Moti stratificati (3/5)

1
Moti stratificati (3/5)

• Idraulica Ambientale 2
• a.a. 2005/06

2
Stratificazione e diffusione turbolenta
Effetto della stratificazione (numero di
Richardson)
(definizione mediata)
Coefficienti
3
Esercizi
mix verticale mezzo stratificato (cuneo
salino) scarico caldo
Temperatura come tracciante passivo (mix
trasversale) scarico caldo
4
Moti stratificati (4/5)

• Idraulica Ambientale 2
• a.a. 2005/06

5
Onde interne
onde di superfici isopicne (denistà
costante) stratificazione continua onde
interne stratificazione a gradino (strati)
onde di interfaccia, onde di superficie
Rif. bibl. dispense di Socolofsky Jirka,
Special Topics in Mixing and Transport Processes
in the Environment, 2005 (cap. 10)
6
Onde di interfaccia

• ipotesi
• fluidi immiscibili
• contorni superiori e inferiori rigidi
• moto piano
• moto inviscido (viscosità nulla, Re grande)
• moto irrotazionale in ogni strato
• onde di piccola ampiezza

contorno rigido superiore
interfaccia
contorno rigido inferiore
7
Equazioni
Potenziale di velocità f (moto irrotazionale)
Equazione di continuità
strato superiore
strato inferiore
Equazione del moto (inviscido)
8
Condizioni al contorno
interfaccia
Condizione cinematica
in superficie (z-h1) e al fondo (z-h2)
Condizione dinamica
(le tensioni tangenziali sono nulle)
Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo
9
Adimensionalizzazione e linearizzazione
ampiezza dellonda
lunghezza donda
onde di piccola ampiezza
Condizione cinematica semplificata
10
Condizione allinterfaccia (linearizzata)
Equazione del moto semplificata
(in ogni strato)
costante lungo una linea di corrente
Teorema di Bernoulli non stazionario
Lungo linterfaccia (linea di corrente)
11
Sistema da risolvere
Equazioni
Condizioni allinterfaccia (z0)
Condizioni al contorno
Struttura della soluzione
(notazione complessa)
12
Soluzione per lo strato j1,2
soluzione generale
Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj
allinterfaccia (z0)
al contorno (z zc)
sistema di 4 equazioni in 4 incognite ? C1, C2,
D1, D2
13
Soluzione
potenziale
? velocità nei due strati
posizione interfaccia
le intensità rimangono indeterminate
14
Relazione di dispersione
condizione dinamica allinterfaccia
relazione tra frequenza e numero donda
frequenza-periodo
numero-lunghezza donda
celerità di propagazione
15
Casi particolari dominio non limitato
frequenza
celerità
la celerità dipende da k ? lunghezze donda
diverse si separano
onde di superficie
frequenza
celerità
onde di Boussinesq
frequenza
celerità
16
Casi particolari acqua bassa
frequenza
celerità
la celerità non dipende da k ? onde non dispersive
onde di superficie
frequenza
celerità
onde di Boussinesq
frequenza
celerità
17
Effetto della superficie libera
condizione in superficie libera
relazione di dispersione
onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq due
soluzioni semplificate
modo esterno - veloce (onda di superficie)
modo interno - lento (interfaccia)
moto baroclinico
moto barotropico
parallelo a
inclinato rispetto a
18
Onde stazionarie
effetto della dimensione finita del bacino
numero finito di semi-lunghezze donda
numeri donda possibili
celerità
modo esterno
periodo
modo interno
(lento)
19
Onde di sessa (seiche)
vento ? eccita unonda stazionaria con n1
wind set-up sollevamento
equilibrio mentre soffia il vento
spinte idrostatiche
set-up superficie
equilibrio tra le pressioni al fondo
set-up interfaccia
20
Stratificazione continua
Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq
continuità
q.d.m. orizzontale
3 equazioni in 4 incognite
la quarta equazione viene dallincomprimibilità
q.d.m. verticale
incomprimibilità
21
Stratificazione continua relazione di
dispersione
modi orizzontali
modi verticali
equazioni condizioni al contorno
relazione di dispersione
onde
non possono esserci onde
(frequenza di eccitazione maggiore
dellautofrequenza - Eigenfrequency)
22
Moti stratificati (5/5)

• Idraulica Ambientale 2
• a.a. 2005/06

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Instabilità

• Analisi di stabilità idrodinamica
• soluzione in moto laminare delle equazioni
• perturbazione della soluzione con piccoli
  disturbi (sinusoidali nel tempo e nello spazio)
• sostituzione della soluzione perturbata nelle
  equazioni e linearizzazione ? problema agli
  autovalori (eigenvalues)
• soluzione delle equazioni perturbate
• disturbo che cresce nel tempo ? instabilità
  assoluta
• disturbo che cresce nello spazio ? instabilità
  convettiva
• disturbo che decade ? stabilità

• Riferimenti bibliografici
• Socolofsky Jirka, Special Topics in Mixing and
  Transport Processes in the Environment, 2005
  (dispense, cap. 11)
• Drazin Reid, Hydrodynamic stability (Second
  edition), Cambridge Mathematical Library, 2004

24
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
25
Lavoro delle forze di galleggiamento
forze di galleggiamento
lavoro
particella 1
particella 2
lavoro totale
26
Variazione di energia cinetica
prima
variazione di energia cinetica
dopo
velocità media
27
Instabilità approccio euristico
instabilità quando lenergia cinetica persa è
più grande del lavoro richiesto dalle forze di
galleggiamento nello spostamento delle particelle
di fluido
(senza viscosità)
28
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
moto irrotazionale fluido ideale piccole
perturbazioni
29
Formulazione del problema
Equazioni
Condizioni al contorno
Condizione cinematica allinterfaccia (zh)
Condizione dinamica
(le tensioni tangenziali sono nulle)
Teorema di Bernoulli non stazionario (zh)
30
Soluzione del moto base
interfaccia
costanti del trinomio di Bernoulli ?
Perturbazione della soluzione
interfaccia
Linearizzazione
31
Sistema per le perturbazioni (linearizzato)
Equazioni
Condizioni al contorno
Condizioni allinterfaccia (z0)
Struttura della soluzione
(notazione complessa)
32
Relazione di dispersione
numero donda totale
soluzione trovata con Maple
33
Coefficiente di amplificazione
stabilità neutrale
gt
curva marginale
instabilità
lt
r21000,r1995
34
Casi particolari
sempre stabili
Onde di gravità
Onde interne
stabili ? onde
instabili
Instabilità dovuta alle tensioni
sempre instabili
35
Effetto della tensione superficiale
z
(condizione dinamica allinterfaccia)
p1
soluzione trovata con Maple
x
esempio onde generate sul mare velocità del
vento minima, lunghezza donda (Kelvin, 1871
Chandrasekhar, 1961)
p2
curva marginale
(DU)2crit
kcrit