Informatica industriala

1
Informatica industriala

• Prelucrarea digitala a semnalelor
• Filtre numerice (cont)

2
Filtre cu raspuns infinit (IIR)

• iesirea la un anumit moment depinde nu numai de
  semnalul de intrare ci si de valorile anterioare
  ale semnalului de iesire
• un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite
  conditii se poate propaga la infinit (de unde si
  numele filtrului)
• formula iesirii pentru un filtru IIR
• k-1 k
• y(kT) S bk-iy(iT) S ak-ix(iT)
• i0 i0
• Aplicând transformata în Z asupra expresiei de
  mai sus se obtine
• m n
• Y(z) S biY(z)z-i S aiX(z)z-i
• i0 i0
• unde m - indexul maxim al coeficientilor bi
  diferiti de zero
• n - indexul maxim al coeficientilor ai
  diferiti de zero

3
Filtre cu raspuns infinit (IIR)

• transformata in Z a unui filtru IIR
• n
  m
• H(z) Y(z)/X(z) (S aiz-i)/( 1- S biz-i)
• i0
  i0
• Proprietati ale filtrelor IIR
• pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru
  IIR are un efect mai pregnant (calitativ mai bun)
  decat un filtru FIR
• filtrele IIR sunt reactive sau cu reactie
  inversa (feed-back), datorita termenilor ce
  contin esantioane ale iesirii
• pentru anumite valori ale coeficientilor ai si bi
  filtrul IIR devine instabil si are tendinta de a
  oscila

4
Implementarea filtrelor IIR

• forma canonica de implementare a filtrelor IIR

5
Sinteza filtrelor numerice

• Problema determinarea coeficientilor functiei de
  transfer a unui filtru numeric, astfel încât
  efectul produs de filtru sa corespunda unor
  conditii prestabilite.
• Parametri unui filtru
• banda de trecere intervalul de frecvente pentru
  care filtrul are efect de amplificare
• banda de blocare intervalul de frecvente pentru
  care filtrul are efect de atenuare
• frecventa de taiere frecventa care desparte
  banda de trecere de banda de atenuare
• raportul de atenuare logaritmul raportului
  dintre amplificarea în banda de blocaj si
  amplificarea în banda de trecere
• raport de atenuare 20 lg (Ablocaj/Atrecere)
  decibeli

6
Sinteza filtrelor numerice

• exista mai multe tehnici de sinteza, relativ
  complexe
• Metoda 1
• se bazeaza pe functia de transfer a filtrului
  analogic echivalent, (exprimat in domeniul
  Laplace)
• m
• Ha(s) ? Ak/(ssk) unde sk sunt polii
  functiei de transfer
• k1
• Din aceasta expresie se deduce transformata în Z
  a filtrului numeric
• m
• H(z) ? Ak/(1 eskTz-1)
• k1

7
Sinteza filtrelor numerice

• Metoda 2.
• Se considera cunoscut raspunsul unui filtru
  analogic echivalent la un semnal de tip impuls.
  Prin esantionarea functiei raspuns se obtin
  coeficientii transformatei în Z a functiei de
  transfer.

8
Clasificarea filtrelor in functie de implementare

• filtre in domeniul timp
• folosite pentru modelarea formei semnalului
  netezire, eliminare valoare constanta, formatare
  semnal
• filtre in domeniul frecventa
• folosite atunci cand informatia este continuta in
  distributia spectrala (amplitudine, frecventa si
  faza)
• scopul este separarea benzilor de frecventa
• filtre particulare/speciale
• folosite atunci cand filtrele obisnuite (trece
  sus, jos, banda) nu ajuta

FIR IIR
Domeniul timp Mediere Un singur pol
Domeniul frecventa Windowed sinc Cebyshev
Special FIR special Proiectare iterativa
9
Filtru de mediere

• filtru care actioneaza bine in domeniul timp
• elimina zgomotele
• are comportament bun la un impuls treapta
• filtrul are efect negativ in domeniul
  frecventelor nu filtreaza o banda de frecvente
  bine definita
• filtre derivate (putin) mai bune in domeniul
  frecventelor Gaussian, Blackman sau mediere
  multipla
• Implementare prin convolutie
• unde M numarul de puncte (termeni) din filtru
• Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului
  considerat (j-M/2, JM/2)

10
Filtru de mediere

• Caracteristicile filtrului
• are un efect foarte bun de filtrare a zgomotului
  alb, cu pastrarea in limite acceptabile a
  raspunsului la treapta unitara
• paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai
  complexe
• factorul de reducere a zgomotului radacina
  patrata din numarul de puncte din filtru (ex 100
  puncte reduce zgomotul de 10 ori)
• cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte)
  panta raspunsului la un semnal de tip impuls
  devine mai oblica

Efectul unor filtre de mediere asupra unui impuls
cu zgomot alb a semnal initial b filtru cu 11
puncte c filtru cu 51 de puncte
11
Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere

• Functia de transfer exprimata cu transformata
  Fourier

Raspunsul in frecventa al filtrului pentru numar
diferit de puncte de mediere
12
Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere

• Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de
  mediere de 7 puncte

• forma filtrului la numar variabil de treceri
• b. raspunsul in frecventa
• c. raspunsul la semnal treapta
• d. efectul de atenuare in dB

13
Implementarea filtrului de mediere prin recurenta

• exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru
  de 7 puncte
• y 50 x 47 x 48 x 49 x 50 x
  51 x 52 x 53
• y 51 x 48 x 49 x 50 x 51 x
  52 x 53 x 54
• rezulta ca y 51 se poate calcula mai repede pe
  baza valorii anterior calculate y 50
• y 51 y 50 x 54 - x 47
• rezulta formula de recurenta in care fiecare nou
  esantion se calculeaza printr-o suma si o
  diferenta
• y i y i -1 x i p - x i - q
• unde p(M-1)/2 si qp1
• formula arata ca iesirea curenta este egala cu
  iesirea anterioara plus o diferenta (panta)
  calculata simetric fata de punctul considerat

14
Filtru Windowed-sinc

• pentru separarea benzilor de frecventa
• foarte stabile si cu performante ridicate dar
  necesita timp mai mare de calcul
• se cauta un filtru perfect
• amplificare 1 in banda de trecere
• amplificare 0 in banda interzisa
• cu trecere verticala la frecventa de taiere
• filtrul ideal este de forma
• sin(x)/x functia sinc

15
Filtru Windowed-sinc

• functia de transfer a filtrului sinc
• h(i) sin(2pfci)/ip
• unde fc este frecventa de taiere (cutoff
  frequency) si se exprima ca si o fractie din
  frecventa de esantionare fc? (0 - 0,5), conform
  principiului de esantionare fmaxlt1/2fesantionare

• functia tinde asimptotic la 0
• din considerente practice (de calcul in timp
  finit) se limiteaza filtrul printr-o fereastra
  (window)
• dreptunghiulara
• functie Hamming sau Blackman

16
Filtru Windowed-sinc

• formula completa a filtrului cu fereastra
  Hamming
• unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un
  factor de normalizare
• M se determina cu relatia aproximativa
• M4/(latimea benzii de tranzitie)
• Calitatea filtrului in functie
• de dimensiunea ferestrei

partea sinc Fereastra Hamming
17
Filtru Windowed-sinc

• filtrul nu are un comportament prea bun in
  domeniul timp, raspunsul la un impuls treapta
  genereaza ripluri la tranzitia intre stari
• este insa recomandat pentru lucrul in domeniul
  frecventelor, cand se stie ce frecvente trebuie
  eliminate
• pentru a creste factorul de atenuare a benzii de
  blocare filtrul se poate aplica de 2 sau mai
  multe ori,
• se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de
  exemplu de la -74dB (cat are un filtru cu
  fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un
  raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane
• pentru a obtine un filtru trece sus se scade din
  semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece
  jos avand aceeasi frecventa de taiere
• un filtru trece banda este o combinatie intre
  filtru trece sus si filtru trece jos
• un filtru de rejectie banda se obtine prin
  scaderea din semnalul initial a semnalului
  filtrat cu un filtru banda
• Dezavantajul filtrului Windowed-sinc necesita
  timp de calcul mare (numar mare de termeni de
  calculat)

18
Referinte

• http//www.dspguide.com/pdfbook.htm