Geoestat

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Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão
I

• Daniel Marçal de Queiroz
• DEA/UFV

2
Geoestatística

• Maneira de descrever a continuidade espacial
• Técnica importante para análise de muitos
  fenômenos naturais
• Adaptação de técnicas de regressão clássica para
  tomar vantagem da continuidade espacial

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Descrição em termos de uma variável

• Dados dão boa idéia do fenômeno apenas quando
  organizados adequadamente
• Muitas técnicas usadas em estatística cuida da
  organização, apresentação e representação
  resumida dos dados
• Dados analisados representarão uma área de 10m
  por 10m
• Variáveis U e V foram aredondadas para o número
  inteiro mais próximo

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Localização relativa dos 100 pontos da variável V
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Histograma para os 100 valores da variável V
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Frequência dos 100 valores selecionados da
variável V com largura de classe de 10 ppm.
7
Frequência acumulada dos 100 valores da variável
V usando classes de 10 ppm
8
Histograma acumulativo para os 100 valores
selecionados da variável V
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Gráfico de probabilidade normal para os 100
valores selecionados da variável V
A escala no eixo Y é tal que a curva de
frequência será uma reta se os valores de V
tiverem uma distribuição normal
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Gráfico de probabilidade lognormal dos 100
valores selecionados da variável V
A escala do eixo Y é tal que a curva de
frequência acumulada será uma reta se o logarítmo
de V seguir a distribuição lognormal
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Gráficos de probabilidade normal e lognormal

• Algumas ferramentas de estimativa trabalham
  melhor se a variável apresenta distribuição
  Gaussiana ou normal.
• Distribuição Gaussiana é um dos muitos tipos de
  distribuição para o qual existe todo um
  tratamento matemático já desenvolvido.
• A Distribuição Gaussiana apresenta propriedades
  que facilita o uso de desenvolvimentos teóricos
  de estimativa.
• Portanto é importante determinar se a
  distribuição em estudo se aproxima da
  distribuição de Gauss.
• O gráfico de probabilidade normal é um dos tipos
  de gráfico de frequência acumulada que ajuda a
  verificar se a distribuição é Gaussiana

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Gráficos de probabilidade normal e lognormal

• Em gráficos de probabilidade normal a escala do
  eixo Y é tal que se a curva descrita pelos dados
  for uma reta, a distribuição é gaussiana.
• Para a V variável em estudo embora boa parte da
  curva de frequência acumulada se aproxima de uma
  reta, para pequenos valores de V forge dessa
  tendência.
• Muitas variáveis da Ciências da Terra têm
  distribuição que não se aproximam da distribuição
  normal.
• É muito comum ter muitos valores que bem baixos e
  poucos outros que são muito altos.

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Gráficos de probabilidade normal e lognormal

• Embora a distribuição normal é frequentemente
  inapropriada para modelar esse tipo de
  distribuição assimétrica, a distribuição
  lognormal pode ser uma alternativa para análise.
• Uma variável tem distribuição lognormal se a
  distribuição dos valores dos logarítmos da
  variável segue a distribuição normal.
• Usando uma escala logarítmica no eixo X de um
  gráfico de distribuição normal pode-se verificar
  a lognormalidade.
• Se a curva resultar em uma linha reta, é dito que
  os dados seguem um distribuição lognormal.
• Para a variável V em estudo pode-se verificar que
  os dados claramente não seguem uma distribuição
  lognormal.

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Análise Estatística Descritiva

• Importantes comportamentos de muitos histogramas
  podem ser obtidos por meio de certas análises
  estatísticas.
• A estatística descritiva é classificada em três
  categorias mede a localização, mede a dispersão
  e mede a forma.

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Análise Estatística Descritiva

• O primeiro grupo fornece onde várias partes da
  distribuição está localizada.
• A média, a mediana e a moda pode dar uma idéia de
  onde o centro da distribuição cai.
• A localização de outras partes é fornecida pelos
  quantis (quantiles).

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Análise Estatística Descritiva

• O segundo grupo inclui a variância, o desvio
  padrão e a faixa dos interquantis (interquantiles
  range)
• Esse grupo é usado para medir a dispersão dos
  dados.

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Análise Estatística Descritiva

• A forma da distribuição é medida por meio do
  momento de ordem 3 (coefficient of skewness) e do
  coeficiente de variação.
• O momento de ordem 3 mede a informação associada
  à simetria da distribuição.
• O coeficiente de variação fornece informação a
  respeito do comportamento do final da curva de
  certas distribuição.

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Medidas de localização

• A media, m, é a média aritmética dos valores

• O valor médio dos 100 valores da variável V é
  97,55 ppm.

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Medidas de localização

• A mediana, M, é o ponto médio dos valores
  observados, se eles estão dispostos em ordem
  crescente.

• O valor da mediana pode ser facilmente lida no
  gráfico de
• probabilidade.
• Para os 100 valores da variável V a mediana é
  100,50 ppm.

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Lendo a mediana num gráfico de probabilidade
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Medidas de localização

• A moda é o valor que ocorre com maior frequência.
• Em um gráfico de barras com os valores de
  frequência para cada classe a moda é representada
  pela barra mais alta.
• Para a variável V a classe 110-120 ppm é a classe
  com mais valores.
• O valor 111 ppm é o que ocorre com maior
  frequência.
• Um dos pontos negativos da moda é que ela é
  afetada pela precisão dos dados.

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Medidas de localização

• Mínimo é o valor mais baixo do conjunto de
  dados.
• Muitas vezes é gravado apenas como um valor
  abaixo de qualquer um limite detectável.
• Em algumas análises é conveniente usar um valor
  mínimo diferente de zero.
• Para os valores da variável V o valor mínimo é
  zero.

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Medidas de localização

• Máximo é o maior valor no conjunto de dados.
• Para os valores de V o valor máximo é 145.

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Medida de localização

• Quartil inferior e superior (Lower and Upper
  Quartile)
• A mediana divide os dados em duas metades, os
  quartis dividem os dados em quartos.
• Se os dados estão colocados em ordem crescente,
  um quarto dos dados caem abaixo do quartil mais
  baixo ou primeiro quartil e um quarto dos dados
  caem acima do quartil mais alto ou terceiro
  quartil.

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Quartis de um gráfico de probabilidade normal
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Medidas de localização

• Decis, percentis e quantis (Deciles, Percentiles
  e Quantiles)
• Decis dividem os dados em décimos (10 partes) Um
  décimo dos dados caem abaixo do primeiro decil
• Percentis dividem os dados em centésimos (100
  partes)
• Quantis servem para expressar qualquer fração.

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Medidas de dispersão

• Variância (?2 ) calculada por

• A variância dos 100 valores da variável V é de
  688 ppm2

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Medidas de dispersão

• Desvio padrão raiz quadrada da variância
• Para os 100 valores da variaável V o desvio
  padrão é de 26,23 ppm

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Medidas de dispersão

• Faixa entre os quartis (Interquartile range)
  Diferença entre o maior e o menor quartil
• Não utiliza da média como centro da distribuição
• Geralmente preferível se poucos valores
  erradamente elevados influenciam fortemente a
  média
• O faixa entre os quartis para os 100 valores da
  variável V é de 35,50 ppm.

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Medidas da forma

• Momento de ordem 3, Ca (coefficient of skewness)
  o histograma não dá idéia da simetria dos dados.

• O momento de ordem 3 sofre mais influência que
  a média e a
• variância de valores erroneamente elevados
• Um único valor muito grande pode influenciar
  muito o valor do
• momento de ordem 3.
• Geralmente o sinal do momento de ordem 3 é mais
  usado que o próprio
• valor nas análises.

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Medidas da forma

• Momento de ordem 3
• Um momento de ordem 3 positivo significa que a
  curva é longa com altos valores do lado direito.
• Se o momento de ordem 3 é próximo de zero, o
  histograma é aproximadamente simétrico e a
  mediana é próxima da média
• Para os 100 valores da variável V, o momento de
  ordem 3 é próximo de zero (igual a 0,779),
  indicando que a distribuição apenas ligeiramente
  assimétrica.

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Medidas de forma

• Coeficiente de variação usado alternativamente
  ao momento de ordem 3 para descrever a forma da
  distribuição.
• Usado para distribuições em que todos valores são
  positivos e o momento de ordem 3 é também
  positivo.
• Embora possa ser calculado para outras situações
  sua utilidade como medida de forma é questionável.

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Medidas de forma

• Um coeficiente de variação maior que um indica a
  presença de alguns valores errôneamente pode ter
  tido impacto significativo nas estimativas.
• O coeficiente de variação para os 100 valores da
  variável V é 0,269, o que signifca que o
  histograma não um longo trecho no final da curva
  com elevados valores

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Descrição usando duas variáveis

• Valores de duas
• variáveis U e V

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Descrição usando duas variáveis
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Resultados das análises estatísticas dos valores
da variáveis U e V
37
Comparação dos quantis das variáveis V e U
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Gráfico de quartis

• O gráfico de quartis pode permitir uma
  visualização comparativa entre duas
  distribuições
• O gráfico de quartis de duas distribuições
  idênticas resultará em uma linha reta do tipo yx
• Se o gráfico de quartis de duas distribuições é
  uma linha reta diferente de yx, as duas
  distribuições têm a mesma forma mas a sua
  localização e dispersão podem diferir

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Gráfico dos quartis das distribuições de 100
valores da variável U versus os 100 valores de V
O caso em estudo mostra que as distribuições das
variáveis U e V são diferentes.
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Gráficos de dispersão

• Fornecem uma boa idéia qualitativa de como duas
  variáveis estão relacionadas.
• Pode auxiliar a detectar dados completamente fora
  da realidade.
• Nos primeiros estágios da análise de continuidade
  espacial é necessário checar e corrigir os erros
  que por ventura exista no conjunto de dados.
• Os métodos de estimativa dependem em muito da
  confiabilidade dos dados.
• O gráfico de dispersão pode ser muito útil na
  validação inicial dos dados e no entendimento de
  futuros resultados.

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Gráfico de dispersão dos 100 valores de U versus
os 100 valores de V
O gráfico (b) ilustra um dado erroneamente
introduzido.
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Correlação

• Em um gráfico de dispersão é possível detectar se
  as variáveis são positivamente correlacionadas,
  negativamente correlacionadas ou se não têm
  correlação.
• Coeficiente de correlação (?) é a maneira mais
  usada em estatística para verificar o
  relacionamento entre duas variáveis. É calculado
  por

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Correlação

• Covariância (Cxy) é o numerador do coeficiente
  de correlação
• A covariância é usada como uma característica do
  gráfico de dispersão.
• A covariância entre duas variáveis depende da
  magnitude dos valores dessas variáveis.

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Correlação

• Se os valores de U e V são multiplicados por 10,
  a covariância é multiplicada por 100, embora o
  gráfico de dispersão pareça o mesmo.
• Dividindo a covariância pelos devios padrões das
  duas variáveis obtem-se um valor entre 1 e 1
  (coeficiente de correlação) independentee da
  magnitude dos dados.
• Para os 100 pares de valores U-V
• a covariância é 216,1 ppm2
• o desvio padrão da variável V é 26,2 ppm
• o desvio padrão da variável U é 9,81 ppm
• o coeficiente de correlação entre U e V é 0,84

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Correlação

• O coeficiente de correlação e a covariância podem
  ser afetados por poucos pares de dados
  completamente fora da realidade.
• O coeficiente de correlação é uma medida da
  proximidade que dados observados tem de uma reta.
• Se ?1, o gráfico de dispersão será uma reta com
  declividade positiva.
• Se ?-1, o gráfico de dispersão será uma reta com
  declividade negativa

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Correlação

• Quando a relação entre as variáveis é não-linear
  o coeficiente de correlação não é uma boa medida
  estatística.
• Ao invés do coeficiente de correlação usa-se o
  coeficiente de correlação de rank
• Rxi rank de xi entre os valores de x e é
  geralmente calculado ordenando os valores de x em
  ordem crescente. O valor mais baixo de x terá
  rank igual a 1
• Ryi rank de yi entre os valores de y.
• mRx média dos ranks Rx1, Rx2, , Rxn
• ?Rx desvio padrão dos ranks Rx1, Rx2, , Rxn

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Correlação

• Grandes diferenças entre ?rank e ? revela a
  localização dos pontos extremos em um gráfico de
  dispersão.
• O ?rank não é tão influenciado por valores
  extremos.
• Altos valores de ?rank e baixos valores de ?
  podem significar a existência de erros nos dados
  tiveram efeito adverso afetando a obtenção de uma
  boa correlação.
• Se ? é alto e ?rank é baixo pode ser que ? está
  sendo influenciado por poucos valores extremos.

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Correlação

• Para os pares de valores V e U com um par de
  ponto completamente fora (figura b)
• ? 0,64
• ?rank 0,80
• Se o coeficiente de correlação dos ranks é 1
  significa que os ranks das duas variáveis são
  iguais.
• Para Y X2 resultará em ? próximo de zero e
  ?rank igual a um.

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Regressão linear

• A dependência de uma variável em relação a outra
  pode ser descrita pela equação de uma linha reta
• y ax b
• A declividade a e a constante b são dadas
  por

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Regressão linear

• Usando-se os 100 pares de valores V-U para
  calcular os parâmetros do modelo de regressão
  linear obtem-se
• Portanto, a equação que prevê os valores de V a
  partir dos valores conhecidos de U é dada por

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Regressão linear

• Se o interesse for pela equação que prevê U a
  partir de valores conhecidos de V, então
• A equação que prevê os valores de U a partir dos
  valores conhecidos de V é dada por

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Gráfico mostrando a regressão linear sobreposta
num gráfico de dispersão
Observando-se cuidadosamente os dois gráficos
verifica-se que as duas linhas não as mesmas, ou
seja,
não é um simples arranjo de
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Esperança condicional

• Analisando-se a Figura (a) da análise de
  regressão linear verifica-se que uma linha reta
  não representa bem a relação entre as variáveis.
• Os dados mostram que uma linha curva poderiam
  representar melhor o relacionamento entre as
  variáveis.
• Uma alternativa à regressão linear é calcular
  valores médios de y para diferentes faixas de
  valores de x
• Os valores são chamados de condicional porque
  eles são bons apenas para uma certa faixa de
  valores de U.
• Para uma classe diferente, espera-se um valor
  diferente.

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Valor médio de V dentro das classes de valores de
U definidas
55
Gráfico do valor médio de V definido dentro de
cada classe de valores de U
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Gráfico das curvas de esperança condicional
sobrepostas nos gráficos de dispersão
Esperança condicional obtida por técnica de
regressão linear dentro de uma vizinhança local.
Existem algorítmos para definição do número de
pontos ideal que deve compor a vizinhança.