Um%20passeio%20pelos%20n

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Um passeio pelos números primos

• Prof. Enio Lima
• UECE-FECLI

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O que é mesmo um número primo????

• Um número inteiro p gt 1 é dito ser um número
  primo se seus únicos divisores positivos são o 1
  e próprio p.
• Exemplos (clássicos) 2,3,5,7,...,43,89 , etc...
• Um número inteiro p gt 1 que não é primo é dito
  composto.

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Possível origem

• O número 1 era chamado de unidade (monad, do
  grego).
• Demais números 2 (dyad),3,4,8, etc... arithmós,
  do grego.
• 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de protoi
  arithmói.
• Deuterói arithmói números que podem ser gerados
  pelo produto protoi arithmói 4,6,24,66,etc..

Pitágoras de Samos (580-497 a.C) Profeta,
místico, filósofo, astrônomo e matemático grego.
4
Livros influentes
Os Elementos de Euclides cerca. 300 AC.
A Aritmética de Nicômaco cerca de 100 dC.
5
Livros influentes
O De Institutione Arithmetica, do romano Boécio
cerca de 500 dC.
O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em torno de
1200 dC.
6
O Teorema Fundamental da Aritmética
Todo inteiro positivo composto se fatora de
maneira única como um produto de números primos.
Euclides de Alexandria (360 a.C. 295 a.C.)
7
Os números primos são finitos?
Há uma infinidade de números primos
Euclides de Alexandria (360 a.C. 295 a.C.)
8
A demonstração de Hermite
Prova para cada número natural ngt1 defina
x(n)n!1. Como x(n) é um número natural (para
cada n natural) , então existe um primo p fator
de x(n). Esse primo p não pode dividir um número
menor do que ou igual a n, pois neste caso,
dividiria n! e daí, dividiria x(n)-n!1 Conclusão
dado qualquer natural ngt1, sempre existe um
primo p gt n, ou seja Há uma infinidade de
números primos!
Charles Hermite (1822 1901) foi um matemático
francês.
9
Descobrindo primos O crivo de
Eratóstenes (276 a.C. 194 a.C.), foi um
matemático, bibliotecário e astrônomo grego
10
(No Transcript)
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Sobre a distribuição dos primos

• Como vimos no crivo existem 29 números primos
  entre 1 e 120

2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e 
10 000000   9 999 901          9 999
907            9 999 929          9 999 931   9
999 937          9 999 943            9 999
971          9 999 973   9 999 991
3) Mas já entre os cem números seguintes , 10
000000  até 10 000 100, existem apenas 2    10
000 019     e     10 000 079
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Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752 1833) foi um
matemático francês
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático
alemão
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Sobre a distribuição dos primos O Teorema dos
números primos
Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático francês.
Charles Poussin (1866-1962 ) matemático belga
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Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-),
independentemente , demonstraram o Teorema dos
Números Primos sem apelo à teoria analítica dos
números.
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Sobre a distribuição dos primos alguns valores
x pi(x) x/log x
1000 168 145
10000 1229 1086
100000 9592 8686
1000000 78498 72382
10000000 664579 620420
100000000 5761455 5428681
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Um pouco sobre os números de
Pierre Fermat (1601 1665) matemático e
cientista francês.
17
(No Transcript)
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1.238.926 .361.552.897 93.461.639
.715.357.977 .769.163.558 .199.606.896
.584.051.237 .541.638.188 .580.280.321
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Um pouco sobre os primos de

• Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um
  matemático, padre ,teólogo e filósofo francês.

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Números perfeitos e os primos de Mersenne

• Um número se diz perfeito se é igual à soma de
  seus divisores próprios.
• Exemplo 6 é perfeito, pois 1236.
• A última proposição do nono livro dos Elementos
  de Euclides prova que se 2n-1 é um número primo
  então 2n-1 . 2n-1 é um número perfeito, e estes
  números são pares. Euler provou que todo número
  perfeito par tem essa forma.
• Não se conhecem actualmente números perfeitos
  ímpares e conjectura-se, com fortes indícios
  experimentais, que não existe nenhum.

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Alguns Primos de Mersenne

• 219-1 524287
• 26¹-1 2305843009213693951
• 28?-1 618970019642690137449562111
• 2¹7-1 162259276829213363391578 010288127
• 25²¹-1 686479766013060971498190079908139321726943
  53001433054093944634591855431833976560521225596406
  61454554977296311391480858037121987999716643812
  574028291115057151

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• 267-1 531 137992816 767098689 588206552
  468627329 593117727031923199444138200 403559860
  852242739 162502265 229285668 889329486 246501015
  346579337 652707239 409519978 766587351 943831270
  835393219 031728127

23
10 maiores primos de Mersenne já encontrados até
2009
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Primo de Mersenne Dígitos
1) 243112609-1 12.978.189 47(2008)
2) 242643801-1 12.837.064 46(2009)
3) 237156667-1 11.185272 45(2008)
4) 232582657-1 9.808.358 44(2006)
5) 230402457-1 9.152.052 43(2005)
6) 225964951-1 7.816.230 42(2005)
7) 224036583-1 7.235.733 41(2004)
8) 220996011-1 6.320.430 40(2003)
9) 213466917-1 4.053.946 39(2001)
10) 26972593-1 2.098.960 38(2007)
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Os primos de
Sophie Germain (1776 1831) matemática francesa
Um primo p é dito ser um primo de Sophie
Germain quando p e 2p1 são primos.

• Exemplos
• 1) 3 é um deles pois 3 e 2 .317 são primos.
• 2) 5 é um deles pois 5 e 2 .5111 são primos

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05 maiores primos de Sophie Germain já
encontrados até 2009
Dígitos
1) 480473057252172403-1 51.910 47(2007)
2) 1372119412921952171960-1 51.780 46(2006)
3) 337591832123458-1 37.173 45(2009)
4) 70685552121301-1 36.523 44(2005)
5) 25400411852114729-1 34.547 43(2003)
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Alguns testes de primalidade
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Uma sequência curiosa!!!!

• 91 é composto
• 9901 é primo
• 999001 é composto
• 99990001 é primo
• 9999900001 é composto
• 999999000001 é primo
• 99999990000001 é composto
• 9999999900000001 é primo

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Primos Curiosos!
1) Um primo com 1240 dígitos

• 2000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000003000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0050000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000070 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000110000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0130000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
  0000000017

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• 2)
• 210²7-1 1999999999999999999999999999.
• 3) 1111222233334444555566667777888899967
  888899967.
• 4) 311311311311311311311311311311311
  311311311311311311311311311311
  311311311311311311311311311311 3113113113.

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• Alguns problemas em aberto sobre Primos

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Uma conexão entre números primos e o Círculo
Observem os primos 13,17,29,37,41 e 341
Todos eles são da forma 4k1, vejam
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Todos eles são soma de quadrados de dois
inteiros, vejam
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(No Transcript)
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Um lindo problema!
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Demonstração
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c.q.d
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Relembrem!!!
Conclusão
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(No Transcript)
40
é irracional!!
41
Vendo geometricamente
42
Conclusões
43

• OBRIGADO!!

Até a próxima oportunidade!