ROB

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ROBÓTICA
Helder Anibal Hermini
2
Aula 3

• Modelagem Cinemática de Robôs

3
Sistemas de Referência e Transformação de
Coordenadas
4
Transformação Homogênea
Um ponto V no espaço pode ser representado em
coordenadas homogêneas por,
onde
e w é o fator de escala real e não nulo.
5
Translação

• É Possível transladar um ponto u nas direções X,
  Y, e Z ou em uma direção arbitrária, a partir da
  aplicação da relação

v T . u
com a relação
6
Exemplo 1
Considere a transformação homogênea
e o ponto
A transformação homogênea T, transforma o ponto u
em um ponto v,
v T. u
7
Exemplo 2
Transladar o ponto v(1,0,0) de 1 unidade na
direção X, 2 na direção Y e 3 na direção Z.
8
Rotação
Considere os pontos u e v , representados na
figura.
1
2
3
4
rotação em z
Suas representações no plano são u(xu, yu) e
v(xv,yv) respectivamente. Considere ainda que o
ponto u foi transformado no ponto v, através de
uma rotação, em torno da origem, de um ângulo ?,
no sentido anti-horário.
9
Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as
equações 3 e 4, tem-se
5
6
As equações 5 e 6 podem ser escritas, então
ou na forma vetorial
7
10
Para o espaço tridimensional a equação 7 pode
ser reescrita na forma vetorial
ou ainda em coordenadas homogêneas,
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Resumindo, as matrizes transformação homogênea
de rotação em torno dos três eixos são
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Modelagem Cinemática Direta e Inversa de
Manipuladores
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Problema Cinemático de Manipuladores
MODELO CINEMÁTICO DIRETO
VARIÁVEIS DAS JUNTAS
POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ
MODELO CINEMÁTICO INVERSO
POSIÇÃO E ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR DO ROBÔ
VARIÁVEIS DAS JUNTAS
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Problema Cinemático Direto

• Calcular a matriz de transformação homogênea que
  relaciona a i-ésima referência com a referência
  i-1. Para isto faz-se uso dos parâmetros de todas
  as juntas

• Tendo ob tido todas as matrizes Ti-1i ,
  obtém-se T0n através de

• Como T0n depende das variáveis das juntas, o
  problema cinemático direto se resolve com a
  obtenção da matriz de transformação homogênea que
  fornece posição e orientação da ponta do robô em
  relação a base.

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Representação de Denavit-Hartemberg

• Suponha que dois sistemas de coordenadas
  coincidentes, X0Y0Z0 e X1Y1Z1.
• A transformação homogênea que relaciona esses
  sistemas é a matriz identidade

16
Representação de Denavit-Hartemberg

• Provoca-se uma rotação de ?? em relação ao eixo
  Z0, através da transformação

A nova matriz é agora dada por
17
Representação de Denavit-Hartemberg

• A seguir translada-se o sistema X1Y1Z1 de d
  unidades ao longo de Z1. A matriz fica então,

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Representação de Denavit-Hartemberg

• Translada-se o sistema X1 Y1 Z1 de a unidades ao
  longo do eixo X1. A nova matriz é dada por

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Representação de Denavit-Hartemberg

• Finalmente, provoca-se uma rotação do sistema X1
  Y1 Z1 de ??, em torno do eixo X1. Esta última
  transformação deixa a matriz como

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CONVENÇÃO DE DENAVIT-HARTEMBERG
Estabelece que a transformação homogênea Ai
entre quaisquer dois sistemas de coordenadas
solidários a dois elos consecutivos, através de
uma cadeia cinemática de um manipulador, composto
de elos rígidos, separados por uma junta, pode
ser escrita por até quatro matrizes de
transformações homogêneas básicas.
Uma rotação de ? em torno de z1
Um deslocamento d ao longo do eixo z1
Um alongamento ao longo do eixo x
Uma rotação ? em torno do eixo x.
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Passo 1 Estabelecer o eixo z dos sistemas de
coordenadas de cada elo nos eixos de cada junta
da estrutura, ou na direção do deslocamento das
junta prismáticas.
Passo 2 Colocar a origem do sistema de
coordenadas referencial, no eixo z da junta do
primeiro elo.
22
Passo 3 Estabelecer a origem do sistema de
coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos
sistemas de coordenadas de cada par de elos para
toda a estrutura.
Passo 4 Definir o eixo x de cada do sistema de
coordenadas na linha ortogonal aos eixos z dos
sistemas de coordenadas de cada par de elos para
toda a estrutura, definido o sentido do eixo pela
regra da mão direita do eixo de maior ordem para
o de menor ordem.
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Passo 5 Definir o eixo y de cada sistema de
coordenadas pela regra da mão direita.
Passo 6 Definir o sistema de coordenadas da
garra, conforme o passo 6 indicado na figura 2.2.
24

• Passo 7 Estabelecer os 4 parâmetros da
  convenção de Denavit-Hartenberg, onde
• ? é uma rotação do eixo xi-1 para o eixo xi em
  torno de zi-1.
• d é um deslocamento ao longo do eixo z i - 1, da
  origem o i -1 até o eixo xi.
• a um alongamento ou comprimento ao longo do eixo
  xi da origem oi até o eixo z i -1.
• a é uma rotação do eixo z i - 1 ao eixo z i torno
  do eixo xi.

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Passo 8 Determinar matrizes de transformações
homogêneas entre cada par de elos.
Se a junta for rotacional
Se a junta for prismática
Passo 9 Determinar matrizes de transformações
homogêneas entre cada par de elos e a base. A
matriz de transformação homogênea entre o
elemento final e a base define o modelo
cinemático direto do robô. Ti A1 . A2 ... An
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Exemplo de Implementação de estabelecimento de
parâmetros pelo método de Denavit-Hartemberg
27
Parâmetros D H para o Robô PUMA 560
28
Matrizes de transformação homogênea para o Robô
PUMA 560
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DEFINIÇÃO DE SISTEMAS DE COORDENADAS PARA MODELOS
ARTICULADOS

• Um sistema Articulado pode ser representado
  matemáticamente por n corpos móveis Ci (i 1,
  2,..., n) e de um Corpo fixo, acoplado por n
  articulações, formando uma estrutura em cadeia, e
  as juntas podem ser rotacionais ou prismáticas.
  Para representar as situações relativas dos
  vários corpos da cadeia, é fixado para cada
  elemento Ci um referencial Ri.

A ? Matriz de Transformação de
Coordenadas Xi, Yi, Zi ? Sistema de
Referência Li ? Vetor de Translação Oi ?
Origem
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DESCRIÇÃO MATEMÁTICA

• Podemos relacionar um certo referencial Ri1
  (oi1, xi1, yi1, zi1) com um previamente Ri
  (oi, xi, yi, zi), como também as coordenadas de
  sistema de origem básico por
• o i1 oi A i,i1 Li
• Onde A é a matriz de Orientação
• Ai, i1 A1, 2. A2, 3. ... A i, i1
• Onde Li é o vetor de translação entre uma origem
  e a outra.

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Especificações de Posição e Orientação do
Efetuador

• Já foram vistas três coisas muito importantes,
  no que diz respeito à cinemática de robôs, a
  saber

• É possível relacionar dois sistemas de
  referências, através de uma matriz de
  transformação homogênea

• Para um robô com n graus de liberdade, aloca-se
  um sistema de coordenadas em cada junta e
  calcula-se a matriz de transformação homogênea
  que relaciona o último sistema de referência com
  a base

• No efetuador é alocado um sistema de referência
  (o último da cadeia cinemática), tal que se possa
  relacioná-lo com a base, através de uma matriz de
  transformação homogênea. No caso de um robô com
  seis graus de liberdade, esta matriz é dada por

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n nx ny nz T ? Vetor normal do
efetuador e tem direção ortogonal aos
vetores o e a s sx sy sz T ?
Vetor de deslizamento e aponta na direção dos
movimentos de abertura e fechamento
dos dedos da mão a ax ay az T ?
Vetor de aproximação e aponta na direção normal a
palma da mão p px py pz T ?
Vetor posição e aponta da origem do sistema de
coordenadas da base até a origem do
sistema de coordenadas da mão.
33
Ângulos de Euler e RPY
A matriz de orientação espacial de um robô
poderá ser expressa através das componentes dos
versores de orientação n, s e a, ou através de
três ângulos. Normalmente em aplicações
industrias são utilizados ângulos Euler ou RPY
(Roll, Pitch e Yaw) para descrição da orientação
de um corpo rígido no espaço.
34
Ângulos de Euler
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CÁLCULO DOS ÂNGULOS DE EULER A PARTIR DA MATRIZ
DE ORIENTAÇÃO
ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR
CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS
ANGULOS DE EULER
  (14)  
(?, ?, ?)
(?, ?, ?)
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Ângulos RPY
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CÁLCULO DOS ÂNGULOS RPY A PARTIR DA MATRIZ DE
ORIENTAÇÃO
ORIENTAÇÃO DO EFETUADOR
CÁLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAÇÃO A PARTIR DOS
ANGULOS RPY
(?, ?, ?)
(?, ?, ?)
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Problema Cinemático Inverso
A necessidade da obtenção de referências em
coordenadas angulares, correspondentes a tarefas
definidas no espaço cartesiano é expressa
matematicamente pela inversão do modelo
geométrico, isto é
? f -1 ( x )

• A função f é não linear e composta de soma de
  produtos de senos e cosenos das coordenadas
  generalizadas

• Como f é não linear não se pode garantir a
  existência e/ou a unicidade de uma função inversa
  f -1

• Os métodos de solução do problema da inversão do
  modelo geométrico são
• Métodos analíticos
• Métodos numéricos iterativos

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Modelagem Cinemática Inversa

• A transformação de coordenadas de um robô com n
  graus de liberdade revolutos pode ser formulada
  de forma que, a partir de uma configuração
  inicial do robô, na qual a suas variáveis
  articulares po são conhecidas, a posição completa
  de seu elemento terminal Xo será conhecida a
  partir do modelo do sistema.

• A mudança de coordenadas consistirá de um
  funcional que descreverá a correspondência
  existente entre a cadeia cinemática para um
  conjunto de variáveis articulares p e sua posição
  X correspondente.

x x o F ( q q o )
1
40
Modelagem Cinemática Inversa

• No caso da transformação inversa de coordenadas,
  uma determinada posição X do volume de trabalho
  do robô será atingida a partir de uma posição de
  repouso xo (obtenção dos ângulos Roll, Pitch, Yaw
  ou de Euler, a partir da matriz de orientação
  espacial). Esta equação não apresentará uma
  solução única, e a mesma poderá ser utilizada
  para o controle cinemático de mecanismos.

(q - qo) F-1 (x xo)
2

• A transformação inversa que é muito complexa, não
  apresentando uma solução única. Para eliminarmos
  as indeterminações que aparecem no problema
  inverso, utiliza-se geralmente a matriz
  jacobiana, onde a mesma poderá ser utilizada para
  o controle cinemático de mecanismos.

41
Matriz Jacobiana

• Dada uma configuração inicial qo e Xo de um robô,
  as coordenadas X do elemento terminal são
  descritas pela equação (2). Para pequenos
  deslocamentos ?x associados aos deslocamentos das
  variáveis articulares ?q podemos escrever

? X m?1 J m?n ?q n?1
3

• A matriz Jacobiana J(?) será definida como

4
que poderá ser construída a partir das relações
cinemáticas que descrevem a arquitetura do robô
5
42
Matriz Jacobiana

• A matriz Jacobiana J(?) será definida como

6
Para uma robô, as coordenadas de seu elemento
terminal serão descritas através de um vetor
posição X (x, y, z) e sua orientação definida a
partir de três ângulos (?, ? , ?).
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Inversão da Matriz Jacobiana (Controle de
Posição de uma prótese)

• O controle de uma prótese antropomórfica no
  espaço de juntas necessita de uma transformação
  inversa de coordenadas (F-1). Esta transformação
  poderá ser realizada a partir da inversão da
  matriz Jacobiana

?q n?1 J (q) m?n ? X m?1
7

• Matematicamente, a relação 7 indica a variação do
  incremento ?q das variáveis articulares para um
  dado deslocamento ?X do elemento terminal do
  robô. Como a posição atual de cada articulação qi
  atual é perfeitamente conhecida (através dos
  sensores de posição), a partir da utilização da
  equação (7) de modo iterativo e recalculando J(q)
  a cada passo de iteração, uma trajetória X(t)
  poderá ser realizada num determinado tempo, em
  função da variação dos ângulos das juntas qi
  atual ?qi.

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Malha de Controle de Posição
A partir da comparação da posição atual do robô
X (valor calculado a partir da posição atual X
atual obtidas das informações de posições dos
sensores de juntas ou da sinapse neural) e sua
posição de referência Xd, um sinal de erro é
amplificado e transformado em termos de
coordenadas articulares ?q a partir do cálculo de
J (q). O sinal de erro é integrado e depois
utilizado como sinal de entrada para controle das
variáveis articulares da prótese.
45
Malha de Controle de Posição
Finalmente, a obtenção da matriz Jacobiana,
utilizada no método recursivo para o cálculo do
modelo cinemático inverso, é uma forma
multidimensional da derivada e relaciona a
velocidade no espaço de juntas à velocidade no
espaço cartesiano. A sua solução deverá ser
encontrada em tempo real através da utilização de
algoritmos numéricos, onde será aproximada por ?x
J. ?q .
46
Metodologia da Inversa Generalizada

• Em muitos casos, a solução de um sistema de
  equações lineares existe, mesmo quando a inversa
  da matriz não existe. Este problema e muitos
  outros podem ser resolvidos através do conceito
  da pseudoinversa, ou matriz inversa generalizada.

• A matriz inversa generalizada de uma matriz A
  deve atender a algumas das seguintes propriedades
  para obter sucesso

i)     Deve reduzir-se a A-1 se A é não
singular ii)    Deve sempre existir iii) 
Deve possuir algumas das propriedades da inversa
(ou modificações destas) iv)  Quando usadas
no lugar da inversa, deve ser capaz de
proporcionar respostas sensíveis para questões
importantes tais como consistência das equações,
ou soluções dos mínimos quadrados.
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Metodologia da Inversa Generalizada

• Moore e Penrose definiram a pseudoinversa de uma
  matriz A como sendo a única solução para

A ? A ? A A A ? A
? A A (A ? A ) t
A ? A (A ? A ) t
A ? A
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