Fibonacci Heaps e il loro utilizzo nell

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Fibonacci Heaps e il loroutilizzo
nellalgoritmo di Prim

• Paolo Larcheri 52SI

2
Cosa vedremo

• Cosè uno heap
• Cenni sullanalisi ammortizzata
• Cosa sono gli Heap di Fibonacci
• Gli algoritmi di Minimum Spanning Tree
• Lutilizzo degli Heap di Fibonacci nellalgoritmo
  di Prim
• Complessità dellalgoritmo di Prim
• Esempio di funzionamento dellalgoritmo di Prim

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Gli heap

• Lo heap, in generale, è una struttura dati
• atta a contenere un insieme di dati
  ordinabili
• A prescindere dallimplementazione gli heap
• devono fornire le seguenti operazioni
• INSERISCI inserimento di un nuovo elemento
• TROVA-MIN ricerca dell elemento con chiave
  minima
• ESTRAI-MIN estrazione dellelemento con chiave
  minima
• UNIONE fusione di due heap
• DECREMENTA-CHIAVE dato un elemento dello heap
  e un
• nuovo e minore valore per la chiave dello
  stesso, aggiorna
• la chiave al nuovo valore
• CANCELLA cancellazione di uno specifico
  elemento

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Gli Heap di Fibonacci (1)

• Introdotti da Fredman e Tarjan nel 1987
• Possono essere considerati unottima
  implementazione di Heap!!
• Sono stati progettati ispirandosi allanalisi
  ammortizzata al fine di ottenere ben precisi
  costi.

5
Cosè lanalisi ammortizzata

• Lanalisi ammortizzata mira ad esprimere il tempo
  di esecuzione di unintera sequenza di operazioni
  attribuendo un costo nominale ad ogni tipologia
  di operazione (inserimento, cancellazione, ).
• Anche se una singola operazione può forare il suo
  costo nominale, limportante e che il costo
  complessivo dellintera sequenza resti entro la
  somma dei costi nominali per le singole
  operazioni che la compongono.
• Ovviamente vogliamo dichiarare dei costi nominali
  il piu bassi possibili!

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Gli Heap di Fibonacci (2)

• Le complessità delle operazioni

Operazione costo reale costo amm.
INSERISCI O(1) O(1)
TROVA-MIN O(1) O(1)
ESTRAI-MIN O(lg(n) t(H)) O(lg(n))
UNIONE O(1) O(1)
DECR-CHIAVE O(lg(n)) O(1)
CANCELLA O(lg(n) t(H)) O(lg(n))
t(H) numero di radici dello Heap di Fibonacci
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Gli Heap di Fibonacci (3)

• Gli Heap di Fibonacci sono costituiti da una
  lista di alberi caratterizzati ciascuno dall
  ordinamento parziale dello heap la chiave di
  ogni nodo è minore o uguale alla chiave dei
  figli in questo modo è garantito che il nodo con
  chiave minima è una delle radici
• Ogni elemento dello Heap di Fibonacci punta al
  nodo-padre
• Ogni nodo punta alla lista dei figli

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Gli Heap di Fibonacci (4)

• Ogni istanza di Heap di Fibonacci è costituita
  dai seguenti attributi
• puntatore alla lista delle radici
• puntatore al nodo con chiave minima
• numero complessivo di alberi contenuti nello Heap
• numero totale di nodi presenti nello Heap

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Gli Heap di Fibonacci (5)

• Ogni elemento dello Heap di Fibonacci è collegato
  direttamente al nodo-padre
• Inoltre i suoi figli sono collocati in una lista
• Gli attributi di ogni nodo sono
• puntatore al nodo-padre
• puntatore alla lista dei figli
• 2 puntatori uno al suo fratello destro e uno al
  suo fratello sinistro
• il grado (intero) numero dei suoi figli
• chiave il valore del nodo

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Gli Heap di Fibonacci (6)

• Rappresentazione logica di uno Heap di
  Fibonacci allinterno di un calcolatore

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Minimum Spanning Treenozioni fondamentali

• Dato un grafo G(N, E) connesso, pesato e non
  orientato è sempre possibile trovare il suo MST,
  cioè quellalbero T(N, E2) (E2Í E) per cui la
  somma di tutti i pesi degli archi appartenenti a
  E2 è minima
• Chiaramente se il grafo G è un albero, il suo MST
  sarà G stesso
• Se G possiede archi con peso uguale è possibile
  che esistano più MST per G

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Minimum Spanning Treealgoritmi

• Gli algoritmi più noti sono
• Algoritmo di Prim
• Algoritmo di Kruskal

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Algoritmo di Kruskal

• Lalgoritmo di Kruskal è di tipo Greedy.
  Consiste nellordinare tutti gli archi del grafo
  secondo il loro peso. Inizialmente T è composto
  da i soli nodi di G. Vanno aggiunti (seguendo
  lordine di peso) uno a uno tutti gli archi che
  non generano cicli in T.
• Loperazione più costosa è ordinare gli archi
  utilizzando un buon algoritmo di ordinamento,
  lalgoritmo di Kruskal costa O(mlog n)

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Algoritmo di Prim

• Grafo G(N, E1) -gt grafo
• Albero T(N, E2) -gt MST NB E2 Í E1
• Albero Prim(Grafo)
• considera T formato da un nodo e da nessun
  arco
• while(esistono nodi in T adiacenti a un nodo
  non in T)
• seleziona larco di peso minimo che collega
  un
• nodo in T con un nodo non in T
• aggiungi a T sia larco selezionato che il
  nuovo
• nodo
• return T

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Algoritmo di Prim

• Nellalgoritmo di Prim è indispensabile
  utilizzare una struttura dati che contenga ad
  ogni passo della computazione tutti gli archi
  candidati allinserimento in T, ossia gli archi
  che connettono un nodo in T con uno non in T
• Bisogna quindi ad ogni iterazione effettuare
  degli inserimenti e o delle sostituzioni

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Algoritmo di Primle sostituzioni

• Ad ogni iterazione, per ogni nodo v non ancora in
  T, basta tenere traccia del miglior arco e(v) che
  lo connetta ad un nodo già in T.
• Di fatto, per ogni nodo v non in T, terremo
  traccia dellestremo in T di e(v), (NULL se
  nessun arco incidente in v ha laltro estremo in
  T).

archi presenti nella SD
arco con chiave minima
a
a
q
p
p
q
T
T
b
min
q lt p
17
Algoritmo di Primutilizzo degli Heap di
Fibonacci

• Gli Heap di Fibonacci si prestano particolarmente
  bene a svolgere questa funzione mediante
  loperazione DECR-CHIAVE
• Come visto prima questa operazione ha costo
  (ammortizzato) costante

18
Algoritmo di Primutilizzo degli Heap di
Fibonacci

• Albero Prim(Grafo G)
• considera T formato da un nodo scelto a caso
• FH.inserisci(tutti gli archi del nodo scelto)
• while(anew FH.estraiMin())
• nnew nodo dellarco appena estratto che
• non appartiene a T
• T.inserisci(nnew, anew)
• for each(x congiunto a nnew da un arco y)
• if(x non appartiene a T)
• if(FH contiene arco z che congiunge x a T)
• FH.decrChiave(z, y)
• else
• FH.inserisci(y)
• return T

n-1
2m
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Algoritmo di Primcomplessità ammortizzata

• WHILE a ogni iterazione viene effettuata una
  ESTRAI-MIN che come abbiamo visto ha costo
  ammortizzato pari a O(lg n)
• FOR EACH a ogni iterazione viene eseguita una
  DECR-CHIAVE o una INSERISCI aventi entrambe costo
  ammortizzato costante
• TOTALE il costo totale ammortizzato è quindi O(m
  n(lg n))

20
Algoritmo di Primosservazioni finali (1)

• Il costo dellalgoritmo di Prim con gli Heap di
  Fibonacci dipende anche dal numero di archi
• Quindi
• Per grafi densi la complessità risulta essere
  O(n²)
• Per grafi sparsi la complessità risulta essere
  O(n(lg n))

21
Algoritmo di Primosservazioni finali (2)

• ATTENZIONE per grafi densi risulta essere più
  efficiente lutilizzo di strutture dati semplici
  (es liste) in quanto la complessità della
  struttura degli Heap di Fibonacci comporta
  unespansione della costante moltiplicativa non
  rilevabile a causa della notazione asintotica
• Per capirci
• liste ? O(an²)
• Heap di Fibonacci ? O(bn²)
• a b

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Algoritmo di Primesempio (1)
2
18
6
6
1
8
13
4
10
17
8
12
15
1
14
7
4
3
3
20
5
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Algoritmo di Primesempio (2)
2
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6
6
1
8
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4
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8
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1
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3
3
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Algoritmo di Primesempio (3)
2
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6
6
1
8
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4
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1
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7
4
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3
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5
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Algoritmo di Primesempio (4)
2
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6
6
1
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4
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1
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4
3
3
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5
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Algoritmo di Primesempio (5)
2
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6
6
1
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4
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8
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1
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Algoritmo di Primesempio (6)
2
18
6
6
1
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4
10
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8
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4
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Algoritmo di Primesempio (7)
2
18
6
6
1
8
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8
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4
3
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5
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Algoritmo di Primesempio (8)
2
18
6
6
1
8
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4
10
17
8
12
15
1
14
7
4
3
3
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5
30
Algoritmo di Primesempio (8)
2
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6
6
1
8
13
4
10
17
8
12
15
1
14
7
4
3
3
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5