Islamuddin
exit
29
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk
yang sederhana dapat dituliskan sebagai berikut
y ax2 bx c
Bagian kuadrat pertama
y px2 qx r
Bagian kuadrat kedua
Langkah langkah untuk menentukan himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat dan
kuadrat
Langkah 1 Substitusikan bagian kuadrat yang
pertama kebagian kuadrat yang kedua
Langkah 2 Nilai nilai x yang diperoleh dari
langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke bagian
kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang
kedua ( pilihlah bentuk yang sederhana).
oleh Islamuddin
exit
30
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem
persamaan kuadrat dan kuadrat berikut ini
y x2 1 y 1 x2
Substitusi y x2 1 ke persamaan y 1 x2,
diperoleh
x2 1 1 x2
2x2 2 0
x2 1 0
(x 1)(x 1) 0
x -1 atau x 1
Substitusikan x -1 atau x 1 ke persamaan y
x2 - 1
Untuk x -1 diperoleh y (-1)2 1 0 jadi
(-1, 0)
Untuk x 1 diperoleh y (1)2 1 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-1, 0),(1,
0)
oleh Islamuddin
exit
31
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
oleh Islamuddin
exit
32
Sistem Persamaan Linier dan kuadrat
oleh Islamuddin
exit