Magnetooszillationen

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• Magnetooszillationen
• Shubnikov-de-Haas Oszillation
• Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008

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Gliederung

• 1. Motivation
• 2. Einführung
• Voraussetzungen
• Oszillation der Gesamtenergie
• Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH)
• De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA)
• Ausblick QHE
• Zusammenfassung

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1. Motivation
SdH-Oszillation
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2. Einführung

• Magnetooszillationen
• z.B. SdH Widerstand rxx oszilliert mit
• dHvA magnetisches Moment m oszilliert mit
• QHE keine Oszillationen, sondern Peaks im
  Widerstand rxx

Wichtig Oszillation nicht mit B, sondern mit
!!!
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• Grund Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert
  mit
• ? jede aus der Energie ableitbare Größe
  oszilliert ebenfalls !!
• Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus
  diesen Effekten

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3. Voraussetzungen
e-

• Elektron muss mindestens eine
  Kreisbahn vollenden
  (klassisch)
• ? wct gtgt 1
• dazu benötigt man - hohes B-Feld
• - lange Stoßzeit t
• - tiefe Temperaturen T
• QM scharfe Besetzung der Energieniveaus ?

B
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4. Oszillation der Gesamtenergie 4.1
Bahnquantisierung im Ortsraum

• QM
• e- durch Wellenfunktion beschrieben
• ? Enden der Wellenfunktion
• müssen aufeinander passen
• ? Semiklassísche Behandlung
• Fläche und Radius der Bahn müssen
  quantisiert werden !!

• Klassisch
• e- im B-Feld auf Kreisbahn

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• Hamiltonoperator
• ? Lösen der stationären Schrödingergleichung ?
  Energieeigenwerte En
• Weg motiviert

• von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer
  Oszillator in x-y Ebene
• Energieeigenwerte bekannt
• Quantisierte Energieeigenwerte

.
e-
.
Beobachter
Beobachter
Landau-Niveaus
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B 0
B ? 0
Umordnung der Zustände Zustände bleiben aber
erhalten !!
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4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager Lifschitz

• Wie sehen die Elektronenbahnen aus?
• kanon. Impuls
• Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
• Kinetischer Term integriert

Phasenkorrektur
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• Feldimpuls-Term integriert
• Insgesamt erhalten wir
• Quantisierung des magnetischen Flusses

Flußquantum
Resultat Fluß in Einheiten von f0 4,1410-15
Tm2 quantisiert !!
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• Zwischenergebnis

Im Ortsraum quantisierte Bahnen
Bahn hat diskrete Fläche
Quantisierung des Flusses
Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?
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4.3 Bahnquantisierung im k-Raum

• Experimenteller Befund - Bahn in Ortsraum B
• - Bahn in k-Raum
• Transformationsvorschrift

Integration
Vorschrift für die Transformation der Länge eines
Vektors vom Ortsraum in den k-Raum
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• Im k-Raum überstrichene Fläche
• Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2
  benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im
  k-Raum umschließen?

Fläche im k-Raum
Fläche im Ortsraum

• Gleiche Zunahmen von D
• Identische Bahnen im k-Raum

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• Merke
• ?Im Ortsraum quantisierte Bahnen B
• ?Im k-Raum quantisierte Bahnen
• ?Physikalische Eigenschaften oszillieren mit
• Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des
  Systems aus?

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4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum

• B 0
• diskrete Punkte
• Energieeigenwerte
• 1 Zustand hat Fläche
• ?Dichte der Punkte

durch 2 Quantenzahlen bestimmt!
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• B ? 0 (hohes B-Feld)
• diskrete Landau-Zylinder (3-dim)
• diskrete Landau-Kreise (2-dim)
• Energieeigenwerte

nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!
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• Umverteilung

? Zustände bleiben erhalten
zu festem n kx2 ky2 const
? Zahl der Zustände pro Quantenzahl n Entartung
mit
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4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ)
B 0
B B1 ? 0
Zustände bis EF besetzt
Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen
Energie erhöht um ins Niveau zu kommen

EF(B 0)
EF(B B1)
?Gesamtenergie bleibt gleich !!
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• B-Feld steigt an ? Abstand der Landau-Niveaus
  wird größer

B 0
B ? 0 B2 gt B1
Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!!
lt
EF( B 0)
EF( B B2)
?Gesamtenergie erhöht !!!
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B 0
B ? 0 B3 gt B2
Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt

EF( B 0)
EF( B B3)
Gesamtenergie bleibt gleich !!!
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• ? Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !!

Teilweise besetzte Niveaus
vollständig besetzte Niveaus
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4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ)

• Feld B0 s Landau-Niveaus besetzt
• Niveau s1 teilweise besetzt
• ? EF liegt in Niveau s1
• B gt B0 Entartung nimmt in den Niveaus s zu ?
  aus Niveau s1 wandern Zustände in niedrigere
  Niveaus s ? wenn Niveau s1 leer ? EF
  springt ins Niveau s !
• ? bei bestimmten kritischen Feldern springt EF
  ins niedrigere Niveau !

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• - kritische Felder, an denen EF springt
• - Gesamtenergie für Feld B

Gesamtzahl der e-
Entartung
Zahl der besetzten Niveaus
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Nur voll besetzte Niveaus ? Minimum der
Gesamtenergie
teilweise besetzte LN
Voll besetzte LN

• Gesamtenergie oszilliert mit
• damit oszilliert jede aus der Energie
  ableitbare thermodyn.
• Größe auch mit

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5. Shubnikov-de-Haas Effekt

• Gesamtenergie oszilliert mit
• Zustandsdichte oszilliert ebenfalls
• elektrische Leitfähigkeit hängt ab von
  Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand r
  hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie
• Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in
  Landau-Niveau liegt
• Widerstand r oszilliert mit

mit
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• Starke Näherung nur (s 1)-Term

Oszillation des Widerstandes rxx
1/B
Dämpfungsterm
Die Oszillationen sind demnach periodisch mit
1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes
B-Feld exponentiell gedämpft !!!
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(No Transcript)
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• Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen
• aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes
  mit ?(1/B) kann man die Extremalfläche S
  (Fermifläche) bestimmen
• Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !

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6. De-Haas-van-Alphen Effekt

• Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
• magnetisches Moment m oszilliert ebenfalls mit
  1/B, da

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7. Ausblick QHE
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8. Zusammenfassung

• semiklassische Betrachtung
• Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim.
  harmonischer Oszillator)
• - Landau-Niveaus
• Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e)
• entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum,
• d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder
• mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer
• Gesamtenergie oszilliert mit 1/B
• - dann oszilliert auch jede aus der Energie
  ableitbare Größe mit 1/B
• z.B. SDH-Effekt Widerstand oszilliert mit 1/B
• dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert
  mit 1/B

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Danke für eure Aufmerksamkeit !