PROBLEMA QUE SE MODELIZA

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PROBLEMA QUE SE MODELIZA
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LA AUSENCIA DE LA NOCIÓN DE VARIABLE
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• La concepción de ecuación como igualdad se opone
  a la ecuación como restricción sobre un
  dominio, lo cual necesita de la noción de
  variable. Nos lleva las siguientes preguntas
• la conceptualización de las letras como
  incógnitas provoca obstáculos para la
  concepción de variable?
• la conceptualización de las letras como
  variables, favorece el proceso de ruptura entre
  la aritmética y el álgebra, ruptura que aparece
  indispensable para que el álgebra cobre sentido?
• es posible apuntar a la conceptualización de
  las letras como variables, antes de que los
  alumnos elaboren la noción de incógnita? A
  través de que situaciones?

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Enunciado de la situación para los
alumnos Para separar un patio de un lavadero
se colocan en línea canteros cuadrados de
baldosas de la misma forma como indica el
dibujo
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• Luego se les dictará las siguientes consignas en
  formas fragmentas
• Cuál es la cantidad de baldosas necesaria para
  colocar alrededor de dos canteros según el dibujo
  dado en la parte superior?
• Calcular la cantidad de baldosas si tenemos 31
  canteros conservando la misma disposición del
  esquema anterior.
• Buscar un procedimiento que permita contar la
  cantidad de baldosas que se colocarán alrededor
  de los canteros, cualquiera sea la cantidad del
  mismo.(los canteros se encuentran en línea)

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ORGANIZACÍÓN DE LA CLASE
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• Momento 1
• Acción Una vez que los alumnos se han dispuesto
  en grupo, la docente propone pensar en las
  consignas a) y b). Los alumnos comenzará a
  explorar para dar respuesta al problema.
• Formulación-validación Se propondrá justificar
  la respuesta de cada una de las consignas.
• Puesta en común se analizan, se comparan y se
  validan las producciones de cada grupo ante la
  clase una vez que los alumnos hayan pensado la
  cuestión en dicho grupo.

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• Momento 2
• Exploración la docente propone pensar la
  consigna c)donde el alumno manipulará los datos
  adquiridos para producir una estrategia.
• Formulación-validación una vez que los alumnos
  hayan explorado, se les pedirá que escriban el
  procedimiento que permita contar la cantidad de
  baldosa, que se colocan alrededor de los
  canteros cuadrados, cualquiera sea la cantidad
  del mismo(los canteros se encuentran en línea)
• Puesta en común se analizan, se comparan y se
  validan las producciones de cada grupo ante la
  clase una vez que los alumnos hayan pensado la
  cuestión en dicho grupo.

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• Momento 3
• Formulación-validación La docente propone buscar
  una fórmula que represente el procedimiento
  escrito en la consigna c). Es decir, una vez que
  los alumnos hayan explorado, se les pedirá que
  escriban la fórmula que permita contar la
  cantidad de baldosa, que se colocan alrededor de
  los canteros cuadrados, cualquiera sea la
  cantidad del mismo(los canteros se encuentran en
  línea)
• Puesta en común se analizan, se comparan y se
  validan las producciones de cada grupo ante la
  clase una vez que los alumnos hayan pensado la
  cuestión en dicho grupo.

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• Los conocimientos previos que deben manejar los
  alumnos al comenzar la secuencia
• En la EGB2, los alumnos han resuelto numerosos
  problemas que involucran una o más de las cuatro
  operaciones fundamentales con sus diferentes
  sentidos. En consecuencia, la práctica aritmética
  es un punto de apoyo para la actividad
  algebraica.

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• Antes de construir un pensamiento algebraico, los
  alumnos deberían saber qué es una fórmula?.
  Sabemos que en el diseño curricular de la EGB2
  aparecen los primeros contactos con fórmulas de
  área y perímetro de figuras planas.
• En la EGB2 resuelven aquellos problemas, cuyas
  las herramientas matemáticas son fórmulas, que
  consisten en reemplazar las letras por sus
  valores para luego resolver. Es decir, los
  alumnos están manejando formulas, pero no hay
  lugar a la lectura de fórmulas en términos de
  relaciones entre variables, según Papini.

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En este trabajo se buscará una fórmula que
modeliza la situación. Esto permitirá poner en
juego las propiedades de un conjunto numérico
infinito y en el alumno un cambio de pensamiento
cognitivo. Es decir, lo llevará de lo particular
a lo general produciendo un camino deductivo, que
es propio del pensamiento matemático, según Mason.
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• Momento 1
• El objetivo del docente en este momento es que
  los alumnos tomen contacto con la situación
  problemática y asuma la responsabilidad del
  mismo, produciendo así relaciones que le servirán
  de marco para los momentos sucesivos.
• Para responder la consigna a) se espera que el
  alumno aplique un método de conteo, por ejemplo
• Contar de a uno, o
• Utilizar procedimientos aritméticos sumar y/o
  multiplicar, a modo de ejemplo
• Contar la cantidad de baldosas que tiene la fila
  superior, siendo igual en la fila inferior. Luego
  sumarles las que están en el medio. Las cuentas
  que se esperan para poder validar lo anterior son
  las siguientes 553, 103, 2.5 3
• Contar la cantidad de baldosas que bordea a un
  cantero y luego sumarle las que bordea al otro
  quedando la siguiente cuenta 8 5.
• Contar la cantidad de baldosas de la primera
  columna y vemos que quedan 5 de ellas bordeando a
  cada cantero. Las cuentas que se esperan para
  poder validar lo anterior son las siguientes
  553, 103, 2.5 3

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• En la puesta en común, la docente puede
  aprovechar esas cuentas para recordar las
  propiedades de las operaciones en los números
  naturales. Por ejemplo
• qué propiedades puedo aplicar para pasar de?
• 5 5 3 a 10 3
• 5 5 3 a 3 10
• 8 5 a 8 5x(2 1)
• Para responder la consigna b) se espera que el
  alumno aplique una estrategia de conteo, por
  ejemplo
• Contar a partir del dibujo, o
• Utilizar procedimientos aritméticos sumar y/o
  multiplicar, a modo de ejemplo
• 30x5 3 o 8 5x29

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• En la consigna b) implícitamente apunta a que los
  alumnos recurran a la imaginación y así las
  siguientes posibles conclusiones. Por ejemplo
• Alrededor del primer cantero tiene 8 baldosas y
  los 29 siguientes 5.
• En las columnas impares hay 3 baldosas y en las
  pares 2. Si fijamos la primera columna, tenemos
  3 luego, le sumamos las baldosas de las dos
  columnas siguientes, que son 5
• las que bordean al primer cantero. Los siguientes
  canteros están bordeados también por 5 baldosas.
• En cada dos canteros hay 13 baldosas, entonces
  multiplico 15 canteros por 13 baldosas

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• En la puesta en común, las posibles conclusiones
  anteriores serían las justificaciones de las
  siguientes cuentas realizado por los grupos
  respectivamente
• 30x5 3
• 8 5x29
• 13x15
• La docente podría proponer a la clase que
  justifique cual/es de las cuentas son correctas.
  Como hay dos cuentas que dan la misma cantidad de
  baldosas podemos suponer que los alumnos digan
  que la última no es la correcta. Entonces,
  aquellos alumnos que sostienen que las dos
  primeras son correctas deberán convencer a sus
  pares para que exista una retracción entre
  medio-alumno. En caso de no haber una clara
  justificación, el profesor podría pedirle la
  cuenta para 5 canteros, luego que verifiquen con
  el dibujo.

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Momento 2 Los alumnos se enfrentan a su primer
obstáculo porque no sabe la cantidad de canteros.
Entonces, las herramientas aritméticas son
insuficientes por lo tanto no podrán hacer la
cuenta. Encontramos aquí una primera ruptura con
respecto a las prácticas aritméticas que consiste
en pensar en un número desconocido y manipularlo
como si lo fuera. El hecho de no conocer la
cantidad de cantero, podría funcionar como un
motor de generalización. De acuerdo a Manson
(1996), la generalización es un instrumento de
pensamiento esencial para la matemática.
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La docente deberá instalar en el seno de cada
grupo un dato desconocido y los alumnos no lo
aceptan porque quiere darle un valor determinado
para luego operar
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• Por lo tanto, los alumnos tendrían que analizar
  las producciones anteriores y puedan llegar a las
  siguientes conclusiones, por ejemplo
• Las operaciones que se utilizan son la suma y
  el producto.
• Los números que siempre aparecen son por un
  lado 5 y 3 y por el otro 8 y 5.
• Lo que varía es la cantidad de canteros.
• En una cuenta, a la cantidad de canteros le
  multiplicamos por 5 luego le sumamos 3. En la
  otra cuenta, al resultado del producto entre 5 y
  la cantidad de canteros menos uno, le sumamos 8.

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• Puesta en común
• Cada grupo escribirá en el pizarrón su producción
  y un integrante del mismo lo explicará a sus
  pares. Luego la docente le pedirá a la clase que
  diga cuáles son parecidas? cuáles creen que
  son correctas y porqué?. Esto permite que exista
  una retracción entre medio-alumno para que
  puedan
• Comprender aquellos alumnos que todavía no
  entendían la situación
• Modificar aquellas producciones que son
  necesarias.
• Afirmar aquellas producciones que son correctas.
• Exigir justificaciones de las preposiciones que
  utilicen.

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• Momento 3
• En el momento anterior, la docente debía
  propiciar confrontaciones entre alumnos para
  decidir cuales de las producciones eran
  correctas. Una vez realizada, en el pizarrón
  quedarían escrito dichos procedimientos. Luego,
  el profesor le pedirá la fórmula que responda
  dicho procedimiento. En consecuencia, encontramos
  otras rupturas con relación a las prácticas
  aritméticas
• La introducción de un objeto matemático nuevo
  (la noción de variable y dependencia)
• Expresar formalmente el procedimiento implica
  utilizar nuevas herramientas semióticas, lo cual
  implica asumir la convencionalidad de usar letras
  para asignar la variable cantidad de canteros y
  baldosas.

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• Podríamos encontrar las siguientes expresiones
  realizadas por los distintos grupos
• Cant.de canteros x 5 3 cant.de baldosas
• Cx5 3 b
• 8 5x (cant.de cant. 1) cant.de baldosas
• Cant.de canteros x 5 cant.de bal. 3 total de
  baldosas
• 8 5x (c 1) b

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• Puesta en común
• Cada grupo escribirá en el pizarrón su producción
  y un integrante del mismo lo explicará a sus
  pares. Luego la docente le pedirá a la clase que
  diga cuáles son parecidas? cuáles creen que
  son correctas y porqué?. Esto permite que exista
  una retracción entre medio-alumno para que
  puedan
• Modificar aquellas producciones que son
  necesarias.
• Afirmar aquellas producciones que son correctas.
• Exigir justificaciones de las preposiciones que
  utilicen.

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• Una vez que los alumnos clasificaron las fórmulas
  como correctas, cada grupo deberá discutir sobre
  las siguientes preguntas
• están contando correctamente?
• el procedimiento es correcto?

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• La docente dejará escrita en el pizarrón las
  expresiones que los alumnos eligieron como
  correcta y se esperan que sean las siguientes
• ax5 3 b
• 8 5x (a 1) b

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La actividad de discusión sobre las distintas
formulas pretende propiciar la explicación de la
siguiente cuestión puede ser que fórmulas
diferentes cuenten lo mismo para cada valor de la
variable?.
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• La discusión en torno a esta cuestión se
  realizará en dos niveles diferentes de trabajo
• en la primera instancia la validación de las
  distintas fórmulas se podrá hacer tomando valores
  particulares de la variable cantidad de canteros
  y constatar que dan iguales. Se pone en juego
  aquí el concepto de que dos expresiones son
  equivalentes se conservan la igualdad para un
  mismo valor de la variable.

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• En una instancia intermedia, a través de la
  pregunta presentada se obliga al alumno a evaluar
  las distintas fórmulas en términos de
  procedimientos, lo cual implica un mayor grado de
  generalización. Se pone en juego aquí el concepto
  de que dos expresiones son equivalentes si
  expresan un mismo procedimiento (cuentan lo
  mismo)

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• En esta última instancia se propone el estudio
  sobre la equivalencia de fórmulas poniendo en
  juego las propiedades de los números y de las
  operaciones. También, se pone en juego el
  concepto de que dos expresiones son equivalentes
  si a lo largo de distintas transformaciones
  válidas conserva su denotación

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Se pretende que la equivalencia de las distintas
escrituras pueda ser validada en un juego entre
el contexto y las propiedades de las operaciones.