Wyklad 5: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela

1
Wyklad 5 Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i
Algorytm Goertzela

• PG Katedra Systemów Mikroelektronicznych
• ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNALOWYCH
• Marek Wronski

2
Zastosowania DFT
3
Szereg Fouriera
4
Postac zespolona
5
Postac czasowa zespolonego szeregu Fouriera
6
Przeksztalcenie Fouriera
7
Dyskretna postac transformaty Fouriera DFT i IDFT
8
Szybka transformata Fouriera - FFT
9
4 punktowa FFT (podzial czasowy)
10
8 punktowa FFT
11
8 punktowa FFT (podzial czestotliwosciowy)
12
Wady obliczania FFT

•   prowadzi do obliczenia wszystkich próbek
  transformaty DFT, podczas gdy czasem potrzebny
  jest jedynie niewielki ich podzbiór, np. te
  próbki, które odpowiadaja czestotliwosciom DTMF i
  ewentua1nie ich drugim harmonicznym1 algorytmy
  FFT maja wiec w tym zastosowaniu nadmierna
  zlozonosc obliczeniowa,
•   wymaga zgromadzenia pelnego bloku N próbek
  przed rozpoczeciem transformacji sygnalu, co
  uniemozliwia realizacje algorytmu analizy sygnalu
  on line, tzn. próbka po próbce.
• wymaga wyznaczania lub pamietania wartosci
  wspólczynników WN

13
FFT dla sygnalów rzeczywistych
Widmo Fouriera X(k), k0,1,2,...N-1, sygnalu
rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. kN/2
14
Dwa N-punktowe sygnaly rzeczywiste, jedno N
-punktowe FFT
Tworzymy sygnal zespolony
Odzyskujemy widma X1 i X2
15
N-punktowy sygnal rzeczywisty, N/2-punktowe FFT
Wg. podzialu w dziedzinie czasu widmo X(k) moze
byc odtworzone wg. widma X2n(k) jego próbek
parzystych i widma X2n1(k) jego próbek
nieparzystych na podstawie wzoru
Tworzymy
16
Dwuwymiarowa DFT
17
Wyznaczenie DCT metoda FFT
Transformacja kosinusowa stosowana jest w
standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEG i
ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji
dzwieku MPEG audio. Zdefiniowana jest
poprzez równanie baz kosinusowych
Sumujac oddzielnie parzyste i nieparzyste próbki
sygnalu x(n) i oznaczajac
nastepnie laczac polówki sum otrzymamy
18
Algorytm Goertzela
Korzystajac z zaleznosci mozna przez to
pomnozyc prawa strone równania DFT co da
Wyrazenie to jest dyskretnym splotem ciagu x(n) o
skonczonej dlugosci N i ciagu (WN-k)n, n
1,2,...,N takze o dlugosci N próbek.
Wprowadzajac oznaczenie
Ciag yk(n) moze byc traktowany jako odpowiedz
ukladu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi
impulsowej (WN-k)n1 na pobudzenie ciagiem
wejsciowym x(n). Próbka X(k) jest N-ta próbka
ciagu wyjsciowego, tzn. próbka o indeksie nN-1.
19
Graf realizujacy algorytm Goertzela
W celu zmniejszenia liczby mnozen omawiany
algorytm mozna przeksztalcic zgodnie ze wzorem
20
Zalety algorytmu Goertzela
Aby zrealizowac petle sprzezenia zwrotnego tego
ukladu, wystarczy wykonac tylko jedno mnozenie i
dwa sumowania rzeczywiste. Poniewaz interesuje
nas jedynie wyznaczenie próbki yk (N-1), wiec
mnozenie przez zespolony wspólczynnik WN-k nie
musi byc wykonywane w kazdym kroku, lecz jedynie
w ostatnim (N-1) kroku. Tak wiec obliczenia
zwiazane z realizacja petli sprzezenia zwrotnego
wymagaja wykonania N -1 mnozen liczb
rzeczywistych oraz 2(N-1) sumowan liczb
rzeczywistych, a obliczenie yk (N -1) jest
zwiazane z 2 dodatkowymi mnozeniami oraz 1
sumowaniem liczb rzeczywistych. Lacznie nalezy
wiec wykonac N1 mnozen liczb rzeczywistych oraz
2N-1 sumowan liczb rzeczywistych.
21
Energia sygnalu (kwadrat amplitudy prazka)
22
Wybór N alg. Goertzela dla DTMF
W celu unikania przecieków DFT jest pozadane aby
czestotliwosci wszystkich tonów podlegajacych
detekcji odpowiadaly czestotliwoscia próbek DFT,
tj. k(fs/N). Wiec
23
Zagadnienie okna w DFT
24
Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla
niecalkowitej liczby okresów w oknie
25
Odpowiedzi czestotliwosciowe DFT dla pobudzenia
sinusoidalnego
Wartosci prazków (szerokosc glównego fs/N)
26
Powielenia widmowe
27
Zwiekszenie czulosci wykrywania sygnalów
28
Wygladzanie nieciaglosci
29
Okna wygladzajace koncowe nieciaglosci