FUNCIONES

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FUNCIONES
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INTRODUCCIÓN

• En la vida diaria nos encontramos (a veces sin
  darnos cuenta) con la noción de correspondencia.
  Muchos modelos matemáticos se describen mediante
  el concepto de función.

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EJEMPLOS

1. Un fabricante desea conocer la relación o
   correspondencia entre las ganancias de su
   compañía y su nivel de producción.
2. Un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de
   cierto cultivo de bacteria con el paso del tiempo.

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EJEMPLOS

• Un psicólogo quisiera conocer la relación o
  correspondencia entre el tiempo de aprendizaje de
  un individuo y la longitud de una lista de
  palabras.
• Un químico le interesa la relación o
  correspondencia entre la velocidad inicial de una
  reacción química y la cantidad de sustrato
  utilizado, etc.

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• Una función es una regla de correspondencia
  entre dos conjuntos de tal manera que a cada
  elemento del primer conjunto le corresponde uno y
  sólo un elemento del segundo conjunto.

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DEFINICIÓN

• Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una regla
  que hace corresponder a cada elemento x de A un
  único elemento y de B.

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• Esta correspondencia se llama FUNCIÓN de A en B
  y se denota por
• f A ? B
• x ? y f(x),
• lo cual se lee f de x

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Una definición equivalente

• Sea f A ? B una relación, entonces se dice
  que f es una función si y sólo si

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EJEMPLO DE FUNCIÓN
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OBSERVACIÓN

1. La variable y se denomina imagen de x mediante f.
2. La variable x es la pre - imagen de y por f.
3. La variable x se denomina variable independiente
   y a y variable dependiente.

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FORMAS DE ESPECIFICAR FUNCIONES

• Generalmente las funciones se expresan
  estableciendo el valor de la función por medio de
  una expresión algebraica en términos de la
  variable independiente.
• Ejemplo
• f(x) 4x - 4

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DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

• Es el conjunto de valores para los cuales la
  función está definida. Es el conjunto de las pre
  imágenes.
• Matemáticamente el dominio viene dado por

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RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

• Es el conjunto de imágenes de f.
• Matemáticamente el dominio viene dado por

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CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES
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FUNCIÓN INYECTIVA

• Sea f A ?B, tal que f(x) y, f es inyectiva
  si y solo si
• f(x1) f(x2) ? x1 x2

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FUNCIÓN INYECTIVA
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FUNCIÓN SOBREYECTIVA

• Sea f A ?B, tal que f(x) y, f es sobreyectiva
  si y solo si

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Observación

1. La función f es sobreyectiva si y solo si Todo
   elemento de B es imagen de algún elemento de A
2. La función f es sobreyectiva si y solo si Rec f
   B

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Función Sobreyectiva
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FUNCIÓN BIYECTIVA

• Una función f es biyectiva si es inyectiva y
  sobreyectiva.

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FUNCIÓN INVERSA

• Toda función admite una inversa, sin embargo no
  toda inversa es una función.
• El siguiente teorema indica bajo que condiciones
  una función tiene inversa.

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TEOREMA

• Sea f A?B una función, f tiene inversa,
  denotada por f-1 si y sólo si f es biyectiva.

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ALGEBRA DE FUNCIONES
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• Sean f y g dos funciones, entonces, se obtienen
  las siguientes funciones

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Observación

1. El dominio de la suma, diferencia y producto es
   la intersección del dominio de f con el dominio
   de g.
2. El dominio de la división es la intersección del
   dominio de f con el dominio de g sin los números
   para los cuales g(x) 0.

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FUNCION COMPUESTA

• Definición
• Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función
  compuesta (g o f)(x) a la función (g o f)(x)
  g(f(x))

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OBSERVACIÓN

• Observando el esquema anterior observamos que
  para que exista la función compuesta es necesario
  que el recorrido de la función f quede totalmente
  incluido en el dominio de la función g.

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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

• El conjunto de los pares (x, y) determinados por
  la función recibe el nombre de gráfico de la
  función.

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GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
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Criterio De La Línea Vertical

• Permite comprobar si una gráfica representa una
  función matemática.
• Consiste en trazar una línea vertical en
  cualquier valor del dominio y si esta intersecta
  a la curva en más de un punto la gráfica no
  representa a una función.

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Criterio De La Línea Vertical
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INTERSECCIÓN CON LOS EJES

• Corresponde a los puntos donde la gráfica corta
  a los ejes.
• Intersección con el eje x Corresponde al punto
  (x,0).
• Intersección con el eje y Corresponde al punto
  (0, y)

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FUNCIÓN PAR

• Sea f una función, f es par si y solo si
• f(-x) f(x)
• Para todo x- x pertenecientes al Dominio de f.

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FUNCIÓN IMPAR

• Sea f una función, f es impar si y solo si
• f(-x) - f(x)
• Para todo x- x pertenecientes al Dominio de f.

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FUNCIONES REALES ESPECIALES
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FUNCION CONSTANTE

• Definición La función f R?R es función
  constante y viene expresada por
• Características
• Dom f(x) R
• Rec f(x) c.

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Grafica

1. La gráfica es una recta paralela al eje x que
   intersecta al eje y en el punto (0,c), esto es

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FUNCIÓN IDENTIDAD

• Definición La función f R?R es función identica
  y viene expresada por
• Características
• Dom f(x) R
• Rec f(x) R

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Grafica

1. La gráfica es una recta que pasa por el origen,
   esto es

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FUNCION LINEAL

• Definición La función f R?R es f. lineal y
  viene expresada por
• Características
• Dom f(x) R
• Rec f(x) R

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Grafica

• La gráfica de esta función depende del valor que
  toma m.
• 1. Si m gt 0

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• 2. Si m lt 0

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• 3. Si m 0

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• 4. Si m es indefinido

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ANALISIS DE LA FUNCION LINEAL
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PENDIENTE
La pendiente de una recta también se denomina
coeficiente angular de la recta. Este nombre se
debe a que el valor de la pendiente permite
calcular la medida del ángulo de inclinación de
la recta respecto al eje horizontal (eje x).   La
pendiente de una recta que pasa por los puntos P
(x1,y1) y Q (x2,y2) viene dada por

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COEFICIENTE DE POSICIÓN

• Corresponde al punto de intersección de la recta
  con el eje y. Viene dado por el punto (0, y). Se
  denota por n.

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Ecuación de la Recta
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ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE

• Si se conoce la pendiente m de una recta y uno
  de sus puntos P ( x1 , y1 ), entonces la ecuación
  viene dada por

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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

• La Ecuación General De Una Recta en dos
  variables x e y viene dada por

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FUNCIÓN CUADRATICA

• Definición La función f R?R es f. cuadrática si
  y solo si

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Características

• Dom f(x) R
• El recorrido viene dado por

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Grafica

• 1. Si a gt 0, la gráfica es cóncava hacia arriba.
  

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Grafica

1. Si a lt 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.

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ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
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CONCAVIDAD

• La gráfica de la función cuadrática f(x) ax2
  bx c es una parábola cóncava hacia arriba si a
  gt 0 y cóncava hacia abajo si a lt0.

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Vértice

• Corresponde al punto más alto o punto máximo si
  la parábola es cóncava hacia abajo (alt0), y al
  punto mínimo si la parábola es cóncava hacia
  arriba (agt0). Tiene las siguientes coordenadas

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FUNCIÓN RACIONAL

• Definición Sea p(x) y q(x) dos polinomios,
  entonces se define la función racional

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Características

• Asíntota Vertical
• Se dice que la recta x a es una asíntota
  vertical para la gráfica de una función f si

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Características

• Asíntota Horizontal
• Se dice que la recta y c es una asíntota
  horizontal para la gráfica de una función f si

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Características

• En particular las asíntotas corresponden a las
  restricciones del dominio y recorrido de una
  función

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FUNCIÓN IRRACIONAL

• Definición La función f es irracional si y solo
  si
• Características
• Dom f R U 0
• Rec f R U 0

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Grafica
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FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

• Definición La función f R?R se llama f. valor
  absoluto si y solo si

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Características

• Dom f R
• Rec f R U 0
• La gráfica viene dada por

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FUNCIÓN EXPONENCIAL

• Definición La función f R?R se llama f.
  exponencial con base b si y solo si
• Características
• Dom f R
• Rec f R

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Grafica

1. Si b gt 1

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Grafica

• Si 0 lt b lt1

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NUMERO NATURAL e

• La base b más importante es el número irracional
  e 2,7182
• La grafica de la función f(x) ex

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FUNCIÓN LOGARITMO

• Definición La función f R?R se llama f.
  logaritmo con base b si y solo si
• Características
• Dom f R
• Rec f R

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Grafica

• Si b gt1

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Grafica

1. Si 0 lt b lt 1

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LOGARITMO COMUN Y NATURAL

• 1. Si la base b e, entonces se llama logaritmo
  natural y viene dado por
• y Ln x
• Si la base b 10 entonces se llama logaritmo
  decimal y viene dado por
• y log x

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