Buscando a ... LA CICLOIDE

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Buscando a ... LA CICLOIDE

• Trabajo en equipo de Investigación matemática

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Problema inicial
Esta investigación tiene su origen en un
problema que nuestro profesor de Matemáticas nos
propuso a un grupo de clase. Decía así

• Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción.
  Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de
  los vértices. Qué trayectoria sigue al dar la
  rueda una vuelta?
• Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1
  metro, qué longitud recorre un vértice en una
  vuelta completa?
• Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría
  si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo
  mismo con cualquier otro polígono regular.

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Durante el proceso de resolución
Llegamos a estudiar las trayectorias
determinadas por diversos polígonos regulares,
como los siguientes
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Y si la rueda fuese redonda?

• La CICLOIDE la trayectoria que recorre un punto
  cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un
  giro completo

Fue al final de aquel problema como llegamos a
conocer a la protagonista de esta investigación
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Algunas propiedades que hacen famosa a la
Cicloide

• Es la curva braquistócrona (la de descenso más
  rápido entre dos puntos)

• La tautocronía (si un punto se desplaza a lo
  largo de la curva invertida, en caída libre,
  llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo
  que no depende de la altura de donde partió )

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Medidas de la cicloide
La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y
el área que deja debajo es el triple de la del
círculo que la determina

• Longitud 8.R
• Area 3.?.R²

Y aquí comenzaría nuestra investigación éstas
son la medidas de la cicloide. En Internet
comprobamos que no entendíamos cómo se habían
calculado (siempre aparecían integrales y otras
fórmulas complicadas). Seríamos capaces de
demostrarlas solo con nuestros conocimientos y
los ordenadores?
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Nuestra idea para calcular esas medidas

• Aproximarnos desde los polígonos regulares

• La circunferencia viene a ser como un polígono
  regular de 5000 lados

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Proceso para determinar la LONGITUD de la
trayectoria descrita por el vértice de un
polígono regular de 5000 lados girando

• Nuestro plan pasaba por tres fases
• 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
  6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular una diagonal del dodecaedro
regular
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Proceso (LONGITUDES)

• 2ª Fase Generalización del problema
• (polígono de n lados)
• La trayectoria se compone de n-1 arcos de
  circunferencia
• Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n
  grados)
• Los radios de los arcos son las sucesivas
  diagonales del polígono (además del lado)

.
Los resultados finales se resumían en las
siguientes fórmulas
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Proceso (LONGITUDES)

• 3ª Fase Cálculos con Excel

La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las
que llegamos anteriormente) nos permitió calcular
rápidamente la longitud de la trayectoria
correspondiente a un polígono regular de tantos
lados como quisiéramos
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Proceso para determinar el AREA de la trayectoria
descrita por el vértice de un polígono regular de
5000 lados girando

• Para el cálculo del área repetimos las mismas
  tres fases para un problema distinto
• 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
  6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular el área barrida por el giro
de un hexágono regular
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Proceso (AREAS)

• 2ª Fase Generalización del problema
• (polígono de n lados)
• El área determinada se descompone en n-1 sectores
  y n-2 triángulos

.
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Proceso (AREAS)

• 3ª Fase Cálculos con Excel

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Metodología de trabajo durante la Investigación

• Trabajo en equipo
• Reparto de tareas
• Reuniones semanales
• Revisiones de lo redactado
• Con el ordenador
• Textos con Word
• Fórmulas con su Editor de ecuaciones
• Gráficos con Cabri
• Excel
• Página web con Cabriweb

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Autores

• Iranzu Ardaiz
• Marta Martínez
• Beatriz Navarro
• Nuria Ortega
• Pablo Roldán
• Coordinador Manuel Sada
• I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)