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FUNCIONES

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Pero a la izquierda de 0 la funci n vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la funci n ... ese punto no existe la funci n y a la izquierda del 0 su valor baja hasta oo. ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: FUNCIONES


1
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONESTema 6.5 1º BCS
2
CONTINUIDADY DISCONTINUIDAD
3
CONTINUIDAD GRÁFICA
  • Una función se dice que es continua en todo su
    dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla
    de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz
    del papel.
  • Ejemplo 1 Ejemplo 2
    Ejemplo 3

yex
yx x3
1
yx1
- 1 0 1
1
- 1 0
- 1 0
Función continua en R
Función continua en R
Función continua en R
4
DISCONTINUIDAD GRÁFICA
1
  • Ejemplo 1
  • Función continua en R, excepto en x0
  • En x0 la función existe y vale 1.
  • Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y1)
    y a la derecha del 0 la función vale 0 (y0).
  • Hay una discontinuidad en x0, un salto finito.

0
x 1 , si x0 y x , si xgt0
  • Ejemplo 2
  • Función continua en R, excepto en x0
  • En x0 hay una discontinuidad, pues en ese punto
    no existe la función y a la izquierda del 0 su
    valor baja hasta oo.
  • x0 no forma parte del dominio.

-2 -1 0 1 2
x2 2 , si xlt0 y log x , si xgt0
5
CRECIMIENTOY DECRECIMIENTO
6
  • FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO
  • Una función y f(x) decimos que es CRECIENTE
    en un intervalo a, b si tomados dos valores, x
    y xh de dicho intervalo, tal que x lt xh se
    cumple
  • f (x) lt f (xh)
  • O sea, si la variación es positiva Al aumentar x
    aumenta f(x).
  • FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO
  • Una función y f(x) decimos que es CRECIENTE
    en un intervalo a, b si tomados dos valores, x
    y xh de dicho intervalo, tal que x lt xh se
    cumple
  • f (x) gt f (xh)
  • O sea, si la variación es negativa Al aumentar x
    disminuye f(x).

7
  • Ejemplo mixto
  • La función f(x) x2 es creciente y
    decreciente.
  • Eso es verdad, pero no al mismo tiempo.
  • Sean los valores x - 3, h 1
  • - 3 lt - 31 ? f (- 3) gt f (- 2)
  • ? (- 3)2 gt ( - 2)2 ? 9 gt 4
  • Vemos que en un entorno de
  • x - 3 la función es decreciente.
  • Sean los valores x 3, h 1
  • 3 lt 31 ? f ( 3) lt f (4)
  • ? 32 lt 42 ? 9 lt 16
  • Vemos que en un entorno de
  • x 3 la función es creciente.

TABLA x -4 -3 -2 -1 0 1 2
3 y 16 9 4 1 0 1 4 9

y f(x)
x
Aumenta el valor de x
8
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
9
  • MAXIMOS RELATIVOS.-
  • Una función y f(x) decimos que presenta un
    MÁXIMO RELATIVO en un punto xa cuando, en un
    entorno reducido de a, se cumple
  • f (a - h) lt f (a) gt f (a h)
  • MINIMOS RELATIVOS.-
  • Una función y f(x) decimos que presenta un
    MÍNIMO RELATIVO en un punto xb cuando, en un
    entorno reducido de b, se cumple
  • f (b - h) gt f (b) lt f (b h)
  • Nota h es un incremento de x muy pequeño y
    siempre positivo (?xgt0)

yf (x)
f (a)
f (b)
x
a
b
10
CÓNCAVA
  • CONCAVIDAD.-
  • Una función es cóncava en un determinado punto si
    la tangente en él está por debajo de la gráfica
    de la función en ese punto.
  • También decimos que es cóncava cuando, en un
    intervalo de valores de x, presenta la forma de
    un valle.
  • CONVEXIDAD.-
  • Una función es convexa en un determinado punto si
    la tangente en él está por encima de la gráfica
    de la función en ese punto.
  • También decimos que es convexa cuando , en un
    intervalo de valores de x, presenta la forma de
    una montaña.

CONVEXA
11
  • PUNTOS DE INFLEXIÓN.-
  • Llamamos puntos de inflexión aquellos en que
    cambia la curvatura de una función de cóncava a
    convexa o viceversa.
  • Ejemplo 1 La función f(x) x3 3.x
    presenta un PI en el O(0,0)
  • Ejemplo 2 La función f(x) x3 3.x 2
    presenta un PI en el (0, - 2)

y
x
Ejemplo 1
O
y
PI
x
PI
Ejemplo 2
O
12
FUNCIONES PERIÓDICAS
13
  • PERIODICIDAD
  • Una función y f(x) decimos que es periódica
    cuando su forma se repite a intervalos iguales.
  • La longitud del intervalo es lo que llamamos
    periodo, k.
  • Si se cumple que f(x) f(x n.k), siendo n un
    número entero ( 1, 2, 3, ) , entonces la
    función es periódica y de periodo k.
  • Ejemplos de funciones periódicas, con periodo t
    1 año, podían ser los consumos de agua, luz o
    gas en una vivienda, aunque sea de forma
    aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por
    dicho consumo, al varias las tarifas casi todos
    los años.

14
  • Ejemplo 1 La noria.

5mn 10 mn 5 mn 5 mn
5mn 10 mn 5 mn 5 mn
P 25 mn
P 25 mn
  • En una atracción de feria la noria de detiene 5
    minutos para coger pasajeros.
  • Durante otros 10 minutos se velocidad va
    aumentando.
  • Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta
  • Y por último durante otros 5 minutos su velocidad
    disminuye hasta pararse.
  • Este proceso es periódico, pues se repite cada 25
    minutos.
  • El periodo es t 25 mn

15
  • EJEMPLO_2 La electricidad
  • La función senoidal , f(x) sen x , nos da en
    todo momento el valor del seno de un ángulo. Es
    una de las funciones trigonométricas.
  • Es la forma en la cual se transmite la
    electricidad. En este proceso la forma de onda se
    repite cada 360º . En Europa, España incluida, el
    periodo es de 1 / 50 0,020 segundos.
  • En América, el periodo es de 1 / 60 0,016
    segundos, razón por la que no conviene adquirir
    electrodomésticos americanos que no estén
    modificados.

P 0,02 s
P 0,02 s
16
FUNCIONES ACOTADAS
17
  • Una función y f(x) decimos que está acotada
    inferiormente si existe un número real k tal que
    para todo x se cumple f(x) k.
  • Al número k se le llama cota inferior.
  • Una función y f(x) decimos que está acotada
    superiormente si existe un número real k tal que
    para todo x se cumple f(x) k.
  • Al número k se le llama cota superior.
  • Una función y f(x) decimos que está acotada
    si lo está superior e inferiormente.

18
Ejemplo 1
Ejemplo 2
  • Sea la función
  • f(x) x2 2
  • La función está acotada inferiormente,
  • La cota inferior es k-2
  • Pues f(x) -2
  • Sea la función
  • f(x) x2 3.x 2
  • La función está acotada superiormente.
  • La cota superior es k025
  • Pues f(x) 025
  • TABLA
  • x y
  • -2 2
  • -1 -1
  • 0 -2
  • -1
  • 2
  • TABLA
  • x y
  • -1 -6
  • 0 -2
  • 0
  • 1,5 0,25
  • 0
  • 3 -2

y
y
x
x
19
Ejemplo 3
Ejemplo 4
  • Sea la función
  • f(x) x3
  • La función no está acotada, ni superior ni
    inferiormente.
  • Sea la función
  • f(x) 2 v x
  • La función está acotada inferiormente.
  • La cota inferior es k2
  • Pues f(x) 2
  • TABLA
  • x y
  • -2 - 8
  • -1 - 1
  • 0 0
  • 1
  • 8
  • TABLA
  • x y
  • -1 ---
  • 0 2
  • 3
  • 3,41
  • 4 4

0
20
  • EJEMPLO_5 La electricidad
  • La función seno , f(x) sen x , es una función
    acotada.
  • Está acotada inferiormente y su cota inferior
    vale k -1
  • Está acotada superiormente y su cota superior
    vale k 1
  • Por lo que - 1 sen x 1
  • En la aplicación práctica de la electricidad, los
    220 Voltios que nos llega a los enchufes de
    nuestros hogares no es el valor absoluto, sino un
    valor que se llama valor eficaz.
  • Así - 220.v2 tensión
    eléctrica 220.v2

1 311,1269 v
-1 - 311,1269 v
21
FUNCIONES SIMÉTRICAS
22
  • SIMETRÍAS
  • Sea la función y f(x).
  • Si se cumple que f(x) f(-x) ? Hay SIMETRÍA
    PAR
  • Significa que la función es simétrica respecto al
    eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las
    y es eje de simetría de la función.
  • Si se cumple que f(x) - f(-x) ? Hay
    SIMETRÍA IMPAR
  • Significa que la función es simétrica respecto al
    origen de coordenadas ( 0,0). O sea que lo
    dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo
    del tercer cuadrante.
  • (Es la simetría respecto a un punto que se vió en
    3º ESO)

23
Ejemplo 1
  • SIMETRÍA PAR
  • f(x) x2
  • f(x) x2.
  • Veamos si se cumple que
  • f(x) f(-x)
  • f(x) x2
  • f(-x) (-x)2 x2
  • ? Hay SIMETRÍA PAR
  • Lo mismo sucedería con
  • f(x) x2 3
  • f(x) x2 5
  • Pero no con
  • f(x) x2 3.x
  • f(x) 2.x 5
  • TABLA
  • x y
  • -2 4
  • -1 1
  • 0 0
  • 1
  • 4

y
24
Ejemplo 2
  • SIMETRÍA IMPAR
  • f(x) x3
  • f(x) x3.
  • Veamos si se cumple que
  • f(x) - f(-x)
  • f(x) x3
  • f(-x) (-x)3 - x3
  • - f(-x) - (- x3 ) x3
  • ? Hay SIMETRÍA IMPAR
  • Lo mismo sucedería con
  • f(x) x3 3.x
  • f(x) x3 5.x
  • Pero no con
  • f(x) x3 2.x2
  • f(x) x3 5
  • TABLA
  • x y
  • -2 - 8
  • -1 - 1
  • 0 0
  • 1
  • 8

O
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