DERIVADA DE UNA FUNCION REAL

1
DERIVADA DE UNA FUNCION REAL
Prof. Cecilia Contreras
2
INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA

• Sea f(x) función y L recta secante.
• Sean P ( x , f(x) ) y Q (x h, f(x h)),
• dos puntos que pertenecen simultáneamente a la
  recta y a la función.

3
GRAFICO
4

• La razón representa a la
  pendiente de la recta secante que pasa por P y Q.
  
• A medida que h tiende a cero, el punto Q se
  aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta
  secante está más próximo a ser recta tangente.

5
GRAFICO
6

• Entonces cuando h? 0 la pendiente de la recta
  secante se transforma en pendiente de la recta
  tangente en el punto P.
• Luego la pendiente de la recta tangente viene
  dada por
• mt

7
DEFINICIÓN

• El límite utilizado para definir la pendiente
  de la tangente se usa también para definir una de
  las operaciones fundamentales del cálculo LA
  DERIVADA. Siempre que el limite exista.

8
NOTACIÓN

• Otras notaciones comunes para la derivada de la
  función f(x) son

9
EJERCICIO

• Encuentre
• La derivada de f(x) x3 2x
• La pendiente de la recta tangente a la curva en
  el punto P (1, 3)
• La ecuación de la recta tangente a la curva en P

10
REGLAS DE DERIVACIÓN
11
REGLAS DE DERIVACIÓN
12
EJERCICIO

• Derive la siguiente función

13
REGLA DE LA CADENA

•   Se refiere a la derivada de funciones
  compuestas.
• Dada la función fog f(g(x)), se debe derivar f
  y g, por lo tanto esta regla nos permite derivar
  la función compuesta.

14
TEOREMA

• Si y f(u) es una función derivable de u y u
  g(x) una función derivable de x, entonces y
  f(g(x)) es una función derivable de x, esto es

15
EJEMPLO

• Sea y 4u3 u 5x2 4, entonces la función
  compuesta viene dada por y f(g(x)),
• La derivada de y con respecto a u viene dada
  por
• 12 u2
• La derivada de u con respecto a x viene dada
  por
• 10 x

16
EJEMPLO

• Por lo tanto, la derivada de la función y con
  respecto a la variable x viene dada por
• y como u 5x2 4, entonces finalmente la
  derivada viene dada por

17
REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON REGLA DE LA
CADENA

• Si n es cualquier número real, f(x) y
  g(x) funciones, entonces

18
EJERCICIO

• Derive la siguiente función

19
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

• Sea y f(x) una función, si su derivada
  existe, se denota por f(x). Si f(x) es una
  función entonce la derivada existe y se denota
  por f(x), la cual se llama segunda derivada.
• En general la n- ésima derivada de una función
  viene dada por fn(x).

20
EJEMPLO

• Encuentre la tercera derivada de

21
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

• FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
• f(x) Ln (g(x))
• f(x)
• FUNCIÓN LOGARITMO DECIMAL
• f(x) Loga(g(x))
• f(x)

22
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

• FUNCION EXPONENCIAL
• 3.1. f(x) eg(x)
• f(x) g(x) eg(x)
• 3.2. F(x) bg(x)
• f(x) g(x) bg(x) Ln(b)

23
DERIVACIÓN IMPLICITA

• Todas las funciones vistas hasta ahora son
  funciones de la forma
• y f(x), esto es, una de las dos variables está
  dada explícitamente en términos de la otra por
  ejemplo
• y x3 o y 2x2 3x 1
•  

24
DERIVACIÓN IMPLICITA

• Existen muchas funciones que vienen dadas
  implícitamente
• xy 1 x3 x2 y2 5xy.
•  
• Por lo tanto para derivar f(x), se utiliza la
  Derivación Implícita.

25
DERIVACIÓN IMPLICITA

• Para derivar funciones que vienen dadas
  implícitamente, se sigue el el siguiente
  procedimiento
• Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a
  x.
• Cuando existan términos que contienen a y se debe
  aplicar regla de la cadena, porque se esta
  suponiendo que y está definida implícitamente
  como una función de x.

26
DERIVACIÓN IMPLICITA

• Dejar a un lado de la igualdad todos
  aquellos términos que contengan y, y al otro
  lado los demás términos
• Factorizar por y.
• Finalmente despejar y.
•  

27
EJEMPLO

• Derivar implícitamente la siguiente función
• x2y 2y3 3x 2y.
•  

28
SOLUCIÓN

• 1.      Se derivan ambos lados de la ecuación con
  respecto a x
• (x2y) (2y3) (3x) (2y)
• (x2y) 2xy x2 y
• (2y3) 6y2 y
• (3x) 3
• (2y) 2 y
•   Sumando se tiene
• 2xy x2 y 6y2 y 3 2y

29
SOLUCIÓN

• 2. Aislando a un lado de la ecuación aquellos
  términos con y, nos queda
•   x2 y 6y2 y - 2 y 3 - 2xy
• 3.      Factorizando por y
•   y( x2 6y2 - 2 ) 3 - 2xy
•  4.      Despejando y nos queda
• y 3 2xy
• x2 6y2 - 2

30
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
31
F. CRECIENTE Y DECRECIENTE

• En que intervalos la función crece y/o decrece.

32
FUNCIÓN CRECIENTE

• Una función f definida en algún intervalo se
  dice que es creciente en dicho intervalo si solo
  si
• f(x1) lt f(x2) siempre que x1lt x2

33
FUNCIÓN DECRECIENTE

• Una función f definida en algún intervalo se
  dice que es decreciente en dicho intervalo si
  solo si
• f(x1) gt f(x2) siempre que x1lt x2

34
TEOREMA

• Sea f una función continua en a,b y derivable
  en un intervalo (a,b) se tiene que

35
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
36
VALOR MAXIMO RELATIVO

• Se dice que f tiene un máximo relativo en un
  punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que

37
VALOR MINIMO RELATIVO

• Se dice que f tiene un mínimo relativo en un
  punto c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal
  que

38
PUNTO CRITICO

• Si la función f está definida en un punto c, se
  dirá que c es un número critico de la función f
  si
• f(c) 0 o si f no está definida en c.

39
OBSERVACIÓN

• Si una función tiene un valor máximo relativo o
  un valor mínimo relativo en c, se dice entonces
  que la función tiene un extremo relativo en c

40
TEOREMA

• Los extremos relativos solo ocurren en los
  puntos críticos.

41
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

• Procedimiento para elaborar la gráfica de una
  función utilizando el criterio de la primera
  derivada
• Calcular la primera derivada para encontrar
  los puntos críticos.
• Marcar los puntos críticos en una recta
  numérica, quedando dividida en intervalos. Luego
  evaluar la derivada para valores mayores y
  menores que los puntos críticos , para determinar
  el signo de ella.

42

• Utilizar el teorema para determinar los
  intervalos de crecimiento y decrecimiento.
• Si c es un punto critico tal que f(x) 0,
  entonces
• 4.1. Si f(x) cambia de positiva a negativa en
  c, f(c) es un max relativo de f.
• 4.2 Si f(x) cambia de negativa a positiva en
  c, f(c) es un min relativo de f.
• 4.3. Si f(x) no cambia de signo en c, f(c) no
  es ni un mínimo ni un máximo relativo.
• 5. Para cada punto crítico c encontrar f ( c).

43
EJEMPLO

• Determine los intervalos de crecimiento y
  decrecimiento de la siguiente función
• f(x) 2x3 3x2 12x 7

44
SOLUCION

• 1. Dada la función encontramos la primera
  derivada. f(x) 6x2 6x 12
• 2. Igualamos f(x) a cero, esto es f(x) 0
• 3. Encontramos los puntos críticos, resolviendo
  la ecuación resultante.  
• 6x2 6x 12 0
• 6(x 2)(x 1) 0
• x - 2 y x 1

45
SOLUCION

• Ubicar los puntos críticos en una recta numérica
  como la siguiente
•  

46
SOLUCION

• En la última fila se puede obtener los intervalos
  de crecimiento y decrecimiento, esto es
• Intervalos de crecimiento
• Intervalo de decrecimiento

47
SOLUCION

• De acuerdo a la tabla del punto 4, se concluye
  que hay un máximo relativo en x 2 y un mínimo
  relativo en x 1.
• Las coordenadas de los puntos críticos,
  reemplazandolos en f(x), son
• f(2) 13 y f (1) -14

48
CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION
49
CONCAVIDAD

• Sea f definida en un intervalo
• f es cóncava hacia arriba si la gráfica se
  dobla hacia arriba
• f es cóncava hacia abajo si la gráfica se
  dobla hacia abajo

50
CONCAVA HACIA ARRIBA

• Sea f derivable en un número c, se dice que la
  grafica de f es cóncava hacia arriba en el punto
  P (c, f ( c) ) si existe un intervalo
  abierto (a, b) que contenga a c, tal que en
  (a, b) la grafica de f esté arriba de la recta
  tangente en P.

51
CONCAVA HACIA ABAJO

• Sea f derivable en un número c, se dice que la
  grafica de f es cóncava hacia abajo en el punto
  P (c, f ( c) ) si existe un intervalo
  abierto (a, b) que contenga a c, tal que en
  (a, b) la grafica de f esté bajo la recta
  tangente en P.

52
TEOREMA

• Sea f una función derivable en (a, b) con c
  perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(x)
  existe, entonces
• Si f(x) gt 0 , entonces la grafica de f es
  cóncava hacia arriba.
• Si f(x) lt 0, entonces la grafica de f es
  cóncava hacia abajo.

53
PUNTO DE INFLEXION

• Sea f una función cuya recta tangente en (c, f
  (c)). Se dice que el punto (c, f (c)) es un punto
  de inflexión si la concavidad cambia de ser hacia
  arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese
  punto

54
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

• Si c es un punto critico tal que f(x)
  0 y f existe, entonces
• Si f(c) gt 0, f tiene un mínimo local
• Si f(c) lt 0, f tiene un máximo local
• Si f(c) 0 entonces esta prueba no es
  concluyente. Usar el criterio de la primera
  derivada.

55
EJEMPLO

• En la siguiente función, encuentre los extremos
  locales utilizando el criterio de la segunda
  derivada Dada la función
• f(x) 4x3 7x2 10x8

56
DERIVADA DE UNA FUNCION REAL