Variables aleatorias y sus distribuciones

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Variables aleatorias y sus distribuciones

1. Variables aleatorias discretas
2. Media y varianza
3. La distribución binomial
4. Distribuciones continuas
5. La distribución normal
6. Una función de una variable aleatoria

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Características

• Una variable aleatoria es una función con valores
  numéricos y definida sobre un espacio muestral
• Una variable aleatoria discreta toma diversos
  valores con probabilidades especificadas por su
  distribución de probabilidad
• Utilidad de una v.a. reduce el espacio de
  muestra a uno más fácil de manejar
• Ejemplo En una familia de 3 hijos, cuál es la
  probabilidad de que haya un varón o menos?

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a) Variable aleatoria X Cantidad de varonesb)
Diagrama de su distribución de probabilidad
4
Variable aleatoria general X
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Variable aleatoria

• Frecuentemente interesa conocer más que el
  resultado de un experimento aleatorio, una
  función de dicho resultado.
• Una variable aleatoria es una función con valores
  numéricos y definida sobre un espacio muestral
• Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir
  la función como X
• X número de caras que resultan del
  experimento.

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Variable aleatoria

• Hemos definido una función del espacio muestral
  en la recta. Tales funciones X, cuyos valores
  dependen del resultado de un experimento
  aleatorio se llaman variables aleatorias.
• Si toma ciertos valores aislados de un intervalo,
  es v.a. discreta, sino continua.
• La distribución se puede representar como
• Tabla
• Diagrama
• Fórmula

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Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria

• La distribución de probabilidad de una variable
  aleatoria X es el conjunto de sus posibles
  valores numéricos x1, x2,,xn y las
  probabilidades correspondientes Pi, i1,2,,n tal
  que
• La colección de pares (xi,p(xi)) es llamada
  distribución de probabilidad.

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Media y Varianza

• Si el tamaño de la muestra aumentara
  ilimitadamente, la distribución de frecuencia
  relativa se fijaría en la distribución de
  probabilidad.
• A partir de la distribución de frecuencia
  relativa, se puede calcular la media y la
  varianza de la muestra (Cap. 2)
• Es natural que a partir de la distribución de
  probabilidad se calculen los valores análogos con
  las siguientes definiciones

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Definiciones
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Cálculo de la media y la varianza de X número de
varones
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Función de densidad de probabilidad

• La función de densidad de probabilidad de una
  variable aleatoria X se denota como
• Se define de modo tal que
• representa la probabilidad de ocurrencia de X en
  el intervalo

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Función de densidad de una Variable aleatoria

• Propiedades

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Esperanza de una variable aleatoria

• Sea X una V.A. continua que toma los valores
  x1,x2,xn con f.d. fx(xi), entonces
• Si X es una V.A continua entonces
• E(X) también se la conoce como media de X, o
  media de la población y se la nota E(X)µ

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Varianza de una variable aleatoria

• Sea X una variable aleatoria con función de
  densidad fx(x), definimos varianza de X
• Si X es una variable discreta
• Si X es una variable continua

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Varianza de una variable aleatoria

• La varianza sigma cuadrado es una medida de
  dispersión de los valores de la variable
  aleatoria con respecto a su centro de gravedad µ.
  
• Consideremos una variable aleatoria con la
  siguiente distribución de probabilidad.
• E(X)60.470.480.26.8
• Var(X)(6-6.8)20.4(7-6.8)20.4
• (8-6.8)20.20.56

X 6 7 8
f(x) 0.4 0.4 0.2
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(No Transcript)
17
Transformación lineal Y de una v.a. X
18
Asimetría
19
(No Transcript)
20
Distribuciones
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Función de distribución acumulada

• Se define como la probabilidad de que la variable
  aleatoria X sea menor o igual que algún valor
  particular.
• F(x)PXx
• Si X es una variable aleatoria discreta
• Como F(x) representa una probabilidad es claro
  que 0F(x)1 además

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Función de distribución acumulada

• Limite Fx0
  
  
  
• X?-oo
• Limite Fx1
  
  
  
• X?oo
• Si x1 lt x2 entonces Fx(x1) Fx(x2)
• La función acumulada para la variable aleatoria
  continua X será

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Distribuciones de variable discreta (Probability
Density Functions)
24
Distribuciones de variable continua
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Procesos de Bernoulli

• Hay un cierto número de fenómenos aleatorios
  conocidos como procesos de Bernoulli.
• Se denominan ensayos de Bernoulli, a aquellos
  ensayos independientes que repetidos un número
  fijo de veces tienen las siguientes
  características
• Hay sólo dos resultados posibles éxito o fracaso
• La probabilidad de éxito es la misma en cada
  ensayo. Independencia.

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Ensayos de Bernoulli

• Tirar una moneda, suponiendo que la moneda es
  perfecta, cada tirada se denomina un ensayo y
  tiene dos posibles resultados uno de ellos se
  considera éxito. P(E)p y P(F)q
• Extraemos de una urna con 4 fichas rojas y 3
  azules una bolilla anotamos su color y la
  devolvemos a la urna. P(roja)4/7 y P(azul)3/7
• Proceso de fabricación de artículos electrónicos
  elección de una muestra, defectuoso o no
  defectuoso.

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Distribución Binomial para v.a. discretas

• En general, para n repeticiones independientes de
  un ensayo de Bernoulli, la probabilidad de
  obtener v éxitos está dada por
• Coeficientes binomiales

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Distribución Binomial

• Se define la variable aleatoria
• X número de éxitos en las n repeticiones,
• Se dice que sigue una distribución binomial o
  sigue un Modelo Binomial con parámetros n y p.
• E(X)np
• Var(X)npq
• La distribución acumulada es

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Ejemplos de variables binomiales
EJEMPLO
30
EJEMPLO

• Consideremos el experimento de lanzamiento de dos
  dados

1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
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Distribuciones de variable continua
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Histograma de frecuencia relativab) Trazado a
nueva escala en la densidad de f.r.
Ejemplo continuo
La suma de frec relativas es 1
Conviene cambiar!
Cubre un área total igual a 1
Nueva escala!
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• Qué sucede con la densidad de frecuencia relativa
  de una v.a. continua a medida que aumenta el
  tamaño de la muestra?
• Influyen menos las fluctuaciones de la suerte.
• Permite una definición más clara de las células
• Mientras el área permanece fija, la densidad de
  frecuencia relativa tiende a la función de
  densidad de probabilidad.

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Relación entre la densidad de frecuencia relativa
y la densidad de probabilidad
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Distribución normal (curva de Gauss)
Curva campana simétrica
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Distribución Normal Standard

• Una variable con distribución normal estándar
  (µ0 s1) se nota con la letra Z.
• Si
• Conversión la variable Z se define como
  
• Para que tenga una distribución Normal estándar.

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Efectos de escala
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Distribución Normal

• Se ve que -como en cualquier distribución
  continua- la probabilidad de que P(Xa)0 para
  cualquier a. Luego lo que se calculan son áreas
  (gráfico).

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Distribución Normal
40
(No Transcript)
41
Ejemplos
42
Ejemplo
Complemento
Simetría
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Distribución Normal

• Es la más usada de las distribuciones continuas
  de probabilidad, ya que es la distribución límite
  de varios modelos, incluso discretos y ajusta muy
  bien a muchas situaciones reales. Su función de
  densidad es la siguiente
• Su forma es la conocida campana de Gauss. Una vez
  que se especifican la media µ y el desvío
  estándar s, la curva normal queda completamente
  determinada.
• Si una v.a. continua X sigue una distribución
  Normal con parámetros µ y s, lo denotamos como

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Distribución Normal

• Las cuatro distribuciones del gráfico son
  normales, con distintos valores de la media y la
  desviación típica. La verde es la "normal
  reducida", de media cero y desviación típica uno.
  

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Distribución Geométrica

• Definimos sobre O , la variable aleatoria X que
  denota el número de repeticiones necesarias hasta
  obtener el primer éxito. Es claro que dicha
  variable asume los valores 1,2,3,.etc. Esta
  variable aleatoria así definida sigue la
  distribución
• q1-p
• Esta variable con distribución geométrica tiene
  las siguientes propiedades

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Distribución de Poisson

• El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado
  a menudo para variables aleatorias distribuidas
  en el tiempo o en el espacio. Por ej Número de
  bacterias por cm3 de agua, número de accidentes
  con motocicletas por mes, etc.
• Para que el modelo de Poisson esté presente debe
  verificar lo siguiente
• Los sucesos que ocurren en un intervalo (de
  tiempo, región del espacio, etc) son
  independientes de los que ocurren en cualquier
  otro intervalo (de tiempo, región del espacio,
  etc)
• La probabilidad de que un suceso se presente, es
  proporcional a la longitud del intervalo.
• La probabilidad de que uno o mas sucesos se
  presenten en un intervalo muy pequeño es tan
  pequeña que puede despreciarse.

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Distribución de Poisson
48
Distribución de Poisson

• La función de densidad de probabilidad es
• 
  (1)
• E(X)? Var(X) ?
• La función de distribución acumulada (fda) esta
  dada por

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Proceso de Poisson

• Considere eventos aleatorios tales como el arribo
  de aviones a un aeropuerto, el arribo de barcos a
  un puerto, el arribo de llamadas a una central,
  la falla de máquinas en una fábrica, etc.
• Estos eventos pueden ser descriptos por una
  función de conteo N(t) definida para todos los t
  gt0.
• Esta función de conteo representará el
  número de eventos que ocurrirán en 0,t.
• El tiempo cero es el punto en el cual la
  observación comienza, ya sea que un arribo ocurra
  o no en ese instante.
• Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de
  Poisson, la probabilidad de que N(t)n es
• (2)
• 
  

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Función de Densidad

• Si comparamos la ecuación (1) con (2) vemos que
  N(t) tiene una distribución de Poisson con
  parámetro a?t, por lo tanto su media y su
  varianza son
• EN(t) a ?t VN(t)

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Distribución uniforme

• Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro
  de un intervalo, todos ellos con la misma
  probabilidad.
• Una variable aleatoria X esta uniformemente
  distribuida en el intervalo (a,b) si su función
  es la siguiente
• La función de distribución acumulada esta dada
  por
• La media y la varianza de la distribución están
  dadas por

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Distribución uniforme
53
Distribución triangular

• La esperanza es

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Distribución Exponencial

• Esta distribución ha sido usada para modelar
  tiempos entre arribos cuando los arribos son
  totalmente aleatorios (ver relación con Poisson).
  
• Su función de densidad de probabilidad esta dada
  por
• La fda se define como

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Distribución Exponencial
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Distribución chi-cuadrado

• Brinda un criterio de bondad del ajuste
• Se usa para decidir si ciertas variables son
  independientes o no
• Def. sea Z1, Z2, Zk k distribuciones normales
  estándar. Entonces
• es la distribución chi-cuadrado con k grados de
  libertad

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Distribución para k1,4,6,8

• La distribución no es simétrica
• Es sesgada a la derecha
• Para valores grandes de k la distribución se
  acerca a la distribución normal

K1
K4
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Lectura obligatoria

• Cap. 4 Wonnacott - Págs 77-100
• Cap. 6 Rao Págs 452-487