Trigonom

1
Trigonométrie
2
TRIGONOMÉTRIE.
3
Définition de la trigonométrie

• Définition la partie des mathématiques qui
  sintéresse aux mesures des angles et des côtés
  d un triangle. Les mesures des angles étant
  données en degrés et les mesures des côtés sont
  données dans des unités de longueur connus (cm,
  m, km)
• Plusieurs sciences ou techniques se fondent sur
  la trigonométrie
• La géodésie
• La topographie
• L arpentage

4
Définition de ces termes

• La géodésie étudie la forme et les dimensions de
  la terre.
• La topographie représente sur plan des formes de
  terrain avec les détails de éléments naturels ou
  artificiels qu il porte.
• L arpentage mesure des éléments géométriques
  des parcelles de terrain, telles la superficie,
  les mesures des côtés.

5
Les pré-requis

• La somme des angles dans un triangle
• m?A m?B m??C 1800
• Types de triangles rectangle, isocèle,
  quelconque
• Théorème de Pythagore
• c2 a2 b2 (calcul de l hypoténuse)
• a2 c2 ? b2 (calcul de la mesure du côté
   a )
• a2 c2 ? a2 (calcul de la mesure du côté
   b )

6
UTILITÉ DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

• Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la
  longueur du coté dun triangle rectangle
  connaissant la longueur des deux autres cotés.

c
b
a
7
Rappel de Pythagore
AB 3 cm
BC ?
AC 7 cm
8
APPLICATION 1
AB 3 cm

• Le triangle ABC est rectangle en B. Daprès
  lénoncé du théorème de PYTHAGORE
• c2 b2 a2

BC ?
AC 7 cm
9
APPLICATION 1

• c2 a2 b2
• 72 32 b2
• 49 9 b2
• 49 - 9 b2
• 40 b2
• b2 4O

AB 3 cm
BC ?
AC 7 cm
10
APPLICATION 1
c2 a2 b2 72 32 b2 49 9 b2 49 - 9
b2 40 b2 b2 4O
AB 3 cm
BC ?
AC 7 cm
11
APPLICATION 1
c2 a2 b2 72 32 b2 49 9 b2 49 - 9
b2 40 b2 b2 4O b 40
AB 3 cm
BC ?
AC 7 cm
12
APPLICATION 1
c2 a2 b2 72 32 b2 49 9 b2 49 - 9
b2 40 b2 b2 4O b 40 b 6.32cm
AB 3 cm
BC ?
AC 7 cm
13
Notation dans un triangle

• Notation ? ABC
• Identification des angles par le symbole ?ACB
  
• Identification des côtés par des lettres
  minuscules Ex a , b , c

• B

c
a
C
A
b
14
Les Noms des Côtés

• Le côté opposé à langle
• est le côté qui ne touche pas langle.
• Le côté adjacent à langle
• est le côté qui touche langle. Mais ce nest pas
  lhypoténuse.
• Lhypoténuse
• est le côté le plus long dans un triangle
  rectangle. Lhypoténuse est toujours opposé à
  langle droite.

15
Les rapports trigonométriques

• Distinguer le côté opposé et le côté adjacent de
  l  angle aigu ?A , ainsi que l hypoténuse dans
  un triangle rectangle.

B
c ? hypoténuse
a?côté opposé
A
C
b?côté adjacent
16
Quel côté est opposé à langle de 20 degrés?
a
c
b
20
17
Quel côté est opposé à langle de 25 degrés?
a
b
25
c
18
Quel côté est opposé à langle de 60 degrés?
b
c
60
a
19
Quel côté est adjacent à langle de 70 degrés?
c
b
70
a
20
Quel côté est adjacent à langle de 15 degrés?
c
a
15
b
21
Quel côté est adjacent à langle de 45 degrés?
b
a
45
c
22
Quel côté est lhypoténuse?
y
z
x
23
Quel côté est lhypoténuse?
d
e
f
24
Quel côté est lhypoténuse?
t
r
s
25
Autres façon de trouver les mesures manquantes
dun triangle rectangle
26
Les rapports trigonométriques

• Calcul des rapports trigonométriques

27
Les rapports trigonométriques
Regarde le rapport entre chaque paire de côtés.
Langle de référence est langle x.
x
28
Les rapports trigonométriques
Regarde le rapport entre chaque paire de côtés si
je fait un triangle similaire mais deux fois plus
grand. Langle de référence est langle x.
10
x
Le rapport trigonométrique ne change pas quand un
triangle change de taille!
29
Le multiple avec des triangles similaires
Est-ce que ca marche si je multiplies le
triangles par 7
.60
.80
35
.75
x
Le rapport trigonométrique ne change pas quand un
triangle change de taille!
30
Les rapports trigonométriques

• À quoi ça sert?

• Calcul de la mesure dun angle à laide dun de
  ses rapports trigonométriques.

• Calcul de la mesure d un côté à l aide de la
  mesure d un angle aigu et d un côté.

31
Pause calculatrice

• Mettre la calculatrice en mode  degrés 
• Entrer la valeur du rapport trouvé.
• Appuyer sur la touche
• Appuyer sur la touche de

• Trouver la mesure d un angle dont on connaît
  lun des rapports trigonométriques.

DRG
2nd
SIN
COS
TAN
32
Sinus

• Cest le nom pour le rapport trigonométrique de
• Cest le longueur du côté oppose divise par le
  longueur de lhypoténuse

Opp Hyp
33
Cosinus

• Cest le nom pour le rapport trigonométrique de
• Cest le longueur du côté adjacent divise par le
  longueur de lhypoténuse

Adj Hyp
34
Tangente
Opp Adj

• Cest le nom pour le rapport trigonométrique de
• Cest le longueur du côté oppose divise par le
  longueur côté adjacent

35
Les rapports trigonométriques( Sinus )

• Sinus côté opposé
  hypoténuse
• Calcul du rapport sinus ?A 3?5 0,6
• Calcul de l angle aigu correspondant m?A 0,6
• donc, m?A 370

• Triangle rectangle

A
4
5
2nd
sin
C
B
3
36
Les rapports trigonométriques( Cosinus )

• Cosinus côté adjacent hypoténuse
• Calcul du rapport cosinus ?A 4?5 0,8
• Calcul de l angle aigu correspondant m?A 0,8
• donc, m?A 370

• Triangle rectangle

A
5
4
2nd
cos
B
C
3
37
Les rapports trigonométriques( Tangente )

• Triangle rectangle

• Tangente opposé adjacent
  
• Calcul du rapport tangente?A 3?4 0,75
• Calcul de l angle aigu correspondant m?A 0,75
• donc, m?A 370

2nd
tan
38
Pause calculatrice

• Mettre la calculatrice en mode  degrés 
• Entrer la valeur en degrées .
• Appuyer sur le rapport recherché

• Trouver le rapport trigonométrique d un angle
  donné

DRG
COS
SIN
TAN
39
Résumé des apprentissages

• Sinus d un angle le rapport de la mesure du
  côté opposé à l angle sur l a mesure de
  l hypoténuse.
• Cosinus d un angle le rapport de la mesure du
  côté adjacent à l angle sur l a mesure de
  lhypoténuse
• Tangente d un angle le rapport de la mesure du
  côté opposé à l angle sur la mesure du côté
  adjacent

40
TRIGONOMÉTRIE
COURS
LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES  LA
TRIGONOMETRIE
C
le coté en face de l'angle droit ou le plus
grand l'hypoténuse
le coté en face de l'angle ou coté opposé
B
A
H
O
S
le coté qui touche l'angle et l'angle droit ou
coté adjacent
hyp
/
opp

sin .
H
A
C
hyp
/
adj

cos .
A
O
T
adj
/
opp

tan .
41
Chapitre  TRIGONOMÉTRIE
COURS
ATTENTION
la disposition des cotés opposé et adjacent
dépend de l'angle utilisé dans les calculs
C
l'hypoténuse
Toujours au même endroit
adjacent
opposé
B
A
opposé
adjacent
42
Chapitre  TRIGONOMÉTRIE
A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ?

• calculer un angle 

langle peut être calculé,

• calculer un coté 

un autre coté peut être calculé
un autre coté peut être calculé
43
Résumé des apprentissages
Exemple 1 Pour le triangle BDE, détermines cos
B et la mesure de l'angle B.
E
d 13 cm
B
D
e 5 cm

• Si tu connais la mesure en degrés d'un angle, la
  touche COS
• de ta calculatrice te permet d'en déterminer
  le cosinus.
• Si tu connais le sinus de l'angle, la touche
  COS-1 de ta calculatrice
• te permet de déterminer la mesure en degrés de
  l'angle.

44
Résumé des apprentissages

E
adjacent
cos B
hypothénuse
d 13 cm
5cm
13 cm
5
B
D
e 5 cm
cos B
13
ltB 67o
45
Résumé des apprentissages
Exemple 2 Pour le triangle WXY, détermines la
longueur w
11 cm
46
Résumé des apprentissages
Exemple 2 Pour le triangle WXY, détermines la
longueur w
11 cm
adjacent
cos W
Hypothénuse
11
cos W
24
ltW 63o
Puisque, ltW 63o et ltX 90o , alors ltY 180o
- (90o 47o) 27o
w
cos Y
24
w
cos 27o
24
w 24(cos 27o) 21, la longueur de w est donc
21 cm.
47
Séance d entrainement

• Les choses se corsent ?
• Faites tout de suite une bonne séance
  d entraînement!

48
Choisir le bon rapport trigonométrique.
Commencer toujours par repérer langle connu ou
cherché
Par rapport à langle connu
Je connais
lhypoténuse
Je cherche
le côté opposé
Donc jutilise Sinus
Par rapport à langle connu
Je connais
le côté opposé
Je cherche
le côté adjacent
Donc jutilise Tangente
49
Je cherche la mesure du côté ES
Je connais
lhypoténuse
Je connais
le côté adjacent
Donc jutilise Cosinus
50

1. Résous ce triangle pour trouver la longueur du
   côté x

Tu dois trouver la longueur du côté opposé. Tu
sais la longueur de lhypoténuse.
17,4 cm
x
23
Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN?
Tu as appris que SIN opposé COS
adjacent TAN opposé
hypoténuse
hypoténuse adjacent
Parce que tu cherches le côté opposé et tu sais
lhypoténuse, tu choisis SIN. Tu utilises SIN
parce que SIN est le rapport entre lopposé et
lhypoténuse.
51
Tu as choisi SIN donc tu écris SIN 23
longueur du côté opposé longueur de
lhypoténuse SIN 23 x . 17,4
17,4 cm
x
23
Utilise ta calculatrice Appuie sur 2 et 3 et
puis appuie sur les bouton SIN Sur ton écran,
tu vois 0,3907311. Tu peux arrondir ce rapport
à 0,3907. Dans léquation, remplace SIN 23
par 0,3907
0,3907 x . Fais la
multiplcation à travers (cross multiply)
17,4 (0,3907) (17,4) x 6,79818
x La longueur du côté x est 6,8 cm
52
2. Résous ce triangle pour trouver la mesure de
langle ?.
Tu sais la longueur du côté adjacent à angle ? Tu
sais la longueur de lhypoténuse. Est-ce que tu
utilises SIN, COS ou TAN?
15,1 m
?
12,8 m
Tu as appris que SIN opposé COS
adjacent TAN opposé
hypoténuse
hypoténuse adjacent
Parce que tu sais le côté adjacent et tu sais
lhypoténuse, tu choisis COS. Tu utilises COS
parce que COS est le rapport entre ladjacent et
lhypoténuse.
53
Tu as choisi COS donc tu écris COS ?
longueur du côté adjacent longueur de
lhypoténuse COS ? 12,8 .
15,1
15,1 m
?
12,8 m
Utilise ta calculatrice Divise 12,8 par
15,1 0,8476821 Puis appuie sur les
bouton  2nd . Puis appuie sur le bouton
COS ? La réponse est  32,039548 
SIN ? 0,8476821 ? 32,039548
? 32,0
Langle ? mesure 32,0
54
Les angles - Trigonométrie

• Un angle délévation est un angle qui est mesuré
  vers le haut, par rapport à une ligne
  horizontale.

chat
Langle délévation
55

• Suzanne se situe à 120 m dun bâtiment. Elle
  observe, sous un angle délévation de 29, un
  chat qui se trouve au toit de limmeuble. Quelle
  est la hauteur du bâtiment?

chat
h
Suzanne
120 m
Langle délévation est 29.
56

• tg 29 h
• 120 m Le bâtiment a une
• h (0, 5543) (120 m) hauteur de 66, 5
  m.
• h 66, 5 m

chat
h
Suzanne
120 m
Langle délévation est 29.
57
Les angles - Trigonométrie

• Un angle de dépression est un angle qui est
  mesuré vers le bas, par rapport à une ligne
  horizontale.

Paul
F A L A I S E
angle de dépression
bateau
mer
58

• Paul se trouve en haut dune falaise. Il voit,
  sous un angle de dépression de 31, un bateau qui
  flotte dans la mer. Le bateau se situe à 650 m
  de la falaise. Quelle est la hauteur de la
  falaise?

Paul
angle de dépression est 31
F A L A I S E
bateau
650 m
mer

59

• Si langle de dépression est 31, alors
• langle A mesure ( 90 31) 59.

Paul
angle de dépression est 31
F A L A I S E
A 59
bateau
650 m
mer

60

• tg 59 650 m La falaise a une
• f hauteur de 390,6 m.
• (f )(1, 6643) 650 m
• f 390, 6 m

Paul
angle de dépression est 31
F A L A I S E
A 59
bateau
650 m
mer

61
Dans le livre bleu OMNIMATHS 10, regarde page
XXIV Résolution de problèmes
Tour x
Le côté de x est à angle 52 . Le
côté de 100 m est à angle 52 Lorsquon sait
la longueur du côté adjacent et la longueur de du
côté opposé, quel rapport utilise-t-on?
52
100 m
TAN 52 x Appuie sur 52 TAN
100 1,2799416 x Fais la
multiplication croisée
100 127,99416 x x 128
mètres La hauteur de la tour est 128 mètres.
62
Angle délévation
Cest langle entre lhorizon et la ligne
dobservation. Quand tu dessines un angle
délévation - tu commences à la ligne
horizontale - tu montes vers le haut pour faire
langle
La ligne entre les yeux de la personne qui
observe et lobjet observé.
ligne dobservation
La ligne est au-dessus de lhorizon.
Ligne horizontale
63
Angle de Dépression
Cest langle entre lhorizon et la ligne
dobservation. Quand tu dessines un angle de
dépression - tu commences à la ligne
horizontale - tu descends vers le BAS pour faire
langle
La ligne dobservation est la ligne entre les
yeux de la personne qui observe et lobjet
observé.
La ligne est au dessous de lhorizon.
ligne horizontale
64
Le côté x est _______ à langle de 60. La corde
est l
Page 244 15
Quand on a le côté opposé et lhypoténuse, on
utilise le rapport SIN
SIN 60 x . 25
25 m
Hauteur du cerf-volant X
1,5 m
x
0,8660254 x . 25
(25)(0,8660254) x
60
1,5 m
21,650635 x
21,7 x
Hauteur X 1,5 m Hauteur 21,7 m 1,5 m
23,2 m
65
Immeuble ou bâtiment
Page 244 16
x
Hauteur x 1,6 m
30
1,6 m
Le côté x est _______ à langle de 30. La côté
de 100 m est _______ à langle de 30.
100 m
Quand on a le côté opposé et le côté adjacent, on
utilise le rapport TAN.
TAN 30 x . 100
Hauteur x 1,6 m Hauteur 57,7 m 1,6
m Hauteur 59,3 m
0,5773503 x . 100
(100)(0,5773503) x
57,73503 x 57,7 x
66
Page 245 17
25 angle de dépression
65
On trouve langle de 65 par 90 -
25 65
x
367 m
25
Le côté x est par rapport à langle de 65
. Le côté de 367 m est l
Quand on a le côté adjacent et lhypoténuse, on
utilise le rapport COS.
COS 65 x . 367
0,4226183 x . 367
(367)(0,4226183) x 155,1009 x
155,1 x La hauteur de
lavion est 155,1 mètres.
67
Page 245 18
------------------------------------------
Sommet de la falaise (Top of cliff)
30 angle de dépression
60
60 m
30
La mer
Base de la falaise
x
Le côté x est par rapport à langle de
60. Le côté de 60 métres est le côté
par rapport à langle de 60.
Quand on a le côté oppsé et le côté adjacent, on
utilise le rapport TAN.
TAN 60 x . 60
1,7320508 x .
60 (60) (1,7320508) x
103,9 x
Le bateau se trouve à 103,9 mètres de la base de
la falaise.
68
À quelle hauteur par rapport au sol le
cerf-volant se situe-t-il?
sin 60º x
25 m 0,8660 x
25 m 0,8660(25) x x 21,65 m
25 m
x
h
21,65 m
60º
1,5 m
21,65 m 1,5 m 23,15 m
Le cerf-volant se situe de 23,15 m par rapport au
sol.
69
Quelle est la hauteur de limmeuble?
tg 30º x
100 m 0,5774(100) x x 57,74 m
x
57,74 m
h
30º
57,74 m 1,6 m 59,34 m
1,6 m
100,0 m
La hauteur de limmeuble est égale à 59,34 m.
70
Si elle regardait vers le haut à partir du sol,
quel serait langle délévation?
tg ? 59,34 m
100 m tg ? 0,5934 ?
30,68 ? 31º
59,34 m
?
100,0 m
Langle délévation serait égale à 31º.
71
Quelle est la hauteur de lavion?
tg 65º 367 m h
2,1445(h) 367 m h 367
m 2,1445 h
171,13 m
25º
65º
h
sol
367 m
La hauteur de lavion est égale à 171,13 m.
72
À quelle distance se trouve le bateau de
la base de la falaise?
30º
60º
tg 60º d
60 m (1,732)(60 m) d d
103,92 m
60 m
d
Le bateau se trouve à une distance de 103,92 m de
la base de la falaise.
73
Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien
est-il plus grand?
20,0 m
x
y
11º
6º
Chris
Kerry
100,0 m
200,0 m
tg ltx 20,0 m 100 m tg ltx
0,2000 lt x 11,31 x 11º
tg lty 20,0 m 200 m tg lty
0,1000 lt y 5,71 y 6º
74
Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien
est-il plus grand?
20,0 m
x
y
11º
6º
Chris
Kerry
100,0 m
200,0 m
Langle x est le plus grand. Il est à peu près
deux fois plus grand que langle y.