Presentazione di PowerPoint

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UNIVERSITA' DI CAGLIARI ______________________
_____ CORSO DI ECONOMETRIA ______________________
_____ Prof. Paolo Mattana Lezione N 11 La
logica dietro la diagnostica di routine del
modello classico di regressione lineare
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La trinità dellapproccio classico al test

• Obiettivi
• Capire le motivazioni dietro il post regression
  econometric testing
• Conoscere, in termini generali, gli elementi su
  cui si basano i test.
• Essere in grado di discutere lintuizione
  generale dietro i test LR, WALD, LM.

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Utilità del test (in termini generali)
Si consideri di voler inferire qualcosa a
partire da un vettore di parametri (parametric
testing)
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• Checking consistency with economic theory.
• Economic and statistical considerations (signs,
  magnitudes of coefficients, statistical
  significance).
• Diagnostic or battery testing procedures.
• Reconciliation of results with previous studies
  using alternative non-nested models

Come mi comporto??
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Operazioni preliminari
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Come selezionare un test desiderabile
(abbiamo ormai
unampia casistica)
(ricordate le definizioni di power of a test e di
errore di II specie??)
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(No Transcript)
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R ? q
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Basi di partenza

• - Esistono alcuni risultati standard sulle
  proprietà distributive delle stime ottenute con
  metodi MLE
• tali risultati possono utilizzarsi per costruire
  test asintotici (parametrici/non parametrici)
• Il passaggio da MLE a OLS dipende dal fatto che,
  sotto lipotesi di normalità degli errori, sono
  proporzionali a RSS

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Lo stimatore MLE di un vettore qualsiasi di
parametri sarà Sotto H0 Sotto H1
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3 principi WALD, LM, LR

• Most of the modern tests (using the Likelihood
  Ratio, Wald and Lagrange Multiplier Principles)
  obtain test statistics from the OLS regressions
  based on simple auxiliary regressions.
• Only the LR tests requires estimation under both
  the null and the alternative hypothesis.

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PRINCIPIO DI WALD
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PRINCIPIO LR
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Test secondo il principio LM

• Si voglia massimizzare la log-likelihood sotto il
  vincolo espresso dalla ipotesi nulla
• Il Lagrangiano è
• e le FOC sono

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LM

• The LM tests are the easiest to use and are
  usually able to be computed as nR2 from the
  auxiliary regression.
• So you run an auxiliary regression embodying some
  hypothesis about the behaviour of the error term.
  
• Then take the R2 and multiply it by the sample
  size.

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Dati i principi classici utilizzati per i test,
possiamo finalmente vedere come sono fatti i test
finora utilizzati nel post regression hypothesis
testing Normalità dei residui Jarque-Bera Et
eroschedasticità White Correlazione
seriale Breusch-Godfrey Forma
funzionale Ramsey RESET
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Jarque-Bera Misura la differenza tra simmetria
e curtosis di una distribuzione specifica con
quella della distribuzione normale.
Abbiamo dove S è la simmetria, C il kurtosis,
e k rappresenta il numero di coefficienti
stimati. Sotto H0 JB si distribuisce secondo un
?2 con 2 gradi di libertà
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Test di eteroschedasticità di White Step 1
generare i residui della regressione Step 2
stimare la regressione ausiliaria Step 3 Test
F (su tutti i gamma) Test n R2 secondo un ?2
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Ramsey RE(gression) S(pecification) E(rror)
T(est) Anche in questo caso abbiamo Il test si
basa sulla regressione aumentata Con Z
generica. Poiché noi utilizziamo il RESET test
come un test di forma funzionale, la Z, nel
nostro caso, conterrà la parte non lineare del
modello (non statisticamente significativo sotto
H0)
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Serial Correlation LM Test (Breusch-Godfrey) Alter
nativo rispetto a DW, può essere usato per forme
di Correlazione seriale più generiche. Step 1
stimare la regressione Step 2 La versione n
R2 è il test di Breusch-Godfrey
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Relationships between the three asymptotic tests

• The three statistics measure the distance from
  the null using three different methods

tg?s(?0)
?
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The systems of hypotheses

• These statistics are constructed first with
  respect to a simple null hypothesis

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Wald test simple null

• Since
• then, under H0 ? ?0
• because ?W asymptotically equals the sum of k
  squared independent normal variates

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Quadratic forms of normal variables

• If x N( ?, ? ) then z Q-1( x - ? ) N( 0, I
  )where ? QQ (P?1/2) (P?1/2) P?P?
  Var(z) Q-1 ? (Q-1) Q-1 QQ (Q-1) I
• Therefore (x - ?) ?-1 (x - ?) ?2k ?
  (x-?)?-1(x-?) (x-?) (Q-1) Q-1(x-?)
  zz

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LM test simple null

• Since
• then, under H0 ? ?0, using the same result on
  quadratic forms
• we obtain the efficient score or LM statistic

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Test secondo il principio LM

• Si voglia massimizzare la log-likelihood sotto il
  vincolo espresso dalla ipotesi nulla
• Il Lagrangiano è
• e le FOC sono

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LM test simple null

• Therefore
• i.e., the score in ?0 equals the Lagrange
  multiplier of the constrained optimisation
  problem
• This is the reason why the ?LM statistics is
  defined Lagrange multiplier statistic

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LR test simple null

• A third distributional result states that
• This is known as the likelihood ratio (LR)
  statistic
• The rationale of the LR statistics derives from
  the Neyman-Pearson lemma, discussed extensively
  in Spanos (1986, par. 14.3-14.4).

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Relationships between the three asymptotic tests

• The three statistics measure the distance from
  the null using three different methods

tg?s(?0)
?
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Relationships between the three asymptotic tests

• Since the three statistics considered are
  basically three ways of measuring the same thing,
  it comes as no surprise that they are equivalent
• This equivalence comes in two distinct but
  related senses
• In small samples, whenever the likelihood
  satisfies strong regularity conditions
• Asymptotically, for mild regularity conditions of
  the likelihood function

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Relationships between the three asymptotic tests
small sample

• Let us first review the equivalence result in
  small sample the asymptotic properties will be
  established after analysing the composite null
  case
• The fundamental result states that whenever the
  log-likelihood is well approximated by a
  quadratic function in a neighbourhood of its
  maximum then the three test statistics are
  identical

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Relationships between the three asymptotic tests
small sample

• Formally (see Engle, 1984, p. 782), we have
• with A a symmetric positive definite matrix.
  Therefore

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Relationships between the three asymptotic tests
small sample

• And the three classical statistics are

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(No Transcript)