Matematica e statistica Versione didascalica: parte 3

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Matematica e statisticaVersione didascalica
parte 3

• Sito web del corso
• http//www.labmat.it
• Docente Prof. Sergio Invernizzi, Università di
  Trieste
• e-mail inverniz_at_units.it

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2.8. Il problema dellarea
Supponiamo che una funzione sia positiva (o zero)
f(x) ? 0 per tutti i valori x di un intervallo
a, b, con a lt b. Lintegrale della funzione f
da a a b è larea della parte di piano compresa
fra lasse X ed il grafico di f, entro le ascisse
a e b
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Simbologia
area ( )
Esempi
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2.9. Calcolo numerico degli integrali

• I metodi per il calcolo di integrali che qui
  trattiamo sono
• Metodi di interpolazione il metodo dei
  rettangoli, ed il metodo dei trapezi, basati
  sulla interpolazione di Lagrange
• Metodi probabilistici il metodo di Monte-Carlo,
  un metodo molto generale basato sulla
  simulazione di variabili aleatorie
• Metodi esatti (o metodi formali), basati sul
  Teorema
• Fondamentale del Calcolo.

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2.9.1. Metodi di interpolazione
Si supponga di conoscere una tabulazione della
funzione f(x) ? 0 a passo costante h
sullintervallo a, b, con a lt b.
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2.9.2/3. Metodi dei rettangoli e dei trapezi
La funzione può essere interpolata con la
interpolazione costante o con la interpolazione
lineare
può essere approssimato con le aree verdi

• Sommando aree di rettangoli (metodo dei
  rettangoli), oppure
• Sommando aree di trapezi (metodo dei trapezi)

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Regole
Qui salta lultimo punto
Regola dei rettangoli
qua no
Regola dei trapezi
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La regola dei rettangoli qui definita può essere
detta dei rettangoli destri, in quanto tali
rettangoli stanno a destra della ascissa in cui
sono calcolate le loro altezze.
Chi studia può ricavare le regola dei rettangoli
sinistri, che stanno a sinistra della ascissa in
cui sono calcolate le loro altezze viene
conseguentemente saltato il primo punto
In questo corso utilizziamo di default i
rettangoli destri.
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Cenno storico
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Etimologia di trapezio
trapezio banco, tavolo t?ape?a banca
(??ape?a t?s ???ad?s, Banco di Napoli,
Banco Monte dei Paschi di
Siena)
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Regola dei rettangoli su R
gt f lt- function(x) 2(1exp((-1/5)(x-4)2)) gt a
lt- 1 gt b lt- 5 gt n lt- 100 gt h lt- (b-a)/n gt
xtab lt- a hc(0n-1) gt h(sum(f(xtab))) -gt
integrale gt integrale
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Regola dei trapezi su R
gt f lt- function(x) 2(1exp((-1/5)(x-4)2)) gt a
lt- 1 gt b lt- 5 gt n lt- 100 gt h lt- (b-a)/n gt
xtab lt- a hc(0n) gt h(sum(f(xtab))-(f(a)f(b)
)/2) -gt integrale gt integrale
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Regola dei rettangoli su TI-82
ClrHome Input "A ",A Input "B ",B Input "N
",N Input "F(X) ",Y1 (B-A)/ N -gt H Y1(A)-gt
S For(K,2,N,1) SY1(A(K-1)H) -gt S End SH -gt
S Disp "Integrale ",S
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Regola dei trapezi su TI-82
ClrHome Input "A ",A Input "B ",B Input "N
",N Input "F(X) ",Y1 (B-A)/N -gt H (Y1(A)
Y1(B))/2 -gt S For(K,2,N,1) SY1(A(K-1)H) -gt
S End SH -gt S Disp "Integrale ",S
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Stima dellerrore

• Metodo dei rettangoli

• Metodo dei trapezi

• Ad esempio per il calcolo di
  si può assumere M1 M2 1
• per cui con sole n 250 suddivisioni si ha
• - Rn ? 0.0197392
  (NB si divide per n )
• - Tn ? 0.00024805
  (NB si divide per n² )

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Esercizio

• Calcolare
  con il metodo dei trapezi
• con n 250 e fornire una stima dellerrore
  esaminando graficamente
• la derivata seconda con R (o con la funzione
  TRACE della TI-82)
• Suggerimento

I matematici hanno dimostrato che per questo
integrale (di una funzione importantissima la
gaussiana) non esistono metodi esatti.
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(No Transcript)
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• gt f lt- function(x)
• 2(1exp(-(1/5)(x-4)2))
• gt a lt- 1
• gt b lt- 5
• gt n lt- 250
• gt h lt-(b-a)/ngt xlt-ac(0n)h
• gt y lt-f(x)
• gt plot(x,y)
• gt (sum(y)-(y1yn1)/2)h
• 1 13.60861
• gt f2 lt- function(x)
• (4/25)(27-16x2x2)exp(-(1/5)(x-4)2)
• gt curve(abs(f2(x)),1,5)
• gt M2 lt- 0.8
• gt (1/8)M2(b-a)3/n2
• 1 0.0001024
• gt

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2.9.4. Metodo Monte-Carlo
Calcolare larea della parte di piano definita
dalla disuguaglianza
Fissiamo un rettangolo a, b c, d che
contenga tutto il pesce e spariamo n 50000
(cinquantamila) punti a caso nel rettangolo.
Contiamo il numero k dei punti che colpiscono il
pesce (bordo del pesce compreso). Allora sarà
area cercata (k / n ) area totale del
rettangolo
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Esempio
a, b, c, d -0.15, 1.37, -0.35,
0.35 area totale (b - a) (d - c) 1.064 n
50000 k 34280 Integrale (o area) 0.729478
Formalmente sarebbe (ma gli estremi sono
comunque calcolati numericamente!)
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Metodo Monte-Carlo su R
ycaso (insuccesso)
ycaso (successo)
xcaso xcaso
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Metodo Monte-Carlo su R
Il comando which
gt x lt- c(1,3,4,1,3,5,6,3) gt z lt- which(x lt 4) gt
z 1 1 2 4 5 8
x11
x83
x53
x23
x41
z ha 5 elementi, che non sono i cinque elementi
di x minori di 4, bensì i cinque indici di tali
elementi, ordinati come lo sono in x. La lista
c(1,3,1,3,3)degli elementi di x minori di 4 è
xz.
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Metodo Monte-Carlo su R
gt f lt- function(x) formula di f(x) gt a lt- valore
di a gt b lt- valore di bgt c lt- valore di c gt d
lt- valore di d gt prove lt- numero delle prove gt
xcaso lt- runif(prove,mina,maxb) gt ycaso lt-
runif(prove,minc,maxd) gt z lt- which(ycaso lt
f(xcaso)) gt successi lt- length(z) gt p lt-
successi/prove gt integrale lt- p(b-a)(d-c) gt
plot(xcasoz,ycasoz, col"red") gt plot(f,0,b,
addTRUE, col"blue")
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Metodo Monte-Carlo su TI-82, I
(in blu i comandi essenziali)
ClrHome ClrDraw PlotsOff FnOff Disp
"----------------" Disp "Integrazione" Disp "di
f(x) ? 0 " Disp "Met. Monte Carlo" Input "A
",A Input "B ",B Input "N ",N Input "f(x) ", Y1
Esempio
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Metodo Monte-Carlo su TI-82, II
0 -gt C (B-A)/100 -gt W max(seq(Y1(X),X,A,B,W) -gt
D A -gt Xmin B -gt Xmax C -gt Ymin D -gt
Ymax AxesOff DrawF Y1(X) 0 -gt S Text(55,1,"Success
i ") Text(47,1,"Prove ")
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Metodo Monte-Carlo su TI-82, III
For(K,1,N) Text(47,28,K) Arand(B-A) -gt X
Crand(D-C) -gt Y If Y ? Y1(X) Then
Pt-On(X,Y) S1 -gt S Text(55,40,S)
End End Text(5,60," ENTER ") Pause
ClrHome (B-A)(D-C)S/N -gt I Disp "Integrale ",I