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UNIDAD 3
RELACIONES Y FUNCIONES
Función cuadrática, ecuación de segundo grado
Dr. Daniel Tapia Sánchez
Dr. Daniel Tapia Sánchez
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En esta actividad aprenderás a

• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos
  asociados al estudio de la función cuadrática.

• Graficar una función cuadrática, determinando
  vértice, eje de simetría y concavidad.

• Indicar las características gráficas de una
  parábola a través del análisis del discriminante.

• Determinar las intersecciones de la parábola con
  los ejes cartesianos.

• Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.

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Estos son los temas que estudiaremos
3.7 Función cuadrática
3.7.1 Intersección con el eje Y
3.7.2 Concavidad
3.7.3 Eje de simetría y vértice
3.7.4 Discriminante
3.8. Ecuación de 2º grado
3.8.1 Raíces de una ecuación cuadrática
3.8.2 Propiedades de las raíces
3.8.3 Discriminante
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3.7 Función Cuadrática
Es de la forma
f(x) ax2 bx c
y su gráfica es una parábola.
Ejemplos
a 2, b 3 y c 1
a) Si f(x) 2x2 3x 1
?
b) Si f(x) 4x2 - 5x - 2
a 4, b -5 y c -2
?
5
3.7.1. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) ax2 bx c ,
el coeficiente c indica el punto donde la
parábola intercepta al eje Y.
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3.7.2. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) ax2 bx c ,
el coeficiente a indica si la parábola es
cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Si a gt 0, es cóncava hacia arriba
Si a lt 0, es cóncava hacia abajo
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Ejemplo
En la función f(x) x2 - 3x - 4 , a 1 y
c -4.
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el
punto (0,-4) y es cóncava hacia arriba
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3.7.3. Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el
vértice de la parábola, y es paralela al eje Y.
Eje de simetría
Vértice
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Si f(x) ax2 bx c , entonces
a) Su eje de simetría es
b) Su vértice es
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Ejemplo
En la función f(x) x2 2x - 8, a 1, b
2 y c -8, entonces
a) Su eje de simetría es
x -1
?
?
b) Su vértice es
V ( -1, f(-1) )
?
V ( -1, -9 )
?
11
eje de simetría
x -1
f(x)
Vértice
V ( -1, -9 )
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Si la parábola es abierta hacia arriba, el
vértice es un mínimo y si la parábola es abierta
hacia abajo, el vértice es un máximo.
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3.7.4. Discriminante
El discriminante se define como
a) Si el discriminante es positivo, entonces la
parábola intercepta en dos puntos al eje X.
? gt 0
14
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intercepta al eje X.
? lt 0
15
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces
la parábola intercepta en un solo punto al
eje X.
? 0
16
3.8. Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de
la forma
ax2 bx c 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones
o raíces, que corresponden a los puntos de
intersección de la parábola f(x) ax2 bx c
con el eje X.
x1
x2
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Ejemplo
En la función f(x) x2 - 3x - 4 , la
ecuación asociada x2 - 3x - 4 0 , tiene
raíces -1 y 4. Luego, la parábola intercepta
al eje X en esos puntos.
x2
x1
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3.8.1. Raíces de una ecuación de 2 grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado
Ejemplo
Determinar las raíces de la ecuación x2 - 3x -
4 0
19
3 25
x1 4
x2 -1
También se puede obtener las raíces de la
ecuación factorizando como producto de binomio
x2 - 3x - 4 0
(x - 4)(x 1) 0
?
(x - 4) 0
ó (x 1) 0
x1 4
x2 -1
20
3.8.2. Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de
segundo grado de la forma ax2 bx c 0,
entonces
1)
2)
3)
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de
segundo grado, se puede determinar la ecuación
asociada a ellas. (x x1)(x x2) 0
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3.8.3. Discriminante
El discriminante se define como
a) Si el discriminante es positivo, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales
y distintas.
La parábola intersecta en dos puntos al eje X.
? gt 0
22
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática tiene no tiene solución real.
La parábola NO intersecta al eje X.
? lt 0
23
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces
la ecuación cuadrática tiene única solución.
La parábola intersecta en un solo punto al eje X.
? 0