Seccin 5'2 Problemas en Flujo Bidimensional

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Sección 5.2 Problemas en Flujo Bidimensional

• Teoría de Flujo Subterráneo
• Semestre 2008-1
• Alberto Rosas Medina

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• En esta sección se consideran las soluciones
  analíticas en 2 dimensiones. Mientras que el
  análisis matemático nos permite escribir
  soluciones bastante generales para flujo
  multidimensional.
• La discusión empieza con líneas de flujo y líneas
  equipotenciales y se presentan condiciones bajo
  las cuales este conjunto de líneas son
  ortogonales a otras.
• Esto es usado como una base para la construcción
  de soluciones gráficas. Entonces se considera una
  solución analítica especifica para un problema
  bidimensional definido sobre una sección vertical
  cruzada correspondiente a una pendiente del
  cerro, identificando patrones de recarga y
  descarga y desarrollando una simple pero
  bastante general panorama de flujo dinámico
  subterráneo y su relación con la superficie
  hidrológica.

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Finalmente se considera extensiones a sistemas
más complejos que incluyen ciertos campos de
heterogeneidad

• 5.2.1 Soluciones Gráficas
• El método de solución gráfica está basado sobre
  la observación que las líneas de flujo son
  perpendiculares a las líneas equipotenciales
• Definición 1. streamline Es una curva en el
  espacio que es tangente casi donde quiera al
  vector de flujo volumétrico .
• En un estado de equilibrio, un streamline traza
  la trayectoria de una partícula moviéndose en el
  campo de flujo.

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• El campo de flujo está dado por los gradientes en
  carga hidráulica dados por la ley de Darcy.
• Cuando el material es isotrópico la conductividad
  hidráulica es un único número. Así en un medio
  isotrópico el vector de flujo está en la
  misma dirección que el gradiente .

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• Cuando el material es anisotrópico, la situación
  no es simple por que el mapeo entre y
  envuelve una matriz con valores de conductividad
  hidráulica y por lo tanto los valores de y
  son generalmente no colineales
• Por ahora se asume isotropía, así estamos
  asegurando que y tienen la misma dirección.
  Por lo tanto podemos decir que streamlines sigue
  la dirección de
• por que esta dirección es la misma
  que , la cual sirve para definir los
  streamlines.
• Definición 2. Líneas equipotenciales son líneas
  por las cuales el potencial o carga hidráulica es
  constante.

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• Decimos desde geometría analítica que por
  definición, el gradiente de cualquier función
  tiene una dirección que es perpendicular a líneas
  de valores constantes de la función. Por lo tanto
  el gradiente de carga hidráulica debe ser
  perpendicular a las líneas de carga hidráulica
  constante, lo cual significa que streamlines
  deben ser perpendiculares a las líneas
  equipotenciales en un medio isotrópico.
• De esta observación podemos graficar el flujo de
  líneas basado en la relación de ortogonalidad
  entre líneas equipotenciales y líneas de flujo.

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Red de Flujo Clásicas

• En el campo de mecánica sólida y fundación de
  ingeniería, uno esta con frecuencia interesado en
  flujo a través o alrededor de estructuras de
  ingeniería que envuelve la subsuperficie y agua
  subterránea o quizás construcción de diques por
  encima de la tierra que crea un nuevo medio
  poroso (e.g. un dique de tierra) con
  posibilidades de flujo asociado a través del
  objeto.
• Como un ejemplo, considere la situación mostrada
  en la figura 5.7, donde la expansión de material
  impermeable es introducida dentro de la tierra
  que sirve como un dique.

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• El charco de agua sobre el lado izquierdo del
  dique (detrás del dique) y flujos lejos (fuera
  alejándose) sobre el lado derecho. Podemos
  representar el flujo en este sistema por uso del
  principio de ortogonalidad, dado que podemos
  identificar fronteras apropiadas por que tanto la
  carga hidráulica es constante (una línea
  equipotencial) o no existe flujo en la dirección
  normal a la frontera, (en tal caso la frontera
  corresponde a streamline).

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Esquema de un dique
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• En la figura 5.8, las líneas etiquetadas A-B y
  E-F-G-H-I-J son líneas a través de las cuales no
  ocurre flujo. Por que el vector de flujo no
  tiene componente en la dirección normal a la
  línea, y la única componente no cero puede ser en
  la dirección tangente a la línea. Por lo tanto,
  por definición de un streamline, las líneas A-B y
  E-F-G-H-I-J son streamlines. Las líneas
  etiquetadas D-F y I-C son líneas de igual carga
  hidráulica, con la carga por D-F es igual a HL y
  la carga por I-C es igual a HR. Así cualquier
  representación del sistema de flujo a través del
  medio poroso debe incluir equipotenciales por D-F
  y I-C, y streamlines por A-B y E-F-G-H-I-J.

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F
I
H
G
Esquema de un dique con líneas de frontera
etiquetadas
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• Con esta información, y los requisitos del
  conjunto de streamlines y equipotenciales debe
  ser mutuamente ortogonales, podemos construir un
  conjunto de tales líneas. Una representación es
  la figura siguiente.

Líneas streamlines y equipotenciales para el
problema (embalse represa dique)
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• Mientras el número de equipotenciales y
  streamlines, y sus espacios, pueden ser elegidos
  arbitrariamente (restringido únicamente por los
  requisitos de ortogonalidad), esto es con
  frecuencia útil para seguir una manera más
  sistemática para construcción de estas líneas. En
  particular con frecuencia intentamos graficar
  líneas y del flujo que ocurre entre cualesquiera
  dos streamlines adyacentes es el mismo, y la
  carga descendiente entre cualesquiera dos líneas
  equipotenciales es el mismo.

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• Un mapa hidrológico se refiere a una
  representación grafica de flujo subterráneo
  basado sobre líneas equipotenciales y streamlines
  aplicadas a un acuífero dentro del cual el
  promedio vertical ha sido aplicado (sección 4.5.2
  para adicional discusión de este tópico). Por lo
  tanto el mapa representa la carga hidráulica y el
  flujo volumétrico en el plano (x,y) en donde el
  flujo dentro del acuífero es asumido para ser
  esencialmente horizontal. Para materiales
  homogéneos e isotrópicos, el principio de
  ortogonalidad puede ser aplicado. Por lo tanto
  streamlines pueden ser esquematizadas (dibujadas)
  basadas sobre conocimientos de líneas
  equipotenciales. La aplicación práctica de este
  campo de mapas tiene soporte (depende) sobre la
  observación de mediciones de niveles de agua en
  pozos son directamente medidos de carga
  hidráulica sobre la longitud de el pozo de
  investigación.

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• Y para pozos investigados dentro del mismo
  acuífero, las mediciones del nivel de agua
  entonces proporcionan puntos de medidas carga
  hidráulica. Mapas topográficos basados sobre esta
  medición de pozos entonces proporciona líneas
  equipotenciales, por que por definición una línea
  de nivel es una línea por la cual el valor de la
  variable siendo contoured es constante. Cuando la
  variable es la carga hidráulica, el contorno son
  líneas equipotenciales. Una vez que estas líneas
  son graficadas, streamlines pueden ser
  construidas usando el principio de ortogonalidad.
  Un ejemplo de tal mapa es proporcionado por la
  fig. 5.10, donde las mediciones del nivel del
  agua en las inmediaciones (alrededor) de dos
  pozos de bombeo son contoured, y desde estos
  contours direcciones de flujo son inferidas y
  graficadas.

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(No Transcript)
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• Supongamos un sistema bidimensional (x,y) y las
  principales direcciones de la conductividad
  hidráulica alineadas con los ejes coordenadas,
  así que en el sistema coordenado (x,y) la matriz
  de conductividad hidráulica está dada por

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• Considerando la dirección resultante de flujo
  cuando el gradiente de carga hidráulica está
  alineado en el ángulo a desde el eje x.

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• Donde denota la magnitud del vector
  .
• Las ecuaciones gobernantes de flujo derivado de
  la ley de Darcy

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• El ángulo en el cual fluye el agua está dado por
  ß, y se define como
• Cuando el material es isotrópico
  entonces
• Lo cual significa que

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• Sin embargo, cuando el vector de
  flujo no está alineada con el vector gradiente de
  carga excepto cuando el gradiente pasa alineado
  con las direcciones principales de la
  conductividad hidráulica.
• Dado que se considera un sistema anisotrópico se
  define un nuevo sistema coordenado, en el cual el
  vector de flujo y el gradiente de carga están
  alineados.

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• El nuevo sistema coordenado se obtiene
• Entonces el vector de flujo están dados por

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• Por lo tanto el cálculo de la dirección de flujo
  muestra que el flujo está en la nueva dirección
  del gradiente de carga definido en el nuevo
  sistema coordenado,
• así en el espacio transformado, las direcciones
  de flujo
• pueden ser determinados desde el análisis de red
  de flujo.

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Material interfaz y ley tangente

• Heterogeneidad de materiales, propiedades tales
  como conductividad hidráulica significa que el
  valor de la propiedad cambia con la localización
  en el espacio.
• La línea o superficie cruzada con la cual la
  propiedad cambia es llamado material interfaz.
• En un sistema de agua subterránea saturado, el
  movimiento a través de un material interfaz
  obedece a dos reglas fundamentales.

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• 1. Continuidad de la carga hidráulica
• 2. Continuidad de flujo normal
• Ambos en el sentido matemático.
• La primera regla sigue el hecho que una carga
  hidráulica discontinua implica un flujo infinito
  para cualquier conductividad hidráulica finita
  (Ley de Darcy) lo cual físicamente es imposible.
• La segunda regla se sigue desde el argumento de
  balance de masas cualquier masa entrante en la
  interfaz, debe emerger del otro lado, porque la
  interfaz no puede almacenar masa (tiene volumen
  cero).

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• Construcción de redes de flujo y mapas
  hidrológicos cuando el dominio de interés está
  compuesto de regiones de materiales homogéneos,
  separados por una interfaz A-A
• De un lado, el material i, con carga hidráulica
  hi, conductividad hidráulica Ki ,vector de flujo
  volumétrico qi. i1,2. La dirección normal a la
  interfaz denotada por n y la dirección por la
  interfaz como s.

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• La continuidad de la carga hidráulica implica que
  
• Es decir es la misma por ambos lados de la
  interfaz.
• De la ley de Darcy se tiene
• Por lo tanto
• Si relacionamos los ángulos y usando
  la tangente

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• La última ecuación nos dice que el cambio de
  ángulo del vector de flujo a través del material
  interfaz es gobernado por el contraste de
  permeabilidad a través de la interfaz.
• En particular si , entonces
  por lo tanto el vector en el material más
  permeable tiene una dirección cerrada paralela a
  la interfaz, mientras que en el material menos
  permeable está cerrado a la dirección normal.
  

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Leyes tangentes

• 1.Provee una metodología para la construcción de
  redes de flujo en material heterogéneo, donde la
  heterogeneidad envuelve regiones simples
  homogéneas separadas por un material interfaz.
• La segunda consecuencia es que envuelve flujos en
  sistemas acuífero-acuitardo estratificado.

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• Por que por definición los acuíferos tienen
  permeabilidad mucho más grande que la
  permeabilidad en un acuitardo, líneas de flujo en
  las inmediaciones de la frontera
  acuífero-acuitardo debe ser cerrado a paralelo a
  la interfaz en el acuífero y cerrado a la
  dirección normal en el acuitardo. Para estratos
  que son esencialmente horizontales, esta
  significa que el flujo en el acuífero será
  esencialmente horizontal y el flujo en el
  acuitardo será vertical.
• Por lo tanto la ley tangente sostiene la
  suposición de flujo esencialmente horizontal en
  acuíferos y flujo vertical en acuitardos.

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5.2.2 Soluciones Analíticas en 2 Dimensiones

• Las soluciones analíticas de problemas de flujo
  subterráneo en más de una dimensión tienen más
  complicaciones que las ecuaciones diferenciales
  ordinarias.
• En general, las soluciones analíticas pueden ser
  únicamente derivadas para ecuaciones lineales con
  coeficientes constantes definida sobre un dominio
  cuyas fronteras son paralelas a los ejes
  coordenados.

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Flujo subterráneo en pequeñas cuencas
hidrográficas

• Veamos la siguiente figura

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• Con estas condiciones impuestas, la ecuación de
  flujo subterráneo para estado de equilibrio para
  acuífero homogéneo e isotrópico provee una
  descripción matemática del problema, la ecuación
  no puede ser resuelta por que la localización de
  el nivel freático no es paralelo a los ejes
  coordenados.
• Se puede obtener la solución si suponemos
  entonces el problema se traduce en

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Esta ecuación puede ser solucionada
analíticamente, obteniendo una solución en series
infinitas envolviendo funciones trigonométricas.
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(No Transcript)
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• 1. Nótese que la solución es representada por
  líneas de flujo y que las líneas de flujo están
  únicamente graficadas dentro del dominio donde la
  solución es realmente obtenida, esto es en
  .
• 2. Podemos identificar áreas de recarga y
  descarga.
• Recarga Es un área en lo alto de el dominio (en
  2-D)
• esto es realmente una línea de recarga, por que
  el área
• envuelve la dirección y
• La carga hidráulica decrece con profundidad
• Descarga Es un área para la cual la carga
  hidráulica incrementa con profundidad.
• 3. Se identifican tres zonas generales sobre la
  figura, las cuales son denotadas como sistemas
  de flujo local, sistemas de flujo intermedio y
  sistemas de flujo regional.

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• Sistema de flujo regional Tiene su área de
  recarga en una topografía local (senoidal) alta,
  y su área de descarga en la topografía adyacente
  inferior.
• Sistema de flujo intermedio Tiene sus áreas de
  carga y descarga separadas por una o más
  topografías pero estas no abarcan la longitud
  entera de la pendiente de la colina
• Sistema de flujo regional Es un sistema cuya
  área de recarga incluye el agua divisor y su área
  de descarga incluye el valle bottom

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(No Transcript)