Analyse dimensionnelle

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Analyse dimensionnelle
Pierre GONTARD Lycée lOiselet 38300
BOURGOIN-JALLIEU
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Le système international dunités
Grandeur Unité SI
Longueur mètre (m)
Temps seconde (s)
Masse kilogramme (kg)
Intensité du courant ampère (A)
Quantité de matière mole (mol)
Température kelvin (K)
Intensité lumineuse candela (cd)

• Il repose sur 7 grandeurs fondamentales

Les unités SI des autres grandeurs sexpriment en
fonction de ces unités de base.
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Le système international dunités

• Exemples
• La vitesse (v d/t) sexprime en mètre par
  seconde m?s-1.
• Lénergie cinétique (Ec ½ mv2) sexprime en
  joule et 1 J 1 kg?m2?s-2.
• Lunité SI de la concentration molaire (c n/V)
  est la mole par mètre cube (mol?m-3).

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Notion de dimension

• Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique
  sont caractérisées par leur  dimension .
• Une grandeur peut avoir la dimension dune
  masse, dune énergie, dune tension électrique
• La dimension de la grandeur G se note G sauf
  pour les grandeurs de base que sont la longueur,
  le temps, la masse, lintensité du courant qui
  seront notées pour simplifier  L, T, M, I,
• La notion de dimension est très générale et ne
  sup-pose aucun choix particulier de système
  dunités.

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Notion de dimension
Grandeur
Dimension
Longueur L
Temps T
Masse M
Intensité du courant I
Quantité de matière N
Température Q
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Analyse dimensionnelle

• Faire lanalyse dimensionnelle dune relation
  consiste à remplacer, dans la relation, chaque
  grandeur par sa dimension.
• Exemple la vitesse est le quotient dune
  longueur par un temps, léquation aux dimensions
  sécrit v LT-1.
• La dimension dune grandeur quelconque peut
  sexpri-mer à partir des dimensions
  fondamentales.
• Toute expression doit être homogène, cest-à-dire
  que ses deux membres doivent avoir la même
  dimension.
• Exemple dans la relation DEc WAB() les deux
  membres ont la dimension dune énergie.

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Dimension dune grandeur

• Energie cinétique Ec ½ mv2

Ec ?
Ec ML2T-2

• Masse volumique r

r ?
r ML-3

• Densité dun liquide d

d ?
La densité est une grandeur sans dimension.
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Dimension dune grandeur

• Remarque une grandeur sans dimension peut
  cependant avoir une unité.

• Exemple lunité dangle, dans le système
  international, est le radian et a 1 puisque

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Dimension dune grandeur

• Dimension dune force ?

On peut exploiter le théorème de la variation de
lénergie cinétique Ec(B) Ec(A) WAB()
DEc ?i F?AB?cos a ? si a
0
?
ML2T-2L-1 MLT-2
Relation que lon pourra retrouver (plus
simplement) à partir de la 2e loi de Newton F
ma .
Remarque F MLT-2 ? 1 N 1 kg.m.s-2
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Dimension dune grandeur

• Il peut être parfois relativement difficile
  dobtenir le résultat
• Exemple la tension électrique U a pour
  dimension
• U L2 M T-3 I-1
• résultat qui peut sobtenir en combinant
• les différentes relations 
• F qE  E U/d  q It  F ma
• On pourra, en général, garder U dans léquation
  aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi dohm
  uR Ri, on pourra écrire

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Homogénéité dune formule

• Une équation est dite homogène si ses deux
  membres ont la même dimension.
• Exemple  v d?t  nest pas homogène
• v LT-1 et d?t LT
• La relation v d?t est donc fausse.
• Attention, une expression homogène nest pas
  nécessairement juste Ec mv2

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Homogénéité dune formule

• Le faisceau laser ayant une longueur donde l,
  parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont
  pas homogènes ?

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Homogénéité dune formule

• d L2L-1 L

d L2L-1 L
d L2L-2 1 ? L
d L3 ? L

• La formule correcte est
• Mais lanalyse dimensionnelle seule ne permet
  pas de la retrouver.

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Homogénéité dune formule

• Vérifier que la formule T0 2p
• est homogène.
• Formule où T0 représente la période des
  oscillations dun pendule simple, l sa longueur
  et g lintensité de la pesanteur.

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Homogénéité dune formule

• T0 2p

Lexpression est homogène si T0
T0 T l L
P mg ? g P/m g F/m MLT-2M-1
LT-2 l/g LT2L-1 T2 et donc T
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Autre règle importante

• Pour respecter lhomogénéité dune relation, on
  ne peut ajouter que des grandeurs de même
  dimension.
• Exemples Ec Ep E uR uC 0
• Une relation telle que
  (1)
• nest correcte que si l

?
T-1 car
(1) Forme différentielle de la loi de
décroissance radioactive (l constante
radioactive).