Sym

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Symétrie despace temps

• Groupe de Poincaré et
• groupe de Galilée
• Daniel Malterre

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PLAN
1) Quelques notions de théorie des groupes
(représentation vraie et projective, groupe et
algèbre de lie) 2) Transformation despace
temps (représentation despace temps, relations
de commutation) 3) Groupe de Lorentz et de
Poincaré (algèbres de Lie et représentations
irréductibles) 4) Limite non-relativiste
groupe de Galilée (différences avec le cas
relativiste)
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Représentations dun groupe
opérateurs de symétrie (géométrique) Mais,
il faut traduire laction dune opération de
symétrie sur les quantités physiques
Exemple molécule NH3
Densité de charges scalaire invariant
R
Champ électrique
Vecteur détat
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Lensemble des matrices, de dimension adaptée à
la quantité physique considérée, constitue une
représentation, elle satisfait la loi de
composition du groupe
Représentation vraie
En MQ, le vecteur détat est défini à une phase
près! On peut donc avoir pour les représentations
dans lespace de Hilbert
Représentation projective
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Groupe de Lie
Groupe continu (par ex. rotations, translations)
Générateurs infinitésimaux du groupe Algèbre de
lie du groupe (commutateurs)
Lien entre propriétés dinvariance et les lois de
conservation
Invariance par - translation -
rotation - transl. temps
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Exemple Les rotations géométriques

• Rotation de q autour de 0z
• Rotation infinitésimale

matrice de représentation dans lespace
géo
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idem pour les rotations autour de Ox et Oy
Ces matrices de rotations infinitésimales
satisfont
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Pour une rotation finie
une rotation quelconque
est le générateur des rotations
lalgèbre de Lie du groupe des rotations
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Transformations despace-temps
Galilée transf. linéaires qui conservent
lintervalle de temps entre 2 évènements et la
distance entre 2 évènements instantanés Poinca
ré transf. linéaires qui conservent
lintervalle dunivers
4-transl.
33 rot. dans lesp. de Minkowski
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Groupe de transformations continues
10 générateurs
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Transformation par rotation et translation
Matrices de représentation 4?4
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On ajoute les translations temporelles et
changements de référentiels
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Construisons les générateurs du groupe
- pour les translations
- pour les chang. de réf.
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Dans la représentation de dimension 5, on a pour
les générateurs les matrices
Facile de calculer
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On trouve lalgèbre du groupe de Galilée pour
une représentation vraie
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Dans lespace de Hilbert Pour obtenir une
représentation projective (terme de phase) on
ajoute au 2nd membre un terme proportionnel à
lidentité (constantes dextension) ex
On peut les éliminer par une redéfinition des
générateurs Sauf pour
doù les représentations du groupe de Galilée
dans lespace de Hilbert sont intrinsèquement
projectives (comportement de dans
changt de réf.)
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Groupes de Lorentz et de Poincaré
Espace de Minkowski dim431
Groupe de Lorentz rotation dans lespace de
Minkowski - rotation spatiale (2 dim
spatiales) - rotation hyperbol. (1 dim spat1
dim tempo.) (transf. de
Lorentz)
SO(3,1)
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Groupe de Poincaré Groupe de Lorentz
inhomogène (translations spatio-temporelles)
Loi de composition
inverse de
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Représentation (projective) dans lespace de
Hilbert
unitaire
Loi de composition
représ. projective terme de phase (peut être
éliminé)
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Générateur du groupe de Poincaré
antisym.
Transf. infinitésimale
Infinitésimales
Opérateur unitaire infinitésimal
générateurs infin. des 4-rot. et 4-transl.
(hermitiques)
boost
moment cinétique
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Algèbre de Lie du groupe
En prenant pour L une transformation
infinitésimale, on obtient lalgèbre de Lie
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Ce qui donne en explicitant les
et se conservent mais pas
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Algèbre de Lie du groupe de Lorentz
Groupe à 6 paramètres (générateurs )
Opérateur de transformation
rot. spatiale
Boost (transf. de Lorentz)
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Représentation du groupe de Lorentz
Définissons
permet de découpler les relations de commutation
SU(2)?SU(2) (j entier ou demi-entier)
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Les représentations irréductibles de SO(3,1) sont
donc caractérisées par (j1, j2) associés à M2 et
N2
Remarque nest pas unitaire à cause de langle
imaginaire des boosts en accord avec la
propriété des groupes non-compacts qui
nadmettent que des représentations unitaires de
dim. infinie
Matrices de transformation des champs (scalaires,
spinoriels, tensoriels)
Matrice de rot. angle complexe
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Moment cinétique
On appelle spin de la représentation (j1, j2) la
quantité J j1 j2
(j1, j2) et (j2, j1) sont couplés par parité P
Si la parité est une symétrie de linteraction,
alors (j1, j2) nest pas une représentation du
groupe de Lorentz, on doit considérer
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Représentation de Dirac
matrices de Pauli
Pour rotations pures
matrices de SU(2) transformation des spineurs à
2 composantes
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Les matrices de D(1/2,0) et D(0,1/2) forment
deux représentations bivaluées de SO(3,1)
On a 2 types de spineurs ?R et ?R transformant
suivant D(1/2,0) et D(0,1/2)
Si la parité est une symétrie du problème, un
spineur droit se transforme en gauche et vice
versa, on considère donc les spineurs à 4
composantes (forment une rep. irréd. du gr. de
Lorentz complet)
Équation de Dirac
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Représentation du groupe de Poincaré
Les représentations sont caractérisées par des
grandeurs qui commutent avec tous les générateurs
du groupe
MASSE
Daprès lalgèbre de Lie
Donc commute avec
On définit un opérateur
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commute avec les 10 générateurs du groupe
(Casimir)
caractérise les représentations du groupe
SPIN
Construisons lopérateur
Cest un moment cinétique car satisfait
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On est tenté de définir le spin comme en M.Q.
non relativiste
Mais on aurait
On définit le spin par (limite non relativiste)
Invariant par 4-translations
suggère de définir lopérateur
vecteur de Pauli-Lubanski
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commute avec les 10 générateurs du groupe (second
Casimir du groupe)
Pour trouver les valeurs propres de il
faut se placer dans le référentiel au repos
(p0)
doù comme valeur propre
Une représentation irréductible du groupe de
Poincaré est caractérisée par la donnée de ses
deux opérateurs Casimir la masse et le spin
(particule élémentaire)
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Attention, définir le spin en M.Q. relativiste
nest pas simple Dans le sous espace dimpulsion
définie //Oz
Relations de commutation
Algèbre de Lie de SU(2)
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Particules de masse nulle
Pas de repère au repos. On change la définition
du spin
Casimir du groupe
de même
relations de commutation du spin
notons que
On considère les restrictions au sous espace
associé à la valeur propre parallèle à Oz
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Dans cette restriction
Puisque comme M0, et
doù
Algèbre de Lie différente du cas M?0!!!
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En utilisant cette algèbre on montre que
et que la composante ne peut
prendre que 2 valeurs
Résumé
Le spin des particules de masse nulle se
distingue du spin des particules massives
(algèbre différente). Alors que 2S1 valeurs
propres existent pour les particules massives
seules les 2 projections sur la direction
de existent pour les particules de masse nulle
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Classification de Wigner
- représentations irréductibles unitaires du
groupe de Poincaré
Groupe de Poincaré produit semi-direct du sous
groupe des translations avec le groupe de Lorentz
produit semi-direct
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Groupe des translations abélien repr.
irré. unidimensionnelles
Toute repr. irré du groupe de Poincaré peut se
décomposer sur les repr. 1D du sous groupe des
translations
Fonct. de base de la repr. de Poincaré
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Petit groupe ou groupe du vecteur donde
rotations (spat. et tempo. laissant
inchangé)
Matrice de représentation du groupe de Lorentz
Une représentation irréductible du groupe de
Poincaré est complètement déterminée à partir
des représentations irréductibles du petit
groupe et des représentations irréductibles du
groupe des translations
Ne dépend pas du choix de
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Classification de Wigner
- représentations irréductibles unitaires du
groupe de Poincaré
doit être positif (énergie dune particule
libre) doit être positif
Seuls cas physiques (a) particules
massives (c) particule de masse nulle (f)
vide
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Groupe de Galilée
Galilée
Poincaré
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Deux différences entre les algèbres de Lie
La masse apparaît explicitement
caractère intrinsèque des représentations
Permet didentifier les boosts dans la limite non
relativiste et de retrouver le moment orbital
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Casimirs du groupe de Galilée?
i) opérateur masse M
ii) opérateur énergie interne
Commute avec et
iii) le spin
Une représentation irréductible du groupe de
Galilée (particule élémentaire) est caractérisée
par la donnée de trois grandeurs, la masse M,
lénergie interne et le spin
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Remarque 1 particules de masse nulle?
Boost infin.
état propre de et
état propre de
et état propre de mais spectre non
borné
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Remarque 2 changement de référentiels
-Ondes sur un plan deau 2 observateurs
O
O
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- particules libres
O
O
de Broglie
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Contrairement à une onde classique, et à une
fonction donde relativiste (représentations
vraies)
Dans lespace de Hilbert, les représentations
sont intrinsèquement projectives
terme de phase par changt de réf.
différence essentielle entre ondes classique et
quantique
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Attention la notion de spin nest pas
intrinsèque à la théorie de la relativité
Représentations irréductibles du groupe
de Galilée sont obtenues à partir de celles du
petit groupe et du groupe des translations
Translation despace-temps
État dune particule libre
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Petit groupe
Conserve
À chaque R on trouve le v
Isomorphisme entre le groupe des rotations
et
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Les représentations du petit groupe sont celles
du groupe des rotations D(S)(R) avec s entier ou
demi-entier
Transf. de Galilée
Composantes des champs
Matrice de spin Rot. des composantes
Translation Spatio-temp.
Pour les particules de spin ½, on peut construire
par linéarisation une équation de Dirac non
relativiste et trouver en présence dun champ
électromagnétique le facteur de Landé g2!!
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(No Transcript)
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(No Transcript)