Principios de Inteligencia Artificial

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Principios de Inteligencia Artificial
Aplicación de la lógica a la IA

• Universidad de Antonio de Nebrija
• Ramiro Lago
• Curso 2004-5

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Indice del capítulo

• Repaso a la lógica proposicional
• Método de resolución en lógica proposicional
• Repaso a la lógica de predicados
• Método de resolución en lógica de predicados

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Repaso de lógica proposicional

• Veremos la sintaxis y la semántica de un cálculo
  proposicional. Haremos especial hincapié en
  entender el sistema proposicional como un sistema
  de deducción natural.

4
Lógica

• Desde los tiempos de Aristóteles la lógica se
  utiliza como vehículo para formalizar los
  procesos de razonamiento.
• Hasta el siglo XIX hablar de lógica es hablar de
  un sistema proposicional.
• A partir de este siglo se utiliza el sistema de
  predicados como una generalización del
  proposicional.
• La lógica aplicada a la IA tenía una dificultad
  carecía de algorítmica para la inferencia en
  problemas complejos. Por ello, no fue utilizada
  ampliamente hasta la publicación del principio
  de resolución por Robinson en 1965.
• A partir de este principio Colmerauer (1973) y
  Kowalski (1974) crean el concepto de
  programación lógica y diseñan el lenguaje PROLOG
  (PROgramming in LOGic).

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Sistemas lógicos

• Los diferentes sistemas lógicos tienen en común
  en su presentación una etapa previa de
  simbolización de las formas del lenguaje usual
  que suele hacerse a dos niveles
• Cálculo proposicional Representación del
  lenguaje tomando como elemento básico las frases
  declarativas simples,( enunciados o
  proposiciones)
• Cálculo de predicados Se toma como base los
  componentes de algunos tipos de proposición
  términos y predicados.
• Dentro de cada uno de estos niveles de
  representación del lenguaje, se pueden considerar
  dos formas de presentar las estructuras
  deductivas correctas
• Sintáctica Definición axiomática de una serie de
  estructuras deductivas correctas y de reglas para
  obtener nuevas estructuras deductivas correctas a
  partir de aquellas. Aquí se encuadran los
  métodos de teoría de la demostración (Kleene
  1955) y deducción natural (Gentzen 1930).
• Semántica Definición de un conjunto de
  significados (normalmente Verdadero, falso ...)
  atribuibles a las proposiciones, y definición de
  las estructuras deductivas correctas a partir de
  la relación de significados de los elementos de
  la deducción. Se utilizan las teorías de modelos
  y las interpretativas.

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El lenguaje formal de un cálculo proposicional
componentes

• Siguiendo una orientación sintáctica vamos a
  tener en un sistema proposicional
• Proposiciones
• Conectivas
• Reglas de formación
• Axiomas
• Reglas de transformación (inferencia o deducción)
• Teorema de deducción

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El lenguaje formal de un cálculo proposicional
proposiciones y conectivas

• A. Proposiciones atómicas o enunciados
• Los representamos con letras de variable p, q,
  r, s, etc...
• Pueden ser traducidas como las frases del
  lenguaje natural Hoy hace mal tiempo, Carlos
  es informático.
• B. Conectivas
• Negación p permite construir una frase a partir
  de otra p del tipo no p, no es cierto que p, es
  falso que p
• Conjunción p v q representa a los elementos del
  lenguaje que permiten unir dos frases de la
  forma p y q, p pero q, p no obstante q, p sin
  embargo q
• Disyunción p Ú q uniones de la forma p ó q
• Condicional p q relación causa efecto, de la
  forma si p entonces q, q sólo si p, p suficiente
  para q, p luego q
• Bicondicional p q forma abreviada de (p q) Ù
  (q p) p si y sólo si q, p necesario y
  suficiente para q

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El lenguaje formal de un cálculo proposicional
reglas de formación

• C. Reglas de formación
• Es preciso definir unas reglas de escritura
  correcta de las formas lógicas, o lo que equivale
  a definir una sintaxis de lo que a partir de
  ahora denominaremos fórmulas. Esta sintaxis debe
  tener en cuenta no deben aparecer conectivas
  adyacentes y hay que definir la relación
  conectivas-proposiciones, cuando hay más de una
  conectiva.
• Las letras proposicionales p, q, r ... son
  fórmulas correctamente formadas, las
  denominaremos fórmulas atómicas o simples.
• Si A y B son fórmulas correctas, también son
  fórmulas correctas (y las denominaremos fórmulas
  compuestas)
• A, B, A Ù B, A Ú B, A B, A B
• Sólo son fórmulas correctas las que cumplen las
  condiciones 1 y 2.
• La preferencia de las conectivas viene dada por
  el orden que aparece en 2. Por ejemplo
• (A Ù B) ? (C Ú D) puede escribirse A Ù B ? C Ú
  D
• ya que la conjunción y la disyunción tienen
  preferencia sobre el condicional

9
El lenguaje formal de un cálculo proposicional
axiomas y reglas de inferencia

• D. Axiomas formas o esquemas de fórmulas que se
  asumen válidas por hipótesis.
• Por ejemplo, siguiendo a Kleene (1955) tenemos A
  Ù B ? A, A Ù B ? B, etc.
• Siguiendo a Gentzen (1930) tenemos un único
  axioma A ? A, donde A es una fórmula cualquiera
• E. Reglas de transformación (también denominadas
  de inferencia o deducción)

• Reglas de Modus Ponens y de interdefinición
• A ? B A ? B
• A _____
• ______ A Ú B
• B
• Regla de la introducción del condicional
• A
• B
• ____
• A ? B
• Regla de introducción de la conjunción
• A
• B
• ____
• A Ù B
• Reglas de eliminación de la conjunción
• A Ù B A Ù B
• ____ _____
• A B

• Reglas de la introducción de la disyunción
• A B
• ____ ____
• A Ú B A Ú B
• (es indiferente que el literal introducido esté
  en la BC)
• Reglas de eliminación de la disyunción
• A Ú B A Ú B
• B A
• ____ ____
• A B
• Reglas de reducción al absurdo y doble negación
• A ? B Ù B A
• __________ _____
• A A
• Reglas de De Morgan
• A Ù B A Ú B
• _______ ________
• A Ú B A Ù B

10
El lenguaje formal de un cálculo proposicional
teorema de deducción

• F. Teorema de deducción
• Una deducción o estructura deductiva se describe
  mediante dos sucesiones separadas por el signo ?
• p1, p2, ...,pn ? q1, q2, ...,qm
• La sucesión pi es el antecedente de la deducción
  y sus elementos se llaman premisas. La sucesión
  qi es el consecuente de la deducción y sus
  elementos se llaman conclusiones.
• Una estructura deductiva se define como correcta
  cuando la sucesión consecuente se obtiene de
  acuerdo con alguna de las reglas siguientes
• qi es una de las premisas
• qi es una fórmula válida en el sistema, es decir,
  qi es un axioma o un teorema.
• qi se deduce de alguna premisa o alguna
  conclusión previa aplicando la regla del modus
  ponens

11
El lenguaje formal de un cálculo proposicional
semántica

• La teoría semántica del cálculo proposicional
  utiliza la misma simbolización de las fórmulas,
  pero el sistema de estructuras deductivas no se
  hace mediante reglas de inferencia, si no
  mediante una simbolización del significado de las
  proposiciones (valoración en términos
  verdadero, falso) de ahí el nombre de semántico.
• Los elementos de este sistema son
• Un conjunto de significados atribuibles a las
  proposiciones V y F
• Definición semántica de las conectivas mediante
  tablas de verdad
• Definición semántica de deducción correcta
• Dada una estructura deductiva P1, P2, .....,Pn ?
  Q
• Se define como correcta cuando no existe ninguna
  interpretación que simultáneamente haga los P
  verdaderos y Q falso. Basta que exista una línea
  que cumpla lo anterior para que la deducción sea
  no válida.
• Por ejemplo, supongamos la falacia de la
  afirmación del consecuente
• (r ? s) Ù s ? r
• r s r?s (r?s)Ù s (r?s)Ù s ? r
• 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 1
• 0 1 1 1 0 Interpretación que invalida la
  deducción
• 0 0 1 0 1

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Algunas propiedades

• Distributiva
• A v (B C) ? (A v B) (A v C)
• A (B v C) ? (A B) v (A C)
• Asociativa
• A v (B v C) ? (A v B) v C, que también se puede
  escribir como
• A v B v C
• Puede hacerse la tabla de verdad y se observará
  que las tres son equivalentes fórmulas
  verdaderas o falsas en las mismas
  interpretaciones.
• A (B C) ? (A B) C, idem, se puede
  expresar ABC
• El condicional no cumple la propiedad asociativa.
  Pero si una muy útil propiedad transitiva.
• Absorción
• A (A v B) ? A
• A v (A B) ? A

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Ejemplos de deducción natural (I)

• Aplicaremos la distinción de IA entre base de
  reglas y base de hechos. Pero no olvidar que
  desde el punto de vista de la lógica tanto las
  reglas como los hechos son premisas.
• Las reglas tendrán la letra R R1, R2, ...
• Los hechos tendrán la letra H H1, H2, ...
• Los consecuentes de las premisas tendrán la letra
  Q Q1, Q2, ...
• Podemos deducir D de los siguientes hechos y
  reglas?
• R1 AB ? C
• R2 C ? D v B
• H1 A
• H2 B
• Q1 AB Introducción de la conjunción (H1, H2)
• Q2 C MP (Modus Ponens) (R1, Q1)
• Q3 D v B MP (R2, Q2)
• Q4 D Eliminación de la disyunción (H2, Q3)

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Ejemplos de deducción natural (II)

• Podemos deducir A de los siguientes hechos y
  reglas?
• R1 AB ? C v D
• R2 E ? C
• H1 D
• H2 E
• Q1 C MP (R2, H2)
• Q2 C D Introducción de la conjunción (H1, Q1)
• Q3 (C v D) De Morgan (Q2)
• Q3 AB MT (Modus Tollens) (R1, Q3)
• Q4 A Eliminación de la conjunción (Q3)
• Observar que el Modus Tollens se puede deducir de
  la regla de la interdefinición del condicional
• R1 A ? B
• H1 B
• Q1 A v B Interdefinición (R1)
• Q2 A Eliminación de la disyunción (H1, Q1)

15
Ejemplo de deducción natural y RAA

• La reducción al absurdo (RAA) es una de las
  reglas de inferencia que antes hemos señalado.
  Partimos de un objetivo, deducir A. Para ello
  pondremos como hipótesis su contrario (A). Si de
  esta hipótesis se sigue una contradicción,
  entonces queda demostrado A.
• En el siguiente ejemplo el objetivo es BC.
• R1 A ? C
• H1 (A v B) C
• HIP (BC) Negamos el objetivo
• Q1 (A C) v (B C) Distributiva (H1)
• Q2 A C Eliminación de disyunción (HIP, Q1)
• Q3 A Eliminación de la conjunción (Q2)
• Q4 C MP (R1, Q3)
• Q5 C Eliminación de la conjunción (Q2)
• Q6 C C Introducción de conjunción (Q4, Q5)
• Q7 B C Por RAA (HIP Q6)
• Probar con el siguiente ejemplo, donde el
  objetivo es deducir D
• R1 A v B
• R2 B v C
• R3 C v D
• H1 A

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El método de resolución en lógica proposicional

• El hito más importante para la aplicación de la
  lógica a la IA ha sido el método de resolución de
  Robinson. Un método completo para conseguir
  inferencias.

17
Introducción al método de resolución

• El método de resolución es un método de
  inferencia completa para toda la lógica
  proposicional. Al decir completo se quiere decir
  que este método en conjunción con un algoritmo de
  búsqueda completo puede confirmar o refutar
  cualquier formula incluida en nuestra base de
  conocimiento.
• El método consta de tres pasos
• Traducir la base de conocimiento a una forma
  normal conjuntiva.
• Unificación
• Resolución
• A continuación veremos cada paso

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Método de resolución (I)

• Traducir la base de conocimiento a una forma
  normal conjuntiva (FNC), que es aquella que
• No tiene condicionales. Hacer esto es sencillo
  gracias a la regla de la interdefinición
• (A ? B) ? A V B
• Toda negación afecta solamente a un literal
  (fórmula simple o atómica). Para lo cual usamos
  las reglas de De Morgan
• (A B) ? A V B
• Todas las fórmulas son traducibles a una
  conjunción de cláusulas, entendiendo por tales un
  literal o la disyunción de literales. Nos
  apoyamos en la propiedad distributiva
• (A B) v C ? (A v C) (B v C)
• Las siguientes expresiones son iguales y están
  en FNC
• R1 A v B
• R2 C v B (A v B) (C v B) (A v D)
• R3 A v D
• Pero no estaría en FNC
• (A v B) C
• Que debería ser traducida a
• A B C

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Método de resolución (II)

• Unificar buscar cláusulas con unificación de
  literales, es decir, aquellas donde aparezca el
  mismo literal. Por ejemplo
• (A v B) (A v C) (C v D)
• Donde la primera unifica con la segunda (aparece
  A) y la segunda con la tercera (aparece C).
• De entre todas las cláusulas con unificación
  escoger aquellas donde los literales sean
  complementarios. En nuestro ejemplo anterior sólo
  lo serían la primera y la segunda
• (A v B) (A v C)
• Resolución aplicar la regla de resolución, que
  nos dice que podemos deducir una cláusula con los
  literales originales menos los complementarios.
  La cláusula resultante se denomina resolvente. En
  nuestro ejemplo
• (B v C)
• Ejemplos
• (A v B v C) (A v B) ? C
• (A v B) B ? A
• (A v B) A (B v C) C, una contradicción,
  decimos que tiene resolvente vacío.
• En nuestro último ejemplo vemos que el método de
  resolución nos puede ayudar a detectar
  inconsistencias de nuestra base de conocimiento.

20
Tipos de resolventes

• Cláusulas
• P (P v Q)
• (P v Q) (P v Q)
• (P v Q) (P v Q)
• P P
• (P v Q) (Q v R) Equivalente a (P?Q) (Q?R)

Resolventes Q Q (Q v Q), (P v P) Nada P v
R Equivalente a P?Q
Comentario El modus ponens La fórmula QvQ es
equivalente a Q. Dos posibles resolventes, ambos
son tautologías. Se pueden eliminar. Contradicci
ón, resolvente vacio Propiedad transitiva
21
Ejemplo de resolución

• Ejemplo, conjunto de cláusulas 1 a 4, sus
  resolventes son (5-ss)
• R1 -Llueve v Clima_adverso
• R2 -Viento_fuerte v Clima_adverso
• R3 -Fumigar v Clima_adverso
• H1 Llueve
• Q1 Clima_adverso (de 1 y 4)
• Q2 -Fumigar (de 3 y 5)
• La resolución opera buscando el mismo literal, en
  un caso negado y en otro afirmado.
• Si se produce una contradicción, entonces decimos
  que el resolvente es vacío. Imaginemos que
  ocurriría si la cláusula 2 fuera
• Fumigar v Clima_adverso

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Resolución y RAA

• El método de resolución y la regla de la RAA se
  pueden aplicar a una base de conocimiento (BC).
  De tal forma que nos permite interrogar a la BC
  sobre la validez de literales o cláusulas.
• En el siguiente ejemplo nuestro interrogante es
  el literal E. Puesto que aplicamos la RAA
  pondremos su negación (E) como nuestra hipótesis
  de partida. Si llegamos a una contradicción
  (resolvente vacío), entonces queda validado E.
  Decimos que la conjunción (BC, E) es satisfacible
  y que la conjunción (BC,E) es insatisfacible
• R1 A v B
• R2 B v C
• R3 C v D
• R4 A v D V E
• HIP E
• Q1 A v C De R1, R2
• Q2 A v D De R3 y Q1
• Q3 E De R4 y Q2
• Q4 E E, contradicción De HIP y Q3
• Q5 E Por RAA de HIP Q4

23
Resolución y transitividad

• La resolución es parcialmente traducible en
  deducción natural a la transitividad. El ejemplo
  anterior se podría hacer sin resolución y sin
  RAA
• Usamos la regla de la interdefinición y
  convertimos las tres primeras disyunciones en
  condicionales
• Aplicamos la transitividad y llegamos a A ? D.
• Volvemos a aplicar la regla de la interdefinición
  y obtenemos A v D.
• Con ello acabamos concluyendo E por la regla de
  la eliminación de la disyunción.
• Por qué usamos el método? La razón de usar el
  método de resolución es la facilidad de
  computarlo y que tanto en lógica proposicional
  como de predicados es una herramienta completa
  para concluir la validez.
• R1 A v B
• R2 B v C
• R3 C v D
• R4 A v D V E
• Q1 A ? B Interdefinición, de R1
• Q2 B ? C Interdefinición, de R2
• Q3 C ? D Interdefinición, de R3
• Q4 A ? D Transitividad (Q1-Q3)
• Q5 A v D Interdefinición, de Q4
• Q6 E Eliminación de la disyunción (R4, Q5)

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Ejercicios

• Interrogar a la siguiente base de conocimiento
  por C, usando el método de resolución y la regla
  RAA
• R1 A v B
• R2 C v D
• R3 A v B v D
• Interrogar a la siguiente base de conocimiento
  por A, usando el método de resolución y la regla
  RAA
• R1 A v C
• R2 B v C v A
• R3 A v B

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Algoritmo de resolución

• Al algoritmo se pasa la BC y la proposición que
  se desea validar
• Algoritmo RESOLUCION_PROPOSICIONAL( base,
  objetivo)
• BC ? base ? objetivo
• resolvente 0
• Repetir
• C1, C2 ? SELECCIONAR_CLAUSULAS( BC )
• resolvente ? RESOLUCION(C1, C2 )
• BC ? BC ? resolvente
• Hasta resolvente 0
• Devolver cierto
• Para la función SELECCIONAR_CLAUSULAS conviene
  destacar algunas heurísticas que podemos incluir
• El conjunto principal lo forma normalmente la
  cláusula que pretendemos refutar y los
  resolventes que vamos generando.
• Dar preferencia a cláusulas unitarias, ya que
  generan resolventes más cortos.
• Eliminar las tautologías.
• Eliminar cláusulas más específicas que las que ya
  están en la BC, por ejemplo, p v q si ya tenemos
  p, o p(A) si ya tenemos p(x).
• Para más información, ver Nilsson (1987,
  p.148-ss) y Rusell y Norvig (2004, p. 346-7)

26
Repaso a la lógica de predicados

• Recordamos los conceptos esenciales de la lógica
  de predicados. Es importante que se estudien
  detenidamente las reglas de inferencia que
  afectan a los cuantores, ya que las usaremos en
  el método de resolución

27
Cálculo de predicados alfabeto y construcción de
fórmulas

• Es una generalización del cálculo planteado para
  el cálculo proposicional.
• Alfabeto
• Variables (x, y,...) y constantes (a, b, ....)
  que simbolizan términos
• Símbolos de predicado P, Q, R etc.
• Símbolos de conectivas y paréntesis (como en el
  cálculo de proposiciones), ?, ?, ?, ?, ?, ()
• Símbolos de cuantificación ?, ?
• Sintaxis de construcción de fórmulas
• Toda proposición es una fórmula
• Si P es una letra de predicado de n plazas, P(t1,
  t2, ....tn) es una fórmula
• Si A es una formula que contiene libre la
  variable xi , entonces son fórmulas correctas
  sintácticamente las otras variables seguirán
  siendo variables libres
• ? x1 A(x1, x2, .......xn)
• ? x1 A(x1, x2, .......xn)
• Si A y B son fórmulas, entonces también son
  fórmulas.
• ?A, ?B, A ? B, A ? B, A ? B

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Cálculo de predicados otras reglas sintácticas
(I)

• Para la colocación de paréntesis se considera a
  los cuantificadores como conectivas de nivel 1.
  Así, la fórmula
• ?x P(x) ? Q(x)
• El cuantificador solo afecta a P(x), en caso de
  afectar a los dos predicados deberían encerrarse
  entre paréntesis.
• Orden de los cuantificadores. Cuando hay varios
  cuantificadores en una fórmula, se considera que
  el proceso de cuantificación se realiza en el
  orden de mayor a menor proximidad del predicado.
  Es decir
• ?x ?y ?z P(x, y ,z, s) ? ?x ?y ?z (P(x, y,
  z, s))?
• El orden de los cuantificadores es importante. Y
  si no lo cree así, compare estas dos opciones
• ?x ?y Ama( x, y ) Todo el mundo ama a alguien
• ?y ?x Ama( x, y ) Alguien es amado por todos
• Para la simbolización de términos se supone como
  base de referencia un dominio genérico, no vacío.
  Los términos se representan por variables o
  constantes cuyos valores pertenecen al dominio
  anterior
• x, y , z, t, ..... letras de variables,
  representan cualquier elemento del dominio
• a, b, c, d,.... letras de constantes,
  representan un elemento concreto del dominio

29
Cálculo de predicados otras reglas sintácticas
(II)

• Para los predicados se utiliza la notación
  funcional P(t1, t2, ....tn) P representa el
  predicado, y los t los lugares de los términos (
  variables o constantes). Su significado es
  semejante a los argumentos de una subrutina o
  procedimiento. Por tanto P no debe considerarse
  una proposición en tanto no se ocupen sus plazas
  por variables de término. Esta ocupación se puede
  hacer de dos formas
• Por sustitución, en este caso se sustituye cada
  plaza un símbolo de término que puede ser
  constante o variable. Por ejemplo
• P(x1, x2, a3, ....,an)
• Las variables que aparecen así (no ligadas a un
  cuantor) se llaman variables libres.
• Por cuantificación, en este caso se asigna a
  cada plaza un conjunto de elementos del dominio,
  caben dos posibilidades
• Todo x si se asigna a una plaza todos los
  elementos del dominio se simboliza mediante la
  letra de variable situada en la plaza
  correspondiente cuantificada universalmente fuera
  de la fórmula con el símbolo ?
• ?x1 P(x1, x2, .......xn)
• Algún x si se asigna un subconjunto no
  especificado del dominio, se simboliza
  análogamente al caso anterior mediante el símbolo
  ?
• ?x1 P(x1, x2, .....xn)
• Las variables afectadas por los cuantificadores
  se denominan variables ligadas.

30
Cálculo de predicados ejemplos

• algunos republicanos son ricos ( expresada
  de otra manera existen algunas personas que
  son a la vez republicanos y ricos)
• Predicados
• R(x) ? x es rico
• P(x) ? x es republicano
• Fórmula
• ?x (R(x) ? P(x))
• todos los republicanos son ricos ( para toda
  persona si es republicano entonces es rico)
• ?x( P(x) ? R(x))
• En toda pareja existe algún conductor ( En toda
  pareja ,o bien x, o bien y, o ambos conducen)
• Predicados
• P(x, y) ? x e y son pareja
• C(x) ? x es conductor
• Fórmula
• ?x ?y P(x, y) ? C(x) ? C(y)
• todos los estudiantes de informática son amigos
  de los aficionados a la lógica (para cualquier x
  e y , si x es informático e y es aficionado a
  la lógica , entonces x e y son amigos)
• Predicados
• I(x) ? x estudia informática
• L(x) ? x es aficionado a la lógica
• A(x, y) ? x es amigo de y

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Reglas de cuantificadores

• Externalizar cuantores (la fórmula A no tiene
  ninguna variable ligada al cuantor)
• A ?xPx ? ?x (A Px)
• A v ?xPx ? ?x (A v Px)
• A ?xPx ? ?x (A Px)
• A v ?xPx ? ?x (A v Px)
• Implicación y existencial
• ?xPx ? ?xQx ? ?x(Px ? Qx)

• Ley de descenso cuantificacional
• ?xPx ? ?xPx
• Mutación de variable
• ?xPx ? ?yPy ?xPx ? ?yPy
• Eliminación del generalizador
• ?xPx ? Pa
• Introducción del particularizador
• Pa ? ?xPx
• Reglas de negación
• ?xPx ? ??x?Px ( ó ??xPx ? ?x?Px )
• ?xPx ? ??x?Px ( ó ??xPx ? ?x?Px )
• Distributivas
• ?x(Px ? Qx) ? ?xPx ? ?xQx
• ?xPx v ?xQx ? ?x( Px v Qx )
• ?x(Px v Qx) ? ?xPx v ?xQx
• En un dominio finito D a, b, c , ?x equivale
  a una conjunción de todos los elementos
• ?xPx ? Pa ? Pb? Pc
• análogamente ?xPx ? Pa v Pb v Pc

32
Lógica clásica de predicados y teoría de conjuntos

• Cantor (1845-1918) creó la teoría de conjuntos
• La lógica de predicados se puede interpretar como
  una teoría de conjuntos
• Existe un universo U al que pertenecen todos los
  individuos ? x, x ? U
• Cada predicado es un conjunto incluido en U P ?
  U
• Una afirmación del tipo Px tiene una
  interpretación en términos de verdad o falsedad.
  Ya que tenemos una función, fP(x), que puede
  determinar la verdad o falsedad de Px
• 1, si x ? P
• fP(x)
• 0, si x ? P
• Estamos, por tanto, ante una lógica de conjuntos
  estrictos un individuo pertenece o no a un
  conjunto. Ejemplo

U
P
Es verdad Pa fP(a) 1 Es verdad Pb fP(b)
1 Es falso Pb fP(b) 0
b
a
33
Conectivas y teoría de conjuntos

• Negación P
• P P
• 1 0
• 0 1
• Conjunción Px Qx (intersección, ?)
• P Q PQ
• 1 1 1 (A)
• 0 1 0
• 1 0 0
• 0 0 0
• Disyunción Px v Qx (unión, ?)
• P Q PvQ
• 1 1 1 (A)
• 0 1 1 (B)
• 1 0 1 (C)
• 0 0 0

U
P
U
P
Q
(A)
U
P
Q
(A)
(B)
(C)
34
Método de resolución en lógica de predicados

• La importancia del método de resolución es que
  nos ofrece una técnica de inferencia completa y
  aplicable a la IA. El objetivo final es
  comprender la resolución por refutación como un
  método para interrogar (consultar) a una base de
  conocimientos.

35
Método de resolución

• Robinson mostró en 1965 que existe un método
  completo de inferencia. Implica los siguientes
  pasos
• Convertir en forma normal de Skolem, con
  variables normalizadas y sin cuantores
  universales
• Eliminar condicionales
• Las negaciones sólo afectan a fórmulas atómicas
• Normalizar variables.
• Mover cuantores al principio de la fórmula.
  Conseguimos con ello la Forma Prenex.
• Eliminar cuantores existenciales.
• Eliminar cuantores universales.
• Pasar a forma normal conjuntiva
• Eliminar los símbolos de conjunción. Verticalizar
  la fórmula.
• Normalizar las variables por separado. Renombrar
  variables para que no se repitan en cláusulas
  distintas.
• Resolución
• Unificación por sustitución.
• Resolución de cláusulas.
• La forma normal de Skolem implica que se han
  realizado los pasos 1, 2, 4, 5 y 7. No implica
  que todas las variables estén ligadas. Algunas
  pueden estar libres, es decir, todavía no se ha
  producido cierre existencial. El cierre
  existencial implica que a todas las variables
  libres se las liga a un existencial (ver
  paso1.5).

36
1.1. Eliminación del condicional

• Partimos del ejemplo de los motores
• Para todo depósito de aceite (D) cuyo nivel (N)
  es bajo, tiene un motor conectado (C) cuyo
  rendimiento (R) es bajo.
• Cualquier motor con un rendimiento (R) bajo
  tiene un consumo alto (U).
• El consumo alto y el consumo bajo son mutuamente
  excluyentes
• Nota para simplificar no introducimos el
  predicado motor.
• 1 ?x D( x ) N( x,bajo ) ? ?y ( C( x,y )
  R( y,bajo) )
• 2 ?x ( R( x,bajo) ? U(x, alto) )
• 3 ?x ( U( x,bajo) ? U(x, alto) )
• 4 ?x ( U( x,alto) ? U(x, bajo) )
• Eliminación del condicional y bicondicional.
  Mediante las reglas del intercambio o
  interdefinición
• A ? B ? A ? B
• A ? B ? (A ? B)
• Ejemplo sencillo ?x( P(x) ? ?xQ(x)) ? ?x(
  P(x) ? ?xQ(x))
• Para nuestro ejemplo de las motores
• 1 ?x (D( x ) N( x,bajo ) ) v ?y ( C(
  x,y ) R( y,bajo) )
• 2 ?x ( R( x,bajo) v U(x, alto) )

37
1.2. Negaciones en fórmulas atómicas

• Eliminación del símbolo aplicado a fórmulas
  compuestas. Nos apoyaremos en las leyes de De
  Morgan y las reglas de la negación en fórmulas
  cuantificadas
• (A ? B) ? A ? B
• (A ? B) ? A ? B
• ?xPx ? ??x?Px ( ó ??xPx ? ?x?Px )
• ?xPx ? ??x?Px ( ó ??xPx ? ?x?Px )
• Por ejemplo, partiendo de ?x( P(x) ? ?xQ(x))
• Por aplicación de regla de negación ?x ( P(x)
  ? ?xQ(x))
• Ahora aplicamos De Morgan ?x ( P(x) ? ?xQ(x))
• Volvemos a aplicar la regla de la negación ?x (
  P(x) ? ? xQ(x))
• En nuestro ejemplo de los motores partíamos de
• ?x (D( x ) N( x,bajo ) ) v ?y ( C( x,y )
  R( y,bajo) )
• Quitamos la primera negación
• ?x D( x ) v N( x,bajo ) v ?y ( C( x,y )
  R( y,bajo) )

38
1.3. Normalizar variables

• Una variable ligada a un cuantor puede ser
  reemplazada por cualquier otra variable (que no
  aparezca en la fórmula). Debe ser uniformemente
  reemplazada, es decir, en todas sus ocurrencias
  ligadas a ese cuantor. Por tanto, cada cuantor
  pasará a tener su propia variable. Esta
  transformación no cambia el valor de verdad de la
  fórmula.
• Para hacer esto nos basamos en la regla de la
  mutación de la variable
• ?xPx ? ?yPy
• ?xPx ? ?yPy
• Ejemplo ?x P(x) ? ? xQ(x), se convierte en
• ?x P(x) ? ? yQ(y)
• En nuestro ejemplo de los motores partíamos de
• ?x D( x ) v N( x,bajo ) v ?y ( C( x,y )
  R( y,bajo) )
• Observar que no hay ninguna variable que
  normalizar

39
1.4. Cuantores al principio de la fórmula

• Una vez que los cuantores se hayan puesto al
  principio, se dice que la fórmula resultante esta
  en forma prenexa (o Prenex) y a la fórmula exenta
  de cuantores la denominamos matriz.
• Los cuantificadores en cabeza de la fórmula y
  afectando a toda ella. Nos apoyaremos en
• L1 Ax ? ?yPy ? ?y( Ax ? Py) Ax ? ?yPy ? ?y( Ax
  ? Py)
• L2 Ax ? ?yPy ? ? y( Ax ? Py) Ax ? ? yPy ? ? y(
  Ax ? Py)
• Reglas de mutación de la variable x ?xPx ?
  ?yPy, ?xPx ? ?yPy
• Las distributivas ?x(Px ? Qx) ? ?xPx ? ?xQx,
  ?x(Px ? Qx) ? ?xPx ? ?xQx
• Ejemplo
• ?x ( P(x) ? ? yQ(y))
• Por L2 ?x ? y ( P(x) ? Q(y))
• Teorema toda fórmula del cálculo de predicados
  es equivalente a otra en forma Prenex
• Otro ejemplo ?y Q(y) ? ?xP(x)
• Aplicamos interdefinición ?yQ(y) ? ?xP(x)
• Interiorizo negación ? y Q(y) ? ?xP(x)
• Exteriorizo cuantor ?y ?x (Q(y) ? P(x) )
• En nuestro ejemplo de los motores tenemos (1) y
  llegamos a (2)
• (1) ?x D( x ) v N( x,bajo ) v ?y ( C( x,y
  ) R( y,bajo) )
• (2) ?x ?y D( x ) v N( x,bajo ) v ( C( x,y
  ) R( y,bajo) )
• Probar con ?x P(x) ? ?y?z (P(y) ? Q(z) )

40
1.5. Eliminar cuantores existenciales

• Se realiza el cierre existencial de la fórmula,
  para ello, todas las variables libres se pasan a
  ligadas añadiendo cuantores existenciales
  correspondientes a las variables libres.
• Eliminar los cuantores existenciales. Para ello
• Para cada cuantor existencial que no está bajo el
  alcance de uno universal (no tiene a su izquierda
  ningún cuantificador universal) se elimina el
  existencial y se sustituye la variable por una
  constante que no esté en la base de conocimiento.
  Por ejemplo
• ?x ?y ?z ( P(x,y) v Q(x,z) )
• Daría lugar a ?y ?z ( P(a,y) v Q(a,z) )
• Si el cuantor existencial está bajo el alcance de
  uno universal (cuantor universal a la izquierda),
  por ejemplo ?x?y P(x,y) entonces se presume que y
  depende de x. Se elimina el cuantor existencial y
  se representa dicha dependencia por una función
  sustituyendo la variable por una función que no
  debe coincidir con ninguna otra anterior y cuyas
  variables sean las que están cuantificadas
  universalmente a su izquierda. Ejemplo ?xP(x,
  f(x)). Otro ejemplo
• ?y ?z ?x( P(x,y) v Q(x,y) )
• ?y ?z( P( f(y,z), y) v Q(f(y,z), y) )
• En nuestro ejemplo de los motores partimos de (1)
  y llegamos a (2)
• (1) ?x ?y D( x ) v N( x,bajo ) v ( C( x,y
  ) R( y,bajo) )
• (2) ?x D( x ) v N( x,bajo ) v ( C( x,f(x)
  ) R( f(x),bajo) )

41
1.6. Eliminar cuantores universales

• Todas las variables están ligadas y cuantificadas
  universalmente. Por tanto, el orden de los
  cuantores universales no importa.
• Puesto que podemos convenir que a partir de ahora
  todas las variables están cuantificadas
  universalmente, podemos eliminar su escritura
  explícita
• Nuestro ejemplo de los motores pasa a convertirse
  en
• D( x ) v N( x,bajo ) v ( C( x,f(x) ) R(
  f(x),bajo) )

42
1.7. Pasar a forma normal conjuntiva

• Se dice que la matriz de una fórmula está en
  forma normal conjuntiva cuando se expresa como
  una conjunción de formulas A B C ...
• Cada fórmula es una cláusula, es decir, una
  disyunción de cero o más literales
• Si ya está en forma Prenex, tan sólo hay que
  apoyarse en las reglas de la distributividad
• (A B) v C (A v C) (B v C).
• Nuestro ejemplo de los motores pasa de (1) a (2)
• (1) D( x ) v N( x,bajo ) v ( C( x,f(x) ) R(
  f(x),bajo) )
• (2) ( D( x ) v N( x,bajo ) v C( x,f(x) ) ) (
  D( x ) v N( x,bajo ) v R( f(x),bajo) )

43
2. Eliminar los símbolos de conjunción

• Podemos evitar la aparición explícita de los
  símbolos de conjunción. Pasándolos de la forma A
  B C a la forma
• A
• B
• C
• Cada línea será una cláusula. En nuestro ejemplo
  de los motores
• R1 D( x ) v N( x,bajo ) v C( x,f(x) )
• R2 D( x ) v N( x,bajo ) v R( f(x),bajo)

44
3. Normalizar las variables por separado

• Normalizar las variables por separado renombrar
  variables para que no se repitan en cláusulas
  distintas.
• Aunque una variable aparezca en cláusulas
  separadas, puede referirse a objetos distintos.
  Para que el procedimiento de resolución no nos
  lleve a la interpretación de que necesariamente
  se refieren al mismo objeto, es conveniente
  renombrar las variables.
• Vamos a representar el ejemplo de los motores
  completo
• R1 D( x ) v N( x,bajo ) v C( x,f(x) )
• R2 D( y ) v N( y,bajo ) v R( f(y),bajo)
• R3 R( z,bajo ) v U( z,alto )
• R4 U( w,bajo ) v U( w,alto )
• R5 U( r,alto ) v U( r,bajo )

45
4. Fundamento teórico de la resolución

• El método de resolución es un método de
  inferencia completo toda fórmula que se sigue de
  otra puede derivarse de ésta usando la refutación
  por resolución.
• El fundamento teórico del procedimiento de
  resolución es el teorema de Herbrand, que nos
  indica
• Para demostrar que un conjunto de cláusulas S es
  insatisfacible, basta con considerar las posibles
  interpretaciones (sustituciones).
• Si y sólo si es insatisfacible un subconjunto
  finito de instancias (interpretaciones o
  sustituciones de variables), entonces el conjunto
  de cláusulas S es insatisfacible. Las siguientes
  premisas son insatisfacibles
• 1. P(x)
• 2. P(y) v R(z,y)
• 3. R(t, u)
• ___________
• 4. R(x, y) Sustituyendo x por y, con 1 y 2
• 5. R(x, y) R(x, y) Sustituyendo t por x y u
  por y, con 3 y 4
• Contradicción, resolvente vacío

46
4.1. Unificación por sustitución la sustitución

• Los términos de una expresión pueden ser
  variables, constantes o expresiones funcionales
  una particularización por sustitución es una
  nueva expresión que se obtiene sustituyendo
  términos. Por ejemplo
• Sea la expresión P(x, f(y), b), cuatro posibles
  particularizaciones serían
• P(z, f(w),b) P(x, f(a), b) P(g(z), f(a),
  b) P(c, f(a), b). El ultimo literal se llama
  particularización básica, ya que todos los
  términos son constantes.
• Representamos cualquier sustitución por un
  conjunto de pares ordenados s v1/t1, v2/t2,
  vn/tn ?. El par vi/ti significa que el término ti
  sustituye a la variable vi en todas las
  ocurrencias de esa variable con la única
  condición que el término ti no contenga la
  variable vi. El término ti está en el conjunto
  (constante, variable o función)
• Las sustituciones usadas en el ejemplo anterior
  son s1 x/z, y/w, s2y/a, s3x/g(z),
  y/a s4x/c, y/a
• El principio de Resolución de Robinson
  proporciona un procedimiento para encontrar
  contradicciones intentando un número mínimo de
  sustituciones.

47
4.1. Unificación por sustitución la unificación

• Por medio del método de resolución tratamos de
  encontrar dos literales que sean idénticos. De
  tal forma que aparezca afirmado en una cláusula y
  negado en otra, es decir, literales unificados y
  complementarios. Por ejemplo, las siguientes
  cláusulas unifican con el predicado Q
• P(x) v Q(x,a1)
• Q(x,a1) v R(x)
• ____________
• P(x) v R(x)
• Pero con las siguientes cláusulas no hay
  resolución porque no pueden unificar por el
  predicado Q
• P(b) v Q(a1, a2)
• Q(x,a2) v R(x)
• Qué sustitución hace posible la unificación y
  por tanto la resolución?
• El algoritmo de unificación nos permite encontrar
  un conjunto de sustituciones que haga idénticos
  (unificados) a los literales complementarios.
  Versiones del algoritmo en Escolano et al. (2003,
  p. 64), Rusell y Norvig (2004, p. 316) y Nilsson
  (1987, p. 131-2)

48
4.2. Resolución

• Robinson mostró en 1965 que existe un método de
  inferencia
• Sean dos cláusulas, supongamos que alguno de los
  literales de la primera es unificable con otro
  negado de la segunda
• Se dice que se resuelven con el unificador s
  en una única cláusula llamada resolvente que es
  la disyunción de todos los literales de ambos
  padres con la excepción del par T1 y ?T2 que
  son los unificables mediante la sustitución s.
• Es necesario un conjunto de unificaciones para
  encontrar un resolvente

49
4.2. Resolución ejemplo (I)

• Sean
• R1 P(x) v Q(x,y)
• R2 P(a) v R(z)
• Como el predicado P es común en ambas cláusulas y
  está negado en una de ellas, es posible, siempre
  que pueda encontrarse un unificador, obtener un
  resolvente
• A continuación vemos que tenemos un unificador
  general entre los literales comunes P(x) y P(x)
  sx/a.
• Obteniendo P(a) v Q(a,y) a partir de C1
• Eliminando el literal común se obtiene el
  resolvente
• Q3 Q(a,y) v R(z) De R1 y R2, sx/a

50
4.2. Resolución ejemplo (II)

• Vamos a ver un ejemplo en el que las
  sustituciones hacen posible la unificación y, por
  tanto, la resolución
• Si partimos de
• R1 Afilado(x) v Cargado(y) v Preparado(x)
• H1 Preparado( Cortacescep )
• H2 Cargado( Depósito )
• Resolviendo R1 y H1, con sx/cortacesped se
  obtiene
• Q1 Afilado( Cortacesped ) v Cargado(y)
• Resolviendo H2 y Q1, con sy/Depósito se
  obtiene
• Q2 Afilado( Cortacesped )
• Resumen si se dan los hechos el cortacesped no
  está preparado y el depósito está cargado,
  además de R1, eso implica que el cortacesped no
  está afilado

51
4.2. Resolución ejemplo (III)

• Supongamos un conjunto de calderas, para
  simplificar eliminamos el predicado Caldera(_).
  Para cualquier caldera con presión (P) alta y que
  está conectada (C) a alguna otra, entonces hay
  transmisión (T) de líquido de una a otra. Si esto
  es así, entonces la segunda caldera se pone en
  estado de alerta (A).
• ?x ?y P( x,alta ) C( x,y ) ? T( x,y )
  ?x ?y ( T(x,y) ? A( y) )
• Eliminación del condicional
• ?x ?y ( P( x,alta ) C( x,y) ) v T( x,y )
  ?x ?y ( T(x,y) v A( y) )
• Quitamos la primera negación
• ?x ?y P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y )
  ?x ?y ( T(x,y) v A( y) )
• Normalizar variables
• ?x ?y P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y )
  ?r ?s ( T(r,s) v A( s) )
• Cuantores al principio de la fórmula
• ?x ?y ?r ?s P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y
  ) ( T(r,s) v A( s) )
• Eliminar cuantores y cada cláusula en una línea
• ( P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y ) ) (
  T(r,s) v A( s) )
• R1 P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y )
• R2 T(r,s) v A( s) )

52
4.2. Resolución ejemplo (IV)

• En nuestro ejemplo de las calderas vamos a
  inferir a partir de los hechos
• R1 P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y )
• R2 T(r,s) v A( s)
• H1 P(cald1, alta)
• H2 C(cald1, cald2)
• Q1 C( cald1, cald2) v T(cald1, cald2) De R1
  y H1, sx/cald1,y/cald2
• Q2 T(cald1, cald2) De Q1 y H2
• Q3 A(cald2) De R2 y Q2, sr/cald1,s/cald2
• La segunda caldera se pone en alerta.

53
4.2. Resolución ejemplo (V)

• Vamos a ver el ejemplo de los motores en el que
  las sustituciones hacen posible la unificación y,
  por tanto, la resolución. El objetivo es concluir
  que el consumo del motor es alto (o que no es
  bajo)
• R1 D( x ) v N( x,bajo ) v C( x,f(x) )
• R2 D( y ) v N( y,bajo ) v R( f(y),bajo)
• R3 R( z,bajo ) v U( z,alto )
• R4 U( w,bajo ) v U( w,alto )
• R5 U( r,alto ) v U( r,bajo )
• H1 D( dep1 )
• H2 N( dep1, bajo)
• H3 C( dep1, motor1 )
• Q1 D( dep1 ) v N( dep1, bajo ) De H1,H2 por
  introducción de disyunción.
• Q2 C( dep1, f(dep1) ) De R1,Q1.
• Q3 C( dep1, motor1 ) C(dep1, motor1 ) De Q2 y
  H3. S1 f(dep1)/motor1
• Q4 R( motor1, bajo) De R2,Q1. S2y/dep1 S1
• Q5 U( motor1, alto) De R3,Q3. S3z/f(dep1)
  S1
• Nota Q3 es una tautología. Qué utilidad tiene?
  Me permite realizar la sustitución
  f(def1)/motor1, con lo que puedo concluir
• U( motor1, bajo)
• Si no hubiesemos hecho Q2 y Q3 la conclusión
  sería
• U( f(dep1), bajo)

54
4.2. Resolución formas

• Cláusulas
• P (P v Q)
• (P v Q) (P v Q)
• (P v Q) (P v Q)
• P P
• (P v Q) (Q v R) Equivalente a (P?Q) (Q?R)

Resolventes Q Q (Q v Q), (P v P) Nada P v
R Equivalente a P?Q
Comentario El modus ponens La fórmula QvQ es
equivalente a Q. Dos posibles resolventes, ambos
son tautologías. Se pueden eliminar. Contradicci
ón, resolvente vacio Propiedad transitiva
55
4.2. Resolución y refutación

• Igual que en el cálculo de proposiciones se puede
  decir si
• P P1 ? P2 ?......? Pn
• es una sentencia en forma de conjunción de
  cláusulas, al igual que C, entonces P ? C será
  verdadera ( o C es una conclusión de P )
• Si C es una conclusión de P, podemos razonar por
  el método de reducción al absurdo si de la
  conjunción de P y ?C resulta una contradicción,
  entonces probamos P? C
• Aplicando entonces a P ? ?C la regla de
  resolución , la contradicción se manifestara por
  la obtención de la cláusula vacía
• Utilidades del método de resolución
• Interrogar sobre la validez de una fórmula en una
  base de conocimiento. Podemos actuar por
  refutación negamos la fórmula y si llegamos a
  una contradicción la respuesta es que la fórmula
  es válida.
• Probar la consistencia de la BC cuando introduces
  una nueva cláusula. Si no se deriva una
  contradicción (resolvente vacio), entonces
  sabemos que la BC y la nueva clásula son
  satisfacibles.

56
4.2. Resolución y refutación ejemplo (I)

• Ejemplo de los delfines
• Cualquiera que pueda leer es letrado ?x ( R(x) ?
  L(x) )
• Los delfines no son letrados ?x ( D(x) ? L(x) )
• Algún delfín es inteligente ?x ( D(x) I(x)
• Queremos probar que alguien que es inteligente no
  puede leer I(z)R(z)
• El conjunto de cláusulas con las variables
  normalizadas por separado
• R1 R(x) v L(x)
• R2 D(y) v L(y)
• R3 D(a) De C a es un delfín
• R4 I(a) De C ... además, a es inteligente
• HIP I(z) v R(z) (la negación de lo que
  queremos probar)
• Q1 R(a) De HIP y R4, sz/a
• Q2 L(a) De R1 y Q1, sx/a
• Q3 D(a) De R2 y Q2, sy/a
• Q4 D(a) D(a) Contradicción. Resolvente vacio
• Q5 I(z) R(z) Por RAA, de HIP-Q4

57
4.2. Resolución y refutación ejemplo (II)

• Sea nuestro ejemplo de las calderas, al que le
  hemos añadido la base de hechos y la negación de
  lo que queremos demostrar (HIP)
• R1 P( x,alta ) v C( x,y) v T( x,y )
• R2 T(r,s) v A( s)
• H1 P(cald1, alta)
• H2 C(cald1, cald2)
• HIP A(cald2) Negamos lo que vamos a
  demostrar
• Q1 T(r, cald2) De R2 e HIP, ss/cald2
• Q2 P(cald1, alta) v C(cald1, cald2) De H1,H2,
  por introducción de disyun.
• Q3 T(cald1, cald2) De R1 y Q2, sx/cald1,
  y/cald2
• Q4 T(cald1, cald2) T(cald1, cald2) De Q1 y
  Q3, sr/cald1,contradicción
• Q5 A(cald2) Por RAA, de HIP a Q4

58
4.2. Resolución y refutación comprobar la
consistencia de una BC

• Un ejemplo de la utilidad de este método para
  comprobar la consistencia de una BC. El método de
  resolución nos permite comprobar la
  insatisfacibilidad de un conjunto de cláusulas
  (no hay sustituciones para las que sean
  verdaderas todas las cláusulas), que van de la 1
  a la 6. El conjunto de resolventes empieza en 7.
• Q(x) v T(x)
• Q(y) v S(y)
• R(z)
• P(t) v Q(t) v R(f(t))
• P(g(u)) v Q(h(u))
• S(w) v T(w)
• Q(w) v S(w) (de 1 y 6 con ux/w)
• Q(y) (de 7 y 2 con uw/y)
• P(t) v R(f(t)) (de 8 y 4 con uy/t)
• P(t) (de 9 y 3 con uz/f(t))
• Q(h(u)) (de 10 y 5 con ut/g(u))
• Cláusula vacía (de 11 y 8 con uy/h(u))

59
4.2. Resolución y refutación ejercicios

• Tomar el ejemplo de los motores y llegar a la
  conclusión por RAA.
• Fumigación (para simplificar evitamos el
  predicado árbol)
• Todo árbol afectado (A) por una plaga (P) está
  en una situación (S) de peligro
• ?x ?y ( A( x,y ) P( y ) ? S( x,peligro ) )
• Para cualquier árbol que esté en una situación
  (S) de peligro y sus condiciones climáticas sean
  favorables a la fumigación (C), prepararemos el
  equipo de fumigación (E)
• ?x ( S( x,peligro ) C( x ) ? E( x ) )
• Para cualquier árbol, es válido que si no hay
  viento (V) y no se esperan lluvias (L)
  inminentes, sus condiciones climáticas son
  favorables para la fumigación (C) y viceversa
• ?x ( V( x ) L( x ) ?? C( x ) )
• Si hay árboles para los que preparamos el equipo
  de fumigación (E) y existe algún agente químico
  (Q), entonces aplicaremos (I) el agente al árbol
• ?x ?y ( E( x ) Q( y ) ? I( x,y ) )
• Si y sólo si la plaga (P) es de pulgón o de
  cochinilla, entonces el agente químico (Q) es el
  insecticida
• P( pulgón ) v P( cochinilla ) ? Q( insecticida )
• Si y sólo si la plaga (P) es de oidio o de roya,
  entonces el agente químico (Q) es antihongos
• P( oídio ) v P( roya ) ? Q( antihongos )
• Hechos P( pulgón ) P( oídio ) A( a, pulgón
  ) A( a, oídio ) V(a) L(a)
• Interrogante Prepararemos el equipo de
  fumigación (E) para a y le aplicaremos (I)
  insecticida y antihongos?
• E(a) I(a, insecticida) I(a, antihongos )