Pr

1
Application du filtre particulaire à un modèle de
culture dynamique (AZODYN)
Cédric Naud

• UMR dAgronomie INRA / INA P-G à
  Thiverval-Grignon
• Marie-Hélène Jeuffroy (Directrice de thèse)
• David Makowski (Encadrant principal)

2
Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
3
Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
4
Modèle utilisé AZODYN
Matière sèche sortie-hiver Reliquat dN minéral
sortie-hiver
E N T R E E
Caractéristiques du sol (Argile, CaCO3, N)
Climat (température, rayonnement, pluviométrie)
Fertilisation Azotée (Date et Dose)
Pratique agricole Nature du précédent
AZODYN
S O R T I E
Rendement Teneur Prot NGrains/m² Poids 1000Gr
MS QN INN LAI
MS QN MSG QNG
Maturité physiologique
Sortie hiver
Floraison
Épi 1cm
Gonflement
5
Modèle utilisé AZODYN

• Matière sèche MS (calculée en Kg/Ha)
• Quantité dAZOTE QN (calculée en Kg/Ha)
• Azote Cumulé dans le sol Ncumu (calculée en
  Kg/Ha)

6
Modèle utilisé AZODYN

• Indice de nutrition azotée INN

• ? 69 paramètres du modèle.

35 paramètres pour le calcul des variables du
modèle durant la période  sortie hiver  à la
date de floraison.
7
Base de données

• Données collectées à partir dexpérimentation
  issues de
• La thèse de Aude Barbottin 2004 (Essais 2001
  et 2002)
• De travaux effectués par Marie-Hélène
  Jeuffroy et
• Christine Bouchard (AI). Essais 1995, 1996,
  1998, 1999

• Site géographique Grignon
• 6 Années dessais 1995-96-98-99-2001-2002
• 2 stratégies de fertilisation
• Excepté pour lannée 2002.
• 2 variétés Arches (années 98, 01, 02) et
  Soissons (toutes les années)
• 16 combinaisons
  AnnéeVariétéFertilisation
• 5 à 15 dates de prélèvements effectués de
   sortie hiver  à Floraison.

8
Base de données
1.5
Indice de nutrition azotée
1.0
0.5
0.0
0
20
40
60
80
100
120
Date de sortie hiver à floraison
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Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
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Définition du modèle stochastique

• 
  
• (1)
•       
• f fonction non linéaire de Xt-1
•     processus indépendant
• Linitialisation du modèle ( t0 ) correspond à
  la date de  sortie hiver 
• Limplémentation du modèle sarrête à floraison
  

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Définition dune mesure
(2)

• H une matrice p3 qui décrit le niveau
  dinformation dont on dispose sur les mesures.
  Exemple
• , signifie que nous
  avons à disposition deux types de
• mesures MS et QN
  
• quelconque de
  

12
Distribution du modèle
Variables estimées à partir les observations de
chaque situation

• Propriété du modèle Processus de Markov
• distribution
  de létat initial
• 
  
• 
  
• 
  loi de
  transition
• 
  
• 
  loi des observations. fonction de
  vraisemblance

Idée Assimiler les observations dans le modèle
stochastique pour corriger les variables
détat, i.e la loi à posteriori (appelé aussi
Filtre optimal)
13
Filtre Optimal
Calcul de la loi à priori (équation de
Chapman-Kolmogorov)   P(Xt m1t-1) ?
P(Xt Xt-1) P(Xt-1 m1t-1) d Xt-1
(3)   Calcul de la loi à posteriori de Xt par le
théorème de Bayes   P(Xt m1t) P(mt Xt)
P(Xt m1t-1) / ? P(mt Xt) P(Xt m1t-1) d Xt
(4)   Problème - Xt est diffusé via
un processus non linéaire f. Pas de solution

analytique à ce calcul -
Evaluation dintégrale complexe sur dXt où Xt ?
R3. Idée Obtenir une approximation de ces
intégrales par des méthodes de Monte Carlo.
Handschin, J.E and Mayne, D. Q (1969). Monte
Carlo techniques to estimate the conditional
expectation in multi-stage non-linear filtering.
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Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) et base de données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
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Filtre Particulaire

• Procédure  Sequential Importance Sampling 
  (SIS)
• A. Doucet - On sequential simulation-based method
  for bayesian filtering 1998
• Principe des procédures Monte Carlo pour
  lestimation despérance.
• processus markovien de
  distribution
• et de probabilité de transition
• observations indépendantes
  conditionnellement aux
• Soit f une fonction intégrable par rapport à
  , son espérance
• Soit N trajectoires
  tirées dans
• 
  
• 
  loi forte des grands nombres

16
Filtre Particulaire
Tirage aléatoire selon une fonction
dimportance Avec Soit N trajectoires
tirées
dans Remarque - Estimation biaisée mais
consistante par la loi des grands nombres. J.
Geweke. Bayesian Inference in econometrics models
using Monte Carlo Integration (1989).


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Filtre Particulaire
Procédure  Sampling Importance Resampling 
(SIS-R) Procédure identique à SIS avec une étape
de  bootstrap , i.e échantillonnage des
particules équipondérées dans la loi empirique
Prise en compte des observations pour
létape dévolution des particules Perte
de lindépendance des particules N. Gordon, D.
Salmond, A. Smith. Novel approach to
nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation.
1993 Avantage Réduction des problèmes de
dégénérescence rencontrés par SIS.
18
Filtre Particulaire
Filtre particulaire avec Interaction
P. Del Moral, G. Rigal, G. Salut. Estimation et
commande optimale non-linéaire. 1992
Cas particulier de la procédure SIS-R
Les particules sont générées selon dynamisme du
système.
Calcul des poids simplifié.
Schéma récursif
19
Mise en œuvre du Filtre Particulaire
Etape 1 Initialisation et évolution
stochastique Tirage aléatoire i.i.d dun
N-échantillon dans la
distribution P(X0) Tirage aléatoire i.i.d dun
N-échantillon dans la
distribution de ?  
Tirage dun N-échantillon
dans la distribution de ? jusquà ce
que t t1(temps de la première observation)
20
Mise en œuvre du Filtre Particulaire
Etape 2 Correction (pondération) On dispose
de et plus exactement
de On réajuste les poids précédemment définis à
laide la fonction de vraisemblance

(poids dimportance)

Etape 3 Redistribution. Tirage aléatoire dun
N-échantillon dans la
distribution empirique
21
Mise en œuvre du Filtre Particulaire
Etape 4 Estimation On dispose à tout moment t
dun échantillon iid de
poids identiques.
Estimateur dune fonction intégrable
En particulier, on peut estimer ,
, , ainsi que
les variances et leurs intervalles de confiance
ou encore les modes.
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Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) utilisé et base de
données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
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Objectif
On dispose de deux modèles - Azodyn (type
mécaniste)
- modèle stochastique Mêmes sorties
pour les deux modèles. On dispose, sur chacune
des 16 situations, plusieurs mesures (MS et QN) à
plusieurs dates de prélèvement (Sortie hiver à
Floraison). Objectif Comparer la qualité
prédictive du modèle agronomique AZODYN au modèle
Stochastique avec utilisation de données en
cours de saison (Filtre Particulaire avec
interaction). Seules les mesures de sortie hiver
à Gonflement (exclus) sont utilisés par le
filtre. Les mesures de Gonflement (inclus) à
floraison sont utilisées pour comparer la
prédiction des deux modèles
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Plan dexpérience
12 scénarios sont envisagés

• On dispose de toutes les mesures avant la
  période de gonflement
• On ne dispose que de celle précédant la période
  de gonflement

• On dispose des mesures de matière sèche
  uniquement
• On dispose des mesures dazote absorbé
  uniquement
• On dispose des 2 types de mesure

• Toutes les variables dentrée sont connues
• Quelques unes sont inconnues

16 situations (AnnéeVariétéFertilisation)
Chacun des paramètres (C1, C2, C3) est choisi à 3
niveaux (0, 0.5, 1) (27 combinaisons de
paramètres)
Filtre Particulaire avec interaction à 5000,
10000 puis 20000 particules
2 jours et 4 heures pour la simulation de
lensemble des scénarios envisagés
25
2
-
m
1200
.
g
-
Azodyn
-
Filtre Particulaire
Matière sèche
800
Observations en cours de saison
Observations à Prédire

400
0
0
20
40
60
80
100
120
2
-
m
30
.
g
Azote absorbé
20
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
Indice de nutrition azotée
1.3
1.1
0.9
0
20
40
60
80
100
120
Date de sortie hiver à floraison
Figure 1 Comparaison des prédictions de MS, QN
et INN pour lannée 1998 de la variété Soissons
dans une stratégie de fertilisation réduite dune
simulation Azodyn à un filtre particulaire à
20000 particules où toutes les variables dentrée
sont connues, toutes les mesures (MS et QN) avant
gonflement sont utilisées et avec (C1, C2,
C3)(1/2,1/2,1/2)
26
Figure 2 Comparaison variables
prédites/observées Azodyn et Filtre particulaire
avant Gonflement toutes situations confondues
27
Figure 3 Comparaison variables
prédites/observées Azodyn et Filtre particulaire
après Gonflement toutes situations confondues
28
Présentation de diverses simulations
Root Mean Square Error RMSE
29
Présentation de diverses simulations
Comparaison de la prédiction des variables détat
MS, QN et INN à Gonflement. (N20000)
Mesure(s) Utilisée(s) Combinaisons Combinaisons Combinaisons RMSE RMSE RMSE
MS (g/m²) QN (g/m²) INN
AZODYN AZODYN AZODYN 141.97 4.925 0.144
C1 C2 C3
MS 0.5 0.5 0.5 90.56 5.02 0.195
QN 0.5 0.5 0.5 124.42 2.80 0.114
MS et QN 0.5 0.5 0.5 97.9 3.06 0.094
MS 0.5 1 1 85.9 4.72 0.187
QN 0.5 1 1 119.57 2.59 0.106
MS et QN 0.5 1 1 81.96 2.54 0.083
MS 1 1 1 93.23 5.58 0.225
QN 1 1 1 122.63 2.77 0.112
MS et QN 1 1 1 80.53 2.69 0.087
30
Présentation de diverses simulations
Comparaison de la prédiction des variables détat
MS, QN et INN à Gonflement. (N20000)
Mesure(s) Utilisée(s) Combinaisons Combinaisons Combinaisons RMSE RMSE RMSE
MS (g/m²) QN (g/m²) INN
AZODYN AZODYN AZODYN 141.97 4.925 0.144
C1 C2 C3
QN toutes 0.5 0.5 0.5 124.42 2.80 0.114
QN dernière mesure 0.5 0.5 0.5 129.51 2.99 0.117
QN toutes 0.5 1 1 119.57 2.59 0.106
QN dernière mesure 0.5 1 1 131.33 2.71 0.106
MS et QN toutes 0.5 0.5 0.5 97.9 3.06 0.094
MS et QN dernière mesure 0.5 0.5 0.5 105.17 3.22 0.092
MS et QN toutes 0.5 1 1 81.96 2.54 0.083
MS et QN dernière mesure 0.5 1 1 95.57 2.96 0.087
31
Présentation de diverses simulations
Comparaison de la prédiction des variables détat
MS, QN et INN à Gonflement et à Floraison.
N Combinaisons Combinaisons Combinaisons RMSE Gonflement RMSE Gonflement RMSE Floraison RMSE Floraison
QN (g/m²) INN QN (g/m²) INN
AZODYN AZODYN AZODYN 4.925 0.144 4.889 0.104
C1 C2 C3
5000 0.5 0.5 0.5 3.32 0098 3.22 0.067
10000 0.5 0.5 0.5 3.24 0.095 3.32 0.077
20000 0.5 0.5 0.5 3.06 0.094 3.21 0.080
5000 0.5 1 1 2.79 0.089 2.96 0.086
10000 0.5 1 1 2.80 0.091 3.12 0.112
20000 0.5 1 1 2.54 0.083 3.00 0.107
5000 1 1 1 2.61 0.083 3.27 0.096
10000 1 1 1 2.82 0.091 2.99 0.091
20000 1 1 1 2.69 0.087 3.00 0.092
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Plan de lexposé
1. Introduction
2. Modèle Agronomique (AZODYN) utilisé et base de
données
3. Définition du modèle stochastique
4. Filtre Particulaire
5. Présentation de diverses simulations
6. Perspective
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Conclusion et Perspective

• Nette amélioration de la prédiction du filtre
  particulaire avec interaction
• comparativement à Azodyn dans beaucoup de
  scénarios
• Le nombre de date de mesure nest pas un facteur
  important. La dernière peut
• Suffire.
• Le type de mesure influe sur la qualité
  prédictive du filtre
• Le nombre de particule choisi na pas mis en
  évidence une amélioration
• significative du filtre.

Peu des combinaisons de paramètre (C1, C2, C3)
Augmenter le nombre de niveaux des paramètres
(C1, C2, C3)
Quelle est la sensibilité du filtre aux
paramètres (C1, C2, C3), au nombre de particules
N?
Estimation conjointes variables détat X et
paramètres (C1, C2, C3)
Assimilation de données avec des mesures non
directement liées aux variables détat