Computabilidade e Linguagens Formais

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Computabilidade e Linguagens Formais

• Máquinas de Turing

Gabriel David / Cristina Ribeiro
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Hello, world

• main()
• printf(?hello, world\n?)
• Qual a saída deste programa?

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Hello, world de novo
int exp(int i, n) / calcula in / int ans,
j ans 1 for (j1 jltn j) ans
i return(ans)

• main()
• int n, total, x, y, z
• scanf(?d?, n)
• total 3
• while(1)
• for (x1 xlttotal-2 x)
• for (y1 ylttotal-x-1 y)
• z total-x-y
• if (exp(x,n) exp(y,n) exp(z,n))
• printf(?hello, world\n?)
• total
• Qual a saída deste programa?
• Para entrada 2? E 3?

• xn yn zn
• Último teorema de Fermat
• Levou 300 anos a provar que é impossível para n?3

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Devem existir problemas indecidíveis

• Problema é decidir se uma cadeia pertence a uma
  linguagem
• O número de linguagens diferentes sobre um
  alfabeto com mais do que um símbolo não é
  numerável
• Não é possível estabelecer uma correspondência
  biunívoca com ?
• Os programas são numeráveis
• Cadeias finitas sobre alfabetos finitos
• Ordenar por comprimento e por ordem lexicográfica
• Podem ser contados, embora em número infinito
• Há infinitamente menos programas do que problemas
• Linguagem ao acaso dá provavelmente um problema
  indecidível
• A maioria dos problemas parecem decidíveis porque
  são escolhidos

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Teste do Hello, world

• Hipótese
• Existe um programa H que recebe como entrada um
  programa P e uma entrada I e imprime yes se P com
  entrada I imprimir hello, world e no no caso
  contrário e faz sempre uma coisa ou outra
• Um problema que tenha um algoritmo como H é
  decidível
• Senão é indecidível
• Vamos provar que H não existe
• Seria estranho que um programa resolvesse o
  último teorema de Fermat

H
P
yes
I
no
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Prova por contradição

• Simplificação na classe de programas P
• Só programas em C com saída em caracteres e que
  só usam printf()
• Modificar H
• As modificações não põem em causa a existência de
  H
• Modificar printf() de forma a que quando devesse
  imprimir no, passe a imprimir hello, world
• Obtém-se H1

H1
P
yes
I
hello, world
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Prova por contradição

• Interesse em programas que processam programas
• Restringir H1
• Só tem entrada P
• Pergunta o que faz P quando recebe P como entrada
• H2 é modificação de H1
• H2 começa por ler P para um array com malloc()
• H2 simula H1 substituindo leituras de P e de I
  por leituras do array
• O que faz H2 quando é dado como entrada a ele
  próprio?

H2
yes
P
hello, world
H2
yes
H2
hello, world
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H2 não pode existir

• H2, dado P
• Imprime yes se P imprimir hello, world com
  entrada P
• Imprime hello, world se P, com entrada P, não
  imprimir hello, world
• Dando H2 a H2
• Se imprimir yes diz que H2 com entrada H2 imprime
  hello, world
• Mas acaba-se de assumir que H2 com entrada H2
  imprime yes
• Se imprimir hello, world (tem que ser uma ou
  outra das possibilidades) então a saída da caixa
  tem que ser yes
• Contradição também
• Portanto H2 não pode existir nem H1 nem H
• O problema do hello, world é indecidível

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Redução de problemas

• Outros problemas
• Para testar a indecidibilidade pode-se construir
  um programa paradoxal, semelhante a H2
• Alternativa reduzir o problema indecidível ao
  novo problema se conseguisse decidir o novo,
  também decidia o antigo como o antigo é
  indecidível, o novo também é
• Questão saber se se consegue reduzir o antigo ao
  novo
• Nota reduzir o novo ao antigo não resolve porque
  daria Decidível(antigo) ? Decidível(novo), mas o
  antecedente é falso
• Decide
• yes ou no conforme a
• sua entrada instância do
• problema P2 está ou não
• na linguagem do problema

Decide
yes
P1
P2
Constrói
no
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Fase de construção

• A construção tem que reduzir cada instância de P1
  (cadeia w) a uma instância de P2 (cadeia x) com a
  mesma resposta
• Qualquer cadeia no alfabeto de P1 que não
  pertence à linguagem de P1 tem que ser convertida
  para uma cadeia que não está na linguagem de P2
• Assim, se w está em P1, x está em P2 e Decide diz
  yes se w não está em P1, x não está em P2 e
  Decide diz no fala verdade sobre w

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Exemplo de redução

• Problema
• Programa Q, com entrada y, chama a função foo?
• Se Q não tiver a função foo é fácil
• P1 é o problema hello, world e P2 é o problema
  chama-foo
• Dado um programa Q com entrada y construir um
  programa R com entrada z que chame foo se e só se
  Q com entrada y imprimir hello, world
• Construção
• Se Q tiver foo, renomeá-la e a todas as suas
  chamadas
• Adicionar uma função foo vazia e que não é
  chamada
• Memorizar no array A os primeiros 12 caracteres
  da saída
• Sempre que o programa escrever para a saída,
  verifica em A se está lá hello, world e, nesse
  caso, chama foo
• O programa modificado é R a entrada z é igual a
  y
• Se fosse possível decidir R também seria possível
  decidir Q

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Motivação

• Problemas indecidíveis
• Não existe algoritmo
• Problemas intratáveis
• Os algoritmos conhecidos são demasiado
  dispendiosos
• Simplificação heurísticas
• Necessidade de um modelo simples de computador
  para estudar a computabilidade
• Máquinas de Turing
• Modelo de computador, mais do que de linguagem

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Contexto

• David Hilbert (início do séc. XX)
• Há alguma maneira de determinar se qualquer
  fórmula da lógica de predicados de primeira
  ordem, aplicada aos inteiros, é verdadeira?
• Kurt Gödel (1931)
• Teorema da incompletude construiu uma fórmula
  que não pode ser provada nem refutada
• Técnica semelhante ao programa contraditório H2
• Alan Turing (1936)
• Máquina de Turing modelo de qualquer computação
  possível
• Veio a estar envolvido, durante a 2ª Guerra, no
  esforço de construção de máquinas de que
  emergiram os computadores
• Hipótese de Church (tese de Church-Turing, não
  demonstrável)
• Todos os modelos gerais de computação são
  equivalentes às funções parciais recursivas e às
  máquinas de Turing (mesmo os computadores actuais)

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Máquina de Turing
Controlo


B
B
X1
X2
Xi
B
B
Xn

• Controlo finito
• Número finito de estados
• Fita de comprimento infinito dividida em células
• Cada célula pode conter um símbolo (alfabeto
  finito)
• Entrada
• Cadeia finita constituída por símbolos do
  alfabeto de entrada
• Colocada na fita no início resto da fita
  preenchido com brancos (B)
• Símbolos da fita
• Alfabeto de entrada branco possivelmente
  outros símbolos

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Máquina de Turing

• Cabeça da fita
• Sempre posicionada numa célula
• No início, está na célula mais à esquerda da
  entrada
• Movimento ou passo da máquina
• função do estado do controlo e do símbolo a ser
  varrido pela cabeça
• 1. Mudança de estado
• Pode ser o mesmo
• 2. Escrita de um símbolo na célula onde está a
  cabeça
• Pode ser o mesmo
• 3. Deslocação da cabeça de uma célula à esquerda
  ou à direita
• Não restringe sequência de passos com a cabeça
  parada seguida de um com movimento pode ser
  resumida neste

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Formalização

• Semelhante a autómatos de pilha
• Máquina de Turing (TM) M (Q, ?, ?, ?, q0, B, F)
• Q conjunto finito de estados do controlo
• ? conjunto finito de símbolos de entrada
• ? conjunto finito de símbolos da fita
• ? função de transição ?(q, X) (p,Y,D)
• q é um estado, X um símbolo da fita
• p é o novo estado, em Q
• Y é o símbolo em ? que substitui X
• D é L ou R, esquerda ou direita, direcção em que
  a cabeça se move depois da substituição
• q0 estado inicial
• B branco, símbolo que preenche a fita, excepto
  as células com a entrada
• F conjunto de estados de aceitação ou finais

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Computação

• Descrição instantânea
• X1X2Xi-1qXiXi1Xn
• Células desde a primeira à última não brancas (nº
  finito)
• Mais um prefixo ou sufixo finito com brancas até
  à cabeça
• O estado (q) e a célula (i) onde a cabeça está
• Passo da máquina de Turing M (MM 0 ou mais
  passos)
• Supondo ?(q,Xi) (p,Y,L)
• X1X2Xi-1qXiXi1Xn M X1X2Xi-2pXi-1YXi1Xn
• Estado q passa a p célula Xi passa a Y cabeça
  anda para a esquerda
• Se i1 qX1X2Xn pBYX2Xn
• Se in e YB X1X2Xn-1qXn X1X2Xn-2pXn-1
• Simétrico para ?(q,Xi) (p,Y,R)

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Exemplo 0n1n

• TM para aceitar a linguagem 0n1n n?1
• Ideia
• Fita no início contém 0s e 1s
• Mudar o primeiro 0 para X deslocar para a
  direita até ao primeiro 1 e mudá-lo para Y
  deslocar para a esquerda até ao primeiro X
  deslocar um para a direita recomeçar
• Se num estado aparecer algum símbolo não
  previsto, a TM morre
• Se a entrada não for 01
• Se na iteração em que marca o último 0 também
  marca o último 1 então aceita

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Exemplo 0n1n
Estado 0 1 X Y B
q0 (q1,X,R) (q3,Y,R)
q1 (q1,0,R) (q2,Y,L) (q1,Y,R)
q2 (q2,0,L) (q0,X,R) (q2,Y,L)
q3 (q3,Y,R) (q4,B,R)
q4

• M (q0,q1,q2,q3,q4), 0,1, 0,1,X,Y,B, ?, q0,
  B, q4)
• q0 muda 0 para X
• q1 desloca-se para a direita até ao primeiro 1
  que muda para Y
• q2 desloca-se para a esquerda até encontrar um X
  e volta a q0
• Se tiver um 0 reinicia o ciclo se tiver um Y vai
  para a direita se encontrar um branco vai para
  q4 e aceita senão morre sem aceitar

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Computações no exemplo

• Entrada 0011
• Descrição instantânea inicial q00011
• q00011 Xq1011 X0q111 Xq20Y1 q2X0Y1
• Xq00Y1 XXq1Y1 XXYq11 XXq2YY Xq2XYY
• XXq0YY XXYq3Y XXYYq3B XXYYBq4B
• aceita
• Entrada 0010
• q00010 Xq1010 X0q110 Xq20Y0 q2X0Y0
• Xq00Y0 XXq1Y0 XXYq10 XXY0q1B
• morre

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Diagramas de transição

• Semelhante a autómato de pilha
• Nós são estados da TM
• Arco do estado q para o estado p com etiquetas
  X/YD
• ?(q,X) (p,Y,D), X e Y são símbolos da fita e D
  é L ou R
• Start é estado inicial circunferência dupla,
  estados finais B, branco

Y/Y ? 0/0 ?
Y/Y ? 0/0 ?
Start
0/X ?
1/Y ?
q0
q1
q2
X/X ?
Y/Y ?
B/B ?
q3
q4
Y/Y ?
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Exemplo

• Diagrama de transição para uma TM que aceite a
  linguagem das cadeias com número igual de 0 e 1.

0/X ?
Y/Y ?
1/1 ? Y/Y ?
Y/Y ? 0/0 ?
Start
1/X ?
q0
q1
q2
1/Y ?
B/B ?
0/Y ?
X/X ?
q3
q4
0/0 ? 1/1 ? Y/Y ?

• q00110 Xq2110 q3XY10 Xq0Y10 XYq010
  XYXq10 XYq3XY
• XYXq0Y XYXYq0B XYXYBq4B
• q0110 Xq110 X1q10 Xq31Y q3X1Y Xq01Y
  XXq1Y XXYq1B

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Linguagem de uma TM

• Cadeia de entrada colocada na fita
• Cabeça no símbolo mais à esquerda
• Se a máquina entrar num estado de aceitação, a
  cadeia é aceite
• Linguagem da TM M (Q, ?, ?, ?, q0, B, F)
• Conjunto das cadeias w em ? tais que q0w ?p?
  e p ? F
• Linguagens recursivamente enumeráveis

Linguagens
Linguagens recursivamente enumeráveis
TM
Linguagens sem contexto (CFL)
PDA, CFG
Linguagens regulares (RL)
DFA (NFA, ?-NFA), RE
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Paragem

• Uma TM pára se entrar num estado q a ler um
  símbolo X e ?(q,X) não estiver definida
• Permite encarar a máquina de Turing como
  executando uma computação, com princípio e fim
• exemplo calcular a diferença de dois inteiros
  q00m10n 0m-nqf
• TM que param sempre, aceitem ou não a entrada,
  constituem modelos de algoritmos (linguagens
  recursivas)
• Pode-se assumir que uma TM pára sempre que aceita
• Infelizmente não é sempre possível exigir que uma
  TM pare quando não aceita
• Indecidibilidade (linguagens recursivamente
  enumeráveis)
• Possibilidade de uma TM se referir a si própria
  (poder para ser indecidível)

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Técnicas de programação de TM

• Uma TM tem o mesmo poder computacional que os
  computadores actuais
• Memória no estado
• Estado controlo memória de dados
• Ver o estado como um tuplo
• Pistas múltiplas
• Fita composta por várias pistas um símbolo em
  cada pista
• Alfabeto da fita constituída por tuplos
• Poder das TM permanece inalterado

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Subrotinas

• Uma TM é um conjunto de estados que executa um
  processo
• Tem uma entrada e estados finais
• Encarada como subrotina de uma TM principal
• Chamada vai para estado principal
• Não existe noção de endereço de retorno
• Se uma subrotina for chamada de vários estados
  diferentes, faz-se cópias (macro) para retornar
  ao estado que chamou

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Extensões

• TM com várias fitas
• Cada qual tem a sua cabeça
• Entrada só na primeira fita
• Movimento esquerda, direita e estacionário
• Equivalente a uma fita
• Complexidade temporal quadrática
• TM não deterministas
• Função de transição dá conjunto de tuplos (q,Y,D)
• Equivalente a determinista
• Codificar na fita uma fila com as descrições
  instantâneas a processar
• Simular o não determinista percorrendo-as em
  largura

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Restrições

• TM com fitas semi-infinitas
• Máquinas com várias pilhas
• Máquinas com contadores
• Comparação com computadores