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Les Fractales
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Les Fractales
La nature nous donne à voir des formes que nous
disons simples le disque de la lune, la ligne
dhorizon, la surface lisse dun lac, la
trajectoire apparente des planètes, etc. . Le
géomètre sait décrire ces objets simples, les
analyser, les coder pour en transmettre la
description, construire des modèles. Mais
comment peut-on extraire les caractéristiques
significatives des vagues, des montagnes, dun
arbre nu en hiver et de façon générale, de toutes
les formes irrégulières aux lignes toujours
brisées. Que dire des phénomènes fugitifs,
instables et apparemment désordonnés que nous
côtoyons tourbillons, éclats, fluctuations. Ces
t ce que nous allons essayer de décrire
aujourdhui.
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Les Fractales

• 1. Quest-ce quune fractale?
• 2. Qui a découvert les fractales?
• 3. Les applications des fractales
• 4. Dimensions fractales
• 5. Lensemble de Cantor
• 6. Exercices

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1. Quest ce quune fractale?

• Quelques images pour reconnaître une fractale
• Définition dune fractale
• Construction de fractale

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1. Quest ce quune fractale?

• Nous allons faire défiler une liste dimages.
  Vous allez devoir trouver des points communs à
  toutes ces images.

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1. Quest ce quune fractale?

• Voici quelques points communs
• Complexité du dessin
• Détails
• Symétries
• Répétition dune forme géométrique élémentaire
• Vision à plusieurs échelles (zoom)

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1. Quest ce quune fractale?
Définition On peut appeler fractale un objet ou
une structure qui représente la même irrégularité
à toutes les échelles et dans toutes ses parties
on appelle cette propriété auto-similarité.
Définition (Dictionnaire Hachette) n.f. Math.
Ensemble géométrique ou objet naturel dont les
parties ont la même structure (irrégulière et
fragmentée) que le tout, mais à des échelles
différentes. (du latin fractus brisé, mis en
pièces)
Bien entendu, il ne s agit ici que d une
tentative de définition. Elle nest pas
complètement satisfaisante dans le sens où il est
possible de construire des objets pour lesquels
cette définition ne suffit pas pour décider si
lobjet est fractal ou non. Nous verrons plus
loin une autre caractérisation faisant intervenir
les notions de dimensions.
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1. Quest ce quune fractale?
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1. Quest ce quune fractale?
Nous allons maintenant construire une fractale.
Pour cela, on commence par choisir une forme
géométrique initiale, qui nous servira de point
de départ. Puis nous allons choisir un
générateur, qui représentera la forme que nous
souhaitons reproduire à toutes les échelles. La
construction de la fractale se fera à laide dun
algorithme itératif.
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1. Quest ce quune fractale?
Fractale de Von Koch
Forme géométrique initiale
Générateur
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1. Quest ce quune fractale?
Fractale de Von Koch
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1. Quest ce quune fractale?
Fractale de Von Koch
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1. Quest ce quune fractale?
Fractale de Von Koch
Les zones colorées montrent le dessin qui se
reproduit à plusieurs échelles
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1. Quest ce quune fractale?
Le tamis de Sierpinski
Forme géométrique initiale et générateur
Le dessin se reproduit à toutes les échelles
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1. Quest ce quune fractale?
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1. Quest ce quune fractale?
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2. Qui a découvert les fractales?
Le concept de fractale a été dégagé par le
mathématicien français Benoît Mandelbrot
   Les nuages ne sont pas des sphères, les
montagnes ne sont pas des cônes, les lignes de
côte ne sont pas des cercles, et une écorce nest
pas lisse, de même que les éclairs ne sont pas
des lignes droites. 
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2. Qui a découvert les fractales?
Benoît Mandelbrot, scientifique chez IBM et
professeur de mathématiques à luniversité de
Yale, a fait ses plus grandes découvertes en
défiant lordre mathématique académique bien
établi. Ainsi, il a mis en évidence que dans la
nature il y avait des vides  ou intervalles
entre les dimensions -- les dimensions fractales
--
La géométrie qui en découle -- appelée géométrie
fractale -- a été créée presque uniquement par
Mandelbrot. Certains affirment quelle est
maintenant reconnue comme la vraie Géométrie de
la Nature.
Mandelbrot, est né dans l atmosphère des
mathématiques académiques. Son oncle Szolem
Mandelbrot, a fait partie de lélite parisienne
des mathématiciens Boubakistes.
Benoît Mandelbrot est né à Varsovie en 1924.
Anticipant les événements politiques de lépoque,
ses parents partirent pour Paris en 1936.
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2. Qui a découvert les fractales?
Dans cette période troublée le jeune Benoît
Mandelbrot ne reçut pas une éducation très
régulière et suivie. On ne lui a jamais enseigné
lalphabet et les tables de multiplication. Même
aujourdhui, il prétend ne toujours pas connaître
lalphabet (dans lordre) et avoir des problèmes
pour utiliser un annuaire téléphonique! Malgré
cela, il rejoint lélite dans les universités
parisiennes et suit les traces de son oncle.
Bien que doué pour les maths, il lest
différemment de son oncle en fait, il lest
différemment de la plupart des autres
mathématiciens. Il a un esprit qui lui donne une
vision exclusivement géométrique des problèmes,
quil résout avec cette intuition géométrique
plutôt quavec les techniques usuelles de la
logique mathématique.
Benoît est brillant, mais dissimule sa façon de
voir les mathématiques jusquà lobtention de sa
thèse en mathématiques à partir de ce moment là,
il commence à suivre son propre chemin.
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2. Qui a découvert les fractales?
Son voyage  lemmène jusquaux Etats-Unis,
loin du milieu académique, ou il finit par
aboutir au centre de recherche dIBM de Yorktown
Heights, New York. Il se passionne alors pour
toutes sortes de mathématiques (non académiques),
avec un choix de disciplines très éclectiques. Il
devient par exemple expert dans certaines
branches de la linguistique, la théorie des jeux,
laéronautique, la physiologie, lingénierie
économique, la géographie, lastronomie, et bien
entendu la physique. Il était aussi avide
dhistoire des Sciences. Il faut noter quil fut
lun des premiers mathématiciens a avoir accès à
des ordinateurs calculant très rapidement. Il dit
de lui-même
Every so often I was seized by the sudden urge to
drop a field right in the middle of writing a
paper, and to grab a new research interest in a
field about which I knew nothing. I followed my
instincts, but could not account for them until
much, much later.
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2. Qui a découvert les fractales?
Contrairement au milieu académique ou lon se
spécialise plutôt dans un domaine très pointu, il
préfère élargir le spectre de ses connaissances,
ce qui le rend souvent impopulaire et indésirable
dans les milieux de la recherche quil explore.
Il laisse cependant derrière lui, partout ou il
passe, quelques idées nouvelles et intéressantes.
Cest par exemple lui qui découvre en économie
que les fluctuations apparemment aléatoires des
marchés financier dissimulent en fait un certain
ordre dans le temps.
Il met en évidence un schéma dans lequel les
variations journalières imprévisibles du prix du
coton se répètent dans le temps à des échelles
différentes. Il trouve ainsi une symétrie entre
les fluctuations à long terme et celles à court
terme. Même Mandelbrot, à ce moment là na pas
encore réalisé quil avait découvert une fractale
dans des données économiques en démontrant le
caractère récursif et dauto-similarité dans
léchelle de temps.
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Lun des exemples les plus fameux développé par
Mandelbrot dans larticle  How long is the coast
of Britain? Statistical self similarity and
fractal dimensions Science 155, p.636-638,
1967 est celui de la côte de Grande Bretagne.
Mandelbrot pose la question  Quelle est la
longueur de la côte du Royaume Uni?.
Il est difficile de répondre! En effet, si lon
choisit une carte à grande échelle, on obtiendra
une première réponse, mais si on choisit une
carte avec une petite échelle, on obtiendra un
chiffre plus grand. Ou encore, imaginons un géant
qui marche le long de cette côte celui-ci
donnera une mesure encore plus grande. De même
que si la côte est parcourue par un homme ou une
fourmi.
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2. Qui a découvert les fractales?
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2. Qui a découvert les fractales?
Mandelbrot a ainsi développé la notion de
fractale, ainsi quune des notions qui va de
paire avec celle de fractale qui est la notion de
dimension, et que nous définirons dans un autre
paragraphe.
Ci-contre, une des plus célèbres figures
fractales due à Mandelbrot. Zn1 Zn2 c
Z00 Les zones noires sont les affixes c
telles que la suite complexe (Zn ) est bornée.
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3. Les applications des fractales
Les applications des fractales sont nombreuses et
plus ou moins avérées. En voici quelques-unes des
plus (re)connues
- Systèmes dynamiques
- Physique (mécanique quantique, phénomènes
dagrégation)
- Médecine/Biologie
- Traitement, reconnaissance et compression
dimages
- Economie (Fluctuations du marché)
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Systèmes dynamiques chaotiques
Grandes variations des trajectoires pour des
variations infimes des conditions initiales
Attracteurs étranges
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Physique - Mécanique quantique
En mécanique quantique, la découverte de spectres
d'énergies ayant une structure fractale a
révolutionné la vision des propriétés de
transport électroniques dans les solides
(cristaux, quasi-cristaux, semi-conducteurs).
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Physique - Agrégation
Agrégation de matières - Matière stellaire
- Ions métalliques dans un fluide
contenant une électrode - Développements de
bactéries dans des milieux avec contraintes
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Médecine
Propriétés des tissus et organes présentant une
structure ou des propriétés fractales.
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Biologie
Codage du génome. Séquences de lADN
Pour C T1(x,y) (x/2,y/2) Pour A T2(x,y)
(x/2,y/2) (1/2,0) Pour T T3(x,y) (x/2,y/2)
(0,1/2) Pour G T4(x,y) (x/2,y/2) (1/2,1/2)
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Traitement dimages
Certaines images (naturelles) possèdent des
caractéristiques d auto-similarité sur plusieurs
échelles certains détails reproduisent des
éléments plus gros de cette même image.
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Fractale
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Economie
Cours des Actions IBM 1959-1996
Variations de ce même cours (différences entre
les valeurs successives)
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4. Dimensions fractales
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