ALGUNAS VIEJAS ECUACIONES

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ALGUNAS VIEJAS ECUACIONES

• María Leonor Varas

Santiago, 4 de Enero del 2000
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OBJETIVOS
Ayudar a descubrir las matemáticas como

• Herramienta de modelamiento de fenómenos
• Método de análisis
• Lenguaje
• Construcción viva
• Actividad humana

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ELEMENTOS CENTRALES DEL CÁLCULO QUE QUISIÉRAMOS
INTRODUCIR

• CAMBIO

APROXIMACIÓN
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TEMAS QUE TRATAREMOS
FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
razones de cambio y modelos
significado de los parámetros
aspectos gráficos razonables e insensatos
SABEMOS RESOLVER ECUACIONES?
COMO CONOCEMOS?
CUANTO CONOCEMOS?
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MÉTODOS QUE PROMOVEMOS
ENSAYO Y ERROR
ANÁLISIS
MÉTODO INDUCTIVO
DEMOSTRACIÓN
MÉTODO DEDUCTIVO
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AVANT PREMIERE
ALGORITMO CONVERGENCIA LIMITE
DENSIDAD DE LOS RACIONALES EN LOS REALES
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EJEMPLOS QUE PROPONEMOS
QUE SIRVAN A VARIOS OBJETIVOS QUE USEN VARIOS
MÉTODOS QUE INCORPOREN VARIOS CONCEPTOS

• SIMPLES

• LARGOS

• COMPLETOS

• CERCANOS

• SIGNIFICATIVOS

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EL CAMBIOCOMO LO MEDIMOS?PARA QUE SIRVE?

• Derivadas
• Diferencias Divididas

• Saber cuando una función crece y cuando decrece
• Saber donde una función tiene un máximo y donde
  un mínimo

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DIFERENCIAS DIVIDIDASesas derivadas discretas.
Definición por recurrencia. Dada una función f y
una colección de puntos de su dominio.
Diferencia Dividida de orden cero
Diferencia Dividida de orden k1
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Ejemplos de Diferencias Divididas de orden 1 y 2
entonces
Si
Si además
entonces
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PROPIEDAD IMPORTANTE
(Si la función f tiene derivada k-ésima continua)
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CONSECUENCIA DE ESTA PROPIEDAD
Las Diferencias Divididas de primer orden de una
función lineal son constantes.
Si
entonces
Las Diferencias Divididas de segundo orden de una
función cuadrática son constantes.
Si
entonces
y
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UTILIDAD PRACTICA
Dada una tabla de valores de una función,
analizando sus razones de cambio (diferencias
divididas) de primer y segundo orden podremos
saber si se trata de una función lineal o
cuadrática.
Si sabemos que una función tiene razón de cambio
de segundo orden constante entonces sabremos que
se trata de una función cuadrática.
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Ejemplo 1Se pide encontrar la producción
de petróleo en funcióndel número de pozos.
Determinar a partir de que cantidad de pozos la
producción de petróleo comienza a decrecer y para
cual número de pozos, la napa se agota por
completo.
Un campo petrolero con 20 pozos ha estado
produciendo 4000 barriles diarios. Si la napa de
petróleo fuera muy abundante y con flujo de
reposición mayor que el de extracción, entonces
por cada nuevo pozo se tendría un aumento
proporcional, es decir, la producción diaria
aumentaría en 200 barriles. Este no es el caso y
se sabe que por cada nuevo pozo, la producción
diaria de cada uno de ellos individualmente
decrece en 5 barriles.
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TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS EN EL EJEMPLO DEL
PETROLEO
-5
-5
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Como la diferencia dividida de orden 2 es
constante, entonces la función buscada es una
cuadrática el coeficiente del término cuadrático
será
Como en ausencia de pozos no hay producción de
petróleo, entonces y usando un
punto de la tabla, por ejemplo
Se obtiene
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Las respuestas a las demás preguntas son directas
Las Diferencias Divididas de Orden 1 son
positivas hasta antes de los 30 pozos, en cambio
a partir de los 30 pozos son negativas. Por lo
tanto a partir de de 30 pozos la producción de
petróleo decrece.
La producción de petróleo es nula tanto en
ausencia de pozos como para 60 pozos, pues
y son raíces de la función
cuadrática .
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Ejemplo 2 (con variable continua).Cuanto
tiempo le toma alcanzar la velocidad permitida en
la ruta?, A qué distancia del control de
carabineros debe recibir el aviso para que no le
cursen una infracción?
Un automóvil circula por la carretera Norte-Sur a
exceso de velocidad ( 170 km/hr) cuando, a la
altura del kilómetro 120, el conductor, advertido
de un control, aplica los frenos a fondo. Las
siguientes marcas camineras (se encuentran cada 5
kilómetros) las alcanza a los 2 y 5 minutos
respectivamente.
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Los estudiantes saben que la velocidad es una
razón de cambio (o Diferencia Dividida) del
desplazamiento y que al mantener pisados los
frenos tendrán desaceleración constante, es
decir, la razón de cambio de la velocidad
(Diferencia Dividida de segundo orden del
desplazamiento) será constante. En consecuencia,
el desplazamiento será una función cuadrática del
tiempo, mientras se mantenga esta condición.
Además se ve que
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Tabla de Diferencias Divididas del desplazamiento
De lo cual se tiene
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PODEMOS EVITAR LA DERIVADA?
Para la velocidad inicial, o el parámetro b en la
expresión del desplazamiento en función del
tiempo del
segundo ejemplo, subsiste el problema de
identificar una razón de cambio instantánea.
Pero en Física las dimensiones importan. Se hace
la diferencia entre lo macroscópico y lo
microscópico y tiene mucho sentido despreciar un
incremento microscópico.
Sin usar la definición matemática de límite se
puede concluir que
su razón de cambio instantánea en el tiempo t
será la velocidad
y por lo tanto
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EL CONTINUOese otro infinito, el que nos regaló
CANTOR (1854-1918)

• Tablas
• Gráficos
• Soluciones de Ecuaciones
• Puntos relevantes de una función

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PRODUCCION DE PETROLEO EN FUNCION DEL NUMERO DE
POZOS
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(A propósito de insensateces)
Tanto el Dominio como el Recorrido son de cuidado
en los dos ejemplos propuestos .
No tiene sentido la producción de petróleo de una
fracción de pozos ni de un número negativo de
pozos ni una producción negativa de petróleo.
La función del desplazamiento del automóvil del
segundo ejemplo solo es válida en el tiempo en
que se llevan los frenos pisados a fondo y por
lo tanto la aceleración es constante.
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LAS RAICES SON PUNTOS RELEVANTES DE UNA
FUNCION.....
Y SABEMOS CALCULARLAS?
SABEMOS CALCULAR LA SOLUCION DE
?
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Expresamos la solución Dibujamos la solución

• CONOCEMOS ESTA SOLUCION
• por definición
• como límite

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(No Transcript)
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DEFINICION DE LIMITE
La sucesión
converge al límite L si y solo si
tal que
Esto es una síntesis de un conocimiento que se
adquiere de otro modo.
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Para adquirir la idea de límite, proponemos
ejemplos simples pero desafiantes.
A quien podría interesar calcular 0 como límite
de cuando k tiende a infinito?
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En cambio es un número común,
aparece como la diagonal de un cuadrado de largo
uno, es solución de una ecuación trivial
y...... jamás lo podremos conocer.
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UN ALGORITMO PARA CALCULAR RAICES DE FUNCIONES NO
LINEALESBISECCION
Dados a, b tales que f(a)f(b)lt0 y una tolerancia
k 1
si fin
si si no k k 1

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PRIMERAS ITERACIONES DE BISECCION PARA
ENCONTRAR
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BISECCION CONVERGE
COTA DEL ERROR DE LA APROXIMACION K-ESIMA
Si es tal que y f es
continua, entonces
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PRIMERAS ITERACIONES DE BISECCION PARA
ENCONTRAR
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Para encontrar una aproximación de tan
precisa como se quiera basta aumentar , el
número de iteraciones .
Por ejemplo, si se parte del intervalo
y se quiere una aproximación que no difiera
de en mas de , bastará
calcular . Pues
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TODA LA SUCESIÓN DE APROXIMACIONES ESTÁ FORMADA
POR NÚMEROS RACIONALES....
...SE ACERCARÁ TANTO COMO SE DESEE A
.....
.....Y NUNCA ALCANZARÁ A PUES ESTE
NÚMERO NO ES RACIONAL.
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Se ha establecido una forma de conocer
, como un límite.
Se ha garantizado que podremos conocer este
número tanto como queramos y que jamás podremos
conocerlo por completo.
El concepto de límite da cuenta de un fenómeno
ligado a la esencia del ser humano y de su
capacidad de conocer, de un modo preciso y
poético, que difícilmente expresan mejor las más
inspiradas metáforas.