CHAPITRE 4 Calcul litt

1
CHAPITRE 4 Calcul littéral et Identités
Remarquables
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Objectifs

• Factoriser et développer des expressions
• en utilisant les identités remarquables.

• Tester la validité dune factorisation
• ou dun développement.

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I. Les outils
1) La simple et la double distributivité
Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d
et k on a 
k x ( a b ) k x a k x b
( a b ) x ( c d ) a x c a x d b x c b
x d
Exemples
143 x 102
143 x ( 100 2 )
k x ( a b ) k x a k x b
143 x 100 143 x 2
14 300 286
14 586
4
102 x 209
( 100 2 ) x ( 200 9 )
( a b ) x ( c d ) a x c a x d b x c b
x d
100 x 200 100 x 9 2 x 200 2 x 9
20 000 900 400 18
21 318
A 3(- 6x 4)
B (2x 3)(3x - 4)
k x ( a b ) k x a k x b
( a b ) x ( c d ) a x c a x d b x c b
x d
-18x
12
6x²
- 8x
9x
12
6x²
x
- 12
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2) Règle de suppression des parenthèses
Dans un calcul, on peut supprimer les
parenthèses 

• précédées du signe et ce signe , sans changer
  
• le signe des nombres à lintérieur des
  parenthèses.

• précédées du signe - et ce signe -, en changeant
  
• chaque nombre à lintérieur des parenthèses en
• son opposé.

Exemple
A 8 (- 3 x ) - ( 4 - 3x )
8 (- 3 x ) - ( 4 - 3x )
8
3
x
4
3x
4x
1
6
3) Les trois identités remarquables
Quelques soient les nombres relatifs a et b on a 

(a b)² a² 2ab b²
(a - b)² a² - 2ab b²
(a b)(a b) a² - b²
Voir les démonstrations de ces identités dans le
cahier dexercices.
Exemples 
103²
( 100 3 )²
(a b)² a² 2ab b²
100²
2 x 100 x 3
3²
10 000 600 9
10 609
7
96²
( 100 - 4 )²
(a - b)² a² - 2ab b²
100²
- 2 x 100 x 4
4²
10 000 - 800 16
9 216
105 x 95
( 100 5 ) x ( 100 - 5 )
(a b)(a - b) a² - b²
100²
- 5²
10 000 - 25
9 975
8

• Développer une expression
• littérale

Développer une expression littérale, cest la
transformer en une somme de termes.
1) Développer une identité remarquable
Exemples 
Développer en utilisant les identités
remarquables
A (x 3)²
(a b)² a² 2ab b²
a est représenté par x  donc a² vaut
x²
x²
6x
9
b est représenté par 3  donc 2ab vaut
2 x x x 3 6x
et b² vaut 3² 9
9
B (4 - 3x)²
(a - b)² a² - 2ab b²
a est représenté par 4   donc a² vaut
4²16
16
- 24x
9x²
b est représenté par 3x   donc 2ab vaut
2 x 4 x 3 x 24 x

et b² vaut (3x )² 9x²
C (2x 3)(2x - 3)
(a b)(a - b) a² - b²
4x²
- 9
a est représenté par 2x   donc a² vaut
(2x )² 4x²
b est représenté par 3   donc b²
vaut 3² 9
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2) Application à des développements plus
complexes
Exemples 
Développer et réduire les expressions suivantes.
A (2x - 3)² (x 5)(3 - x )
(2x - 3)² (x 5)(3 - x )
(a - b)² a² - 2ab b²
( a b ) x ( c d ) a x c a x d b x c b
x d
4x² - 12x 9
3x x ² 15 - 5x
3x²
- 14x
24
11
B ( x - 3)( x 3) - (4 - 3x)²
( x - 3)( x 3) - (4 - 3x)²
(a - b)² a² - 2ab b²
(a b)(a - b) a² - b²
x² - 9 -
( 16 - 24x 9x² )
Règle de suppression des parenthèses précédées
du signe -
x² - 9
- 16 24x - 9x²
-8x²
24x
- 25
12

• Factoriser une expression
• littérale

Factoriser une expression littérale, cest la
transformer en un produit de facteurs.
1) Le facteur commun est apparent
Remarque  pour factoriser, il faut trouver dans
lexpression un facteur commun, puis utiliser la
formule de simple distributivité.
k a k b k ( a b )
Exemples 
Factoriser et réduire les expressions suivantes.
A 4x - 4y 8
4x - 4y 4x2
4( x - y 2 )
13
B x² 3x - 5x²
x x x x x 3 - x x 5x
x ( x 3 - 5x )
x (- 4x 3)
C (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 5x)
(1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 5x)
Règle de suppression des parenthèses précédées
du signe -
(1 - 6x) (1 - 6x) - (2 5x)
(1 - 6x) 1 - 6x - 2 - 5x
(1 - 6x)( - 11x - 1 )
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2) Le facteur commun nest pas apparent
Remarque  pour factoriser, il faut utiliser une
identité remarquable.
a² 2ab b² (a b)²
a² - 2ab b² (a - b)²
a² - b² (a b)(a - b)
Exemples 
Factoriser et réduire les expressions suivantes.
4x² 12x 9
(2x 3 )²
2x
3
a² 2ab b² (a b)²
avec a 2x et b 3
15
x² - 2x 1
(2x - 3 )²
x
1
avec a x et b 1
a² - 2ab b² (a - b)²
( )( - )
5x
7
5x
7
25x² - 49
a² - b² (a b) (a - b)
avec a 5x et b 7
A (2x 3)² - 64
a² - b² (a b) (a - b)

(2x 3)
(2x 3)
8
8
avec a (2x 3) et b 8
2x 3 82x 3 8
(2x 5)(2x 11)