CAPITULO 5 Cuadripolos

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CAPITULO 5Cuadripolos
Teoría de Circuitos I
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Hemos visto que una red arbitraria de dos
terminales (dipolo) compuesta por fuentes y
elementos pasivos puede representarse por su
equivalente de Thevenin o de Norton. Podemos
extender el concepto de circuito equivalente para
incluir una clase importante de redes de cuatro
terminales denominadas cuadripolos. En la figura
siguiente se muestra un cuadripolo vinculado a
una red genérica y la nomenclatura asociada a los
bornes.
a y a configuran el Puerto 1 (entrada) b y b
configuran el Puerto 2 (salida)
IMPORTANTE !!! Para que sea un cuadripolo se debe
cumplir que I1 I1 y I2 I2
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Se denomina cuadripolo a cualquier red de cuatro
terminales (dos puertos) en la cual se cumple que
la corriente neta que entra a cada puerto es
igual a cero.
Las condiciones impuestas a las corrientes que
entran a un cuadripo-lo son, a veces, el
resultado de los elementos que lo componen, sin
embargo, frecuentemente, dichas condiciones
dependen de la forma en que se conecta a otros
cuadripolos o a la red. Algunos ejemplos,
1) 2)
3) 4)
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Caracterización de cuadripolos
De las cuatro variables, V1, V2, I1 e I2, un par
cualquiera puede considerarse como variables
independientes, y el par restante como variables
dependientes.
Así, tenemos 6 posibles combinacio-nes para
elegir el par de variables independientes. Para
cada una po-dremos escribir las variables
depen-dientes como combinación lineal de las
restantes.
A diferencia de los dipolos que pueden
caracterizarse mediante un solo parámetro
(relación entre una variable independiente y una
dependiente, como ocurre en una resistencia V R
I), un cuadri-polo requiere cuatro parámetros,
siendo posibles seis conjuntos diferentes de
cuatro parámetros cada uno.
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Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )
Tomando V1 y V2 como variables independientes, e
I1 e I2 como dependientes, podemos escribir
Donde, los parámetros quedarán definidos según
Para el cálculo práctico de y11 y y21 podemos
cortocircuitar los bornes 2-2, conectar una
fuente V11 V, medir I1 e I2 y calcular las
relacio-nes respectivas.
Un planteo similar vale para los otros parámetros
de y12 y y22 cortocircuitando los bornes 1-1 y
forzando por ej. V2 1V

• En caso de trabajar en CC hablaremos de
  conductancias.
• y11 , y22 son las admitancias de entrada vistas
  desde 1-1' o 2-2.
• y12 , y21 son las admitancias de transferencia.

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Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )
En notación matricial
Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como
las LKC en dos nudos
Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo
como
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Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )
Tomando I1 e I2 como variables independientes, y
V1 y V2 como de- pendientes, tenemos
Donde, los parámetros quedarán definidos según
Para calcular los parámetros z11 y z21 podemos
dejar los bornes 2-2' abiertos, conectar una
fuente I11A , medir V1 y V2 y calcular las
relaciones correspondientes.
Un planteo similar vale para los otros parámetros
de z12 y z22 dejando abiertos los bornes 1-1 y
forzando por ej. I2 1A

• En caso de trabajar en CC hablaremos de
  resistencias.
• z11 , z22 son las impedancias de entrada vistas
  desde 1-1' o 2-2.
• z12 , z21 son las impedancias de transferencia.

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Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )
En notación matricial
Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como
las LKT en dos mallas
Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo
como
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Parámetros híbridos ( H )
Tomando I1 y V2 como variables independientes, y
V1 e I2 como de- pendientes, tenemos
Donde, los parámetros quedarán definidos según
Para calcular h11 y h21 habrá que cortocircuitar
los bornes 2-2' y realizar los cálculos
correspondientes, mientras que para calcular h12
y h22 deberemos dejar los bornes 1-1' abiertos.

• h11 impedancia de entrada del puerto 1 con el
  puerto 2 cortocircuitado
• h12 inversa de la ganancia en tensión en
  circuito abierto.
• h21 ganancia de corriente en cortocircuito.
• h22 admitancia de entrada del puerto 2 con el
  puerto 1 en circ. abierto.

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Parámetros híbridos ( H )
En este caso podemos pensar la primera ecuación
como una LKT, la segunda como una LKC y
sintetizar un modelo de cuadripolo
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Parámetros híbridos ( H )
También podríamos haber definido una segunda
matriz híbrida, to-mando como variables
independientes la tensión V1 y la corriente I2. A
esto parámetros se los conoce como parámetros H.
En notación matricial
Se ve claramente que H' H-1 si H es no
singular. Ejercicio Plantear un modelo
circuital genérico de un cuadripolo representado
a partir de parámetro H.
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Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )
Tomando I2 e V2 como variables independientes, y
V1 e I1 como de- pendientes, tenemos
Donde, los parámetros quedarán definidos según
En este caso los ensayos para poder determinar
los parámetros se realizan cortocircuitando (para
los parámetros B y D) o dejando abierto (para los
parámetros A y C) el puerto 2.

• A ganancia de tensión c/puerto 2 en circuito
  abierto.
• B impedancia de transferencia en
  cortocircuito.
• C admitancia de transferencia en circuito
  abierto.
• D opuesto de la ganancia de corriente c/puerto
  2 en cortocircuito

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Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )
En notación matricial
En este caso, no se puede dibujar un circuito
equivalente como se hizo en los casos anteriores,
dado que ambas ecuaciones corres- ponden a las
variables tensión y corriente en el mismo puerto.
Estos parámetros son muy convenientes para
analizar redes conectadas en cascada, como se
vera más adelante.
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Parámetros de transferencia inversa ( T )
Si hubiéramos tomando como variables
independientes la tensión V1 y la corriente I1
podríamos también haber definido una segunda
matriz de transferencia, tal que
En notación matricial
Vemos que, la matriz de transferencia directa T
expresa tensión y corriente en el puerto 1 en
función de la tensión y corriente en el puerto 2,
y la matriz de transferencia inversa T ' expresa
la tensión y corriente en el puerto 2 en función
de la tensión y corriente en el puerto 1, resulta
que ambas matrices son inversas, es decir T'
T-1.
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Cálculo de parámetros para un circuito
Ejemplo 1 Hallar los parámetros Z para el
circuito mostrado
Las ecuaciones de los paráme-tros Z son
Por lo tanto, forzando V1 y dejando abierto el
puerto 2 podemos calcular z11 y z21
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Cálculo de parámetros para un circuito
Ejemplo 1 Hallar los parámetros Z (continuación)
Para calcular z12 y z22 dejamos el puerto 1 en
circuito abierto.
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Cálculo de parámetros a partir de ensayos
Ejemplo 2 Se realizaron los siguientes ensayos
sobre un cuadripolo. Proponer un modelo
cuadripolar.
Puerto 2 abierto V1 8 mV I1 4 µA V2 - 8
V Puerto 2 en cortocircuito V1 5 V I1 5
mA I2 250 mA
Como las variables que se anulan en los ensayos
son siempre las variables independientes, V1 e I1
se escribirán en función de las mismas tal que
luego
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Relaciones entre los distintos tipos de parámetros
Sucederá a veces que teniendo expresado un
cuadripolo a través de un determinado juego de
parámetros, nos interesará conocer otra
representación. Para ello, operando
algebraicamente, podremos obtener cualquiera de
los otros juegos de parámetros.
Ejemplo 3 Hallar los parámetros H en función de
los Z Conocidos queremos

calcular
Despejando I2 de la segunda ecuación
Reemplazando en la primer ecuación y reagrupando
tenemos
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Relaciones entre los distintos tipos de parámetros
De manera similar se pueden calcular las
restantes relaciones entre los diferentes
parámetros (en el apunte pueden encontrarse otros
ejemplos). Todos los resultados están en la
Ejemplo anterior H f( Z )
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Cuadripolos recíprocos
Se dice que un cuadripolo es recíproco si su
matriz de admitancia en cortocircuito y su matriz
impedancia en circuito abierto son simétricas (es
decir, si aij aji para todo j). En otras
palabras, si es simétrica respecto a la diagonal
principal. Para que se verifique esta condición
el cuadripolo solo debe contener elementos
pasivos (pero no fuentes controladas). Analizando
las ecuaciones del modelo en parámetros Z
Vemos entonces que podemos caracterizarlo solo
con tres paráme-tros. Si suponemos que las
ecuaciones anteriores corresponden al método de
bucles, vemos que existe un vínculo galvánico
entre las mallas de entrada y de salida debido
justamente al elemento z12 .
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Cuadripolos recíprocos
Luego, podemos proponer un circuito que sintetice
al cuadripolo, tal que se cumpla
C
A este modelo circuital se lo denomina modelo T
.
Análogamente, veamos que ocurre si consideramos
las ecuaciones de un cuadripolo a partir de sus
parametros Y, pero pensando en ecuaciones de
nudos
C
A este modelo circuital se lo denomina modelo ?
.
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Transformaciones de red T a red ?
Ambas representaciones son únicas para redes
recíprocas, es decir, cada red recíproca tiene
una y sólo una T equivalente, y una y solo una ?
equivalente. Surge así que cualquier red T que
consista sólo en elementos pasivos tiene una red
? equivalente también pasiva, y viceversa. La
transformación de T a ? es la que se conoce como
estrella-triángulo, fue analizada en el Capítulo
4,
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Interconexión de cuadripolos
A continuación, analizaremos las distintas
posibilidades de inter-conectar 2 cuadripolos
según como se conecten entre si los puertos de
entrada y de salida de cada cuadripolo. Así,
tendremos cinco opciones serie-serie,
paralelo-paralelo, en cascada y mixta
(serie-paralelo o paralelo-serie). Es
interesante analizar para cada una cuál es el
juego de parámetros más conveniente para hallar
un cuadripolo equivalente.
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Interconexión paralelo-paralelo (o simplemente
paralelo)
En esta interconexión ambos cuadripolos tienen
idénticas ten-siones de entrada (V1) e idénticas
tensiones de salida (V2) por lo que decimos que
se encuentran en paralelo.
Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que
las variables independientes sean las tensiones
Observando la corriente del cuadripolo total
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Interconexión serie-serie (o simplemente serie)
En esta interconexión ambos cuadripolos tienen
idénticas co-rrientes de entrada (I1) e idénticas
corrientes de salida (I2) por lo que decimos que
se encuentran en serie.
Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que
las variables independientes sean las corrientes
Observando la tensión del cuadripolo total
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Interconexión mixta serie-paralelo
En esta interconexión ambos cuadripolos tienen
idéntica co-rriente de entrada (I1) e idéntica
tensión de salida (V2) por lo que decimos que la
interconexión es mixta.
Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que
las variables independientes sean I1 y V2
Observando las variables V1 y I2 del cuadripolo
total
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Interconexión mixta paralelo-serie
En esta interconexión ambos cuadripolos tienen
idéntica ten-sión de entrada (V1) e idéntica
corriente de salida (I2) por lo que, como en el
caso anterior, decimos que la interconexión es
mixta.
Si modelizamos ambos cuadripolos de manera que
las variables independientes sean V1 y I2
Observando las variables I1 y V2 del cuadripolo
total
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Interconexión de cuadripolos
Resumiendo, de acuerdo a como estén conectados
los puertos de entrada y los puertos de salida de
los cuadripolos será conveniente utilizar un
juego de parámetros determinados para hallar una
repre-sentación equivalente resultante de la
interconexión.
Puertos de entrada Puertos de entrada
SERIE PARALELO


SERIE
Puertos de salida
PARALELO
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Interconexión en cascada (o en tandem)
Observando las variables de entrada del
cuadripolo total tenemos
Observ El producto matricial no es conmutativo!
Respetar el orden según la conexión!
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Ejemplo 4 Interconexión de cuadripolos
Hallar los parámetros del cuadri-polo equivalente
correspondiente a la conexión mostrada.
Lo primero que observamos es que ambos
cuadripolos comparten en sus puertos de entrada
la misma tensión (V1) y en sus puertos de salida
también (V2).
? Interconexión paralelo-paralelo
? Conviene utilizar los parámetros Y
Para determinar los parámetros Y de cada
cuadripolo habrá que ensa-yar cada cuadripolo con
un corto en el puerto de entrada y con un corto
en el puerto de salida y hallar las impedancias
correspondientes.
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Ejemplo 4 Continuación
Cuadripolo 1
Ensayando el puerto de salida en corto
Ensayando el puerto de entrada en corto
0
0
Cuadripolo 2
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Ejemplo 4 Continuación
Así, tenemos nuestra interconexión de dos
cuadripolos en paralelo, donde cada cuadripolo
está carac-terizado por sus paramtros Y.
Luego, como se dedujo anteriormente, el
cuadripolo equivalente es-tará caracterizado por
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Ejemplo 5 Interconexión de cuadripolos
Para la siguiente interconexión de los
cuadripolos C1 y C2 se cono-cen dos ensayos
realizados sobre C1 y la matriz H del cuadripolo
2.
Cuadripolo 1 1) Puerto 1 en circuito
abierto Cuadripolo 2 V1 8 mV I2 4 mA V2
8 V 2) Puerto 2 en circuito abierto V1 5 V I1
1 mA V2 2,5 V
Determinar el modelo cuadripolar equivalente más
conveniente para caracterizar la interconexión.
Lo primero que vemos es que la interconexión es
del tipo cascada, por lo que conviene trabajar
con los parámetros T de cada cuadripolo.
A su vez de los ensayos sobre C1 vemos que al ser
la variables inde-pendientes las que se anulan
podemos calcular sus parámetros Z.
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Ejemplo 5 Continuación
Cuadripolo 1 Cuadripolo 2
Como ya vimos anteriormente para la interconexión
en cascada, la matriz de parametros equivalente
Tequiv se obtiene a partir de la multiplicación
matricial de TC1 por TC2.