Afinost izmedu kru

1
Afinost izmedu kružnice i elipse
Konstruirati elipsu e1 kao afinu sliku kružnice k
u afinitetu (o, S, S1). Pri tome vrijedi
S
Definicija 1. Dva su promjera elipse konjugirana,
ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu
nastali kao afina slika medusobno okomitih
promjera kružnice.
os
S1
2
Konstruirati veliku i malu os elipse zadane
parom konjugiranih promjera koja je afino
pridružena danoj kružnici
C
S
A
B
os
D
D1
Velika i mala os elipse konstruiraju se
pomocuTalesovog teorema.
S1
B1
A1
C1
3
Preslikavanje kružnice ortogonalnim afinitetom
T1
o
T2
4
Afinost kružnice i elipse u kojem je jedan
promjer zajednicki, a zraka afinosti je okomita
na taj promjer.
Elipsa je zadana velikom i malom osi.
a)
b)
C
S
B
A
S
S1
A
B
D
ABA1B1 - svaka tocka na tom pravcu pridružena
je sama sebi, pa je on os afinosti
CDC2D2 zajednicki promjer kružnice i elipse,
pa je taj pravac os afinosti
Promjeru AB elipse pridružen onaj promjer A2B2
kružnice koji je okomit na C2D2 - def.1.
Promjeru CD elipse pridružen onaj promjer C1D1
kružnice koji je okomit na A1B1 def.1.
Afinost je ovdje odredena osi i parom pridruženih
tocaka A A2 (ili B B2).
Afinost je ovdje odredena osi i parom pridruženih
tocaka C C1 (ili D D1).
5
Konstrukcija tocaka elipse pomocu afinosti
Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD.

1. U afinitetu izmedu zadane elipse i kružnice k1,
   os je incidentna s AB, a zrake su paralelne s CD.
2. U afinitetu izmedu elipse i kružnice k2, os je
   incidentna s CD, a zrake su paralelne s AB.

C
S
A
B
Može se dokazati da je nekom pravcu p kroz S u
podrucju elipse pridružen u oba afiniteta isti
pravac p1 ? p2.
D
Istodobnom kombinacijom obaju afiniteta dobivamo
tocke afino pridružene elipse.
Tocka T, koja je afino pridružena tockama T1 i
T2, sjecište je dviju zraka dvaju afiniteta.

Temeljem navedenih zakljucaka izvodi se sljedeca
konstrukcija elipse.
6
Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomocu
afiniteta
Napomena. Konstrukcija tocaka elipse pomocu
afinosti izvodi se na onim dijelovima krivulje,
na kojim krivulja nije aproksimirana
hiperoskulacijskim kružnicama.
C
Tangenta t u tocki T elipse afino je pridružena
tangenti t1 u afinitetu s kružnicom k1, odnosno
tangenti t2 u afinitetu s kružnicom k2.
A
B
S
D
7
Zadaci
1. Konstruirati tangente iz tocke P na elipsu,
koja je zadana velikom i malom osi.
a) odabran je afinitet nad kružnicom k2, jer se u
tom afinitetu tocka P nalazi na osi afinosti, pa
je sama sebi pridružena.
P
b) A-A2 (odnosno B-B2) su u tom afinitetu par
pridruženih tocaka.
C
c) konstruiraju se tangente u2 i v2 iz tocke P na
kružnicu k2.
d) dirališta U2 i V2 preslikavaju se u tocke U i
V elipse pomocu para pridrtuženih tocaka ili
prethodnom konstrukcijom.
A
B
D
8
Zadaci
2. Konstruirati sjecišta pravca p i elipse, koja
je zadana velikom i malom osi.
a) odabran je afinitet izmedu elipse i kružnice k1
b) pravac p iz podrucja elipse preslikava se u
pravac p1 iz podrucja kružnice pomocu neke tocke
X.
c) odrede se sjecišta M1 i N1 pravca p1 i
kružnice k1.
p
C
d) na zrakama afinosti odrede se afino pridružene
tocke M i N, koje su tražena sjecišta pravca i
elipse.
A
B
Napomena. Ta su sjecišta geometrijski tocno
odredena bez iscrtavanja elipse.
D
9
Afinost izmedu elipse zadane parom konjugiranih
promjera i kružnice opisane vecem promjeru
Temeljem def. 1 slijedi

• MN je zajednicki promjer elipse i kružnice ? MN
  je os afinosti,
• promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1
  kružnice ? P P1 je zraka afinosti.

P
M
Konstrukcija tocke T (odnosno R) elipse, ako je
zadana njezina afina slika T1 ? k1 (R1 ? k1 ) a)
pomocu para pridruženih tocaka P P1,
N
S
b) koristeci svojstvo da se paralelni pravci
preslikavaju u paralelne pravce (R R1).
Q
Tangenta t elipse u tocki T afina je slika
tangente t1 kružnice s diralištem u tocki T1.
Velika i mala os elipse može se dobiti Rytzovom
konstrukcijom.
10
Afinost izmedu elipse zadane parom konjugiranih
promjera i kružnice nad manjim promjerom
PQ zajednicki promjer elipse i kružnice ? PQ je
os afinosti.
P
Par konjugiranih promjera elipse je afina slika
para konjugiranih promjera kružnice, a oni su
uvijek medusobno okomiti.
M
N
S
MN je afina slika promjera M2N2 kružnice, pa su M
i M2 (odnosno N i N2) par pridruženih tocaka, a
njihova spojnica zraka afinosti.
Q
Tangenta u tocki elipse je afina slika tangente
afino pridružene kružnice u pridruženoj tocki.