Teoria Cinetica dei gas

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Teoria Cinetica dei gas
La teoria cinetica stabilisce un collegamento
tra il comportamento macroscopico di un gas e il
suo comportamento microscopico. Le grandezze
macroscopiche Pressione e Temperatura sono
strettamente dipendenti dalle grandezze
microscopiche N numero delle molecole e Velocità
delle molecole.
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Le tappe fondamentali dellinterpretazione
cinetica del calore
Daniel Bernoulli spiegazione della legge di
Boyle col modello cinetico (pressione di un gas
come risultato degli urti delle molecole sulle
pareti del contenitore) (ignorata per il
prevalere del modello statico proposto da
Newton)
1738
1820

• John Herapath riproposta dei risultati di
  Bernoulli,
• calcolo della velocità di una molecola didrogeno

1827
Robert Brown scoperta del moto Browniano

• J.R.Joule equivalenza tra calore ed energia
  meccanica
• abbandono definitivo della teoria del calorico
• riproposta del lavoro di Herapath

1848
R.Clausius sulla natura di quel particolare
moto che chiamiamo calore fondamenti della
moderna teoria cinetica
1856
J.C.Maxwell - Ludwig Boltzmann sviluppo
dettagliato della teoria matematica Meccanica
statistica
1861
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Le tappe fondamentali dellinterpretazione
cinetica del calore
J.Perrin studio del moto browniano e
determinazione del numero di Avogadro
1900
Otto Stern - Zartmann - etc. conferme
sperimentali della legge di Maxwell per la
distribuzione statistica delle velocità molecolari
1920
nascita e sviluppo della Meccanica Quantistica
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La teoria cinetica classica costituisce
lultimo trionfo della meccanica newtoniana nella
descrizione dei fenomeni naturali anche i
fenomeni microscopici possono essere affrontati
e spiegati sulla base delle leggi di Newton e
dei principi di conservazione
Alcune sue previsioni non sono però in accordo
con i dati sperimentali solo lo sviluppo della
meccanica quantistica ha potuto fornire una
descrizione pienamente soddisfacente dei fenomeni
su scala atomica
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I ritratti dei personaggi che hanno contribuito a
questa parte della storia della Fisica

• Boltzmann

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Avogadro Bernoulli Brown
Clausius
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Joule MaxwellStern
Perrin
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Il modello meccanico di un gas
Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed
i solidi, il comportamento dei gas appare
indipendente dalla specie chimica. La bassissima
densità, la capacità di espandersi
illimitatamente, il comportamento semplice e
regolare al variare di temperatura e pressione
portano a concludere che, nello stato gassoso, le
molecole siano sostanzialmente indipendenti e
libere, che le forze fra di esse agiscano, a
breve distanza, solo nellurto. Ciò conduce a
formulare un primo modello meccanico fondato
sulle seguenti ipotesi

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide
  piccolissime (punti materiali) di massa m
• Il loro numero N è così elevato da essere
  statisticamente significativo
• Le molecole si muovono in modo completamente
  casuale obbedendo alle leggi di Newton
• Lurto delle molecole con le pareti del
  contenitore è elastico (si conserva lenergia
  cinetica)
• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto
  alla distanza media fra esse in altri termini il
  volume complessivo delle molecole è trascurabile
  rispetto al volume totale occupato dal gas

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• Lurto delle molecole contro le pareti
  rispetta le leggi della riflessione

• Tutte le molecole sono di ugual massa

• il moto delle molecole non ha direzioni
  privilegiate

e infine

• le molecole non si urtano fra loro

Labbandono di questultima ipotesi porta ad un
sostanziale raffinamento del modello, con
conseguenze estremamente significative
il modello di gas
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Lorigine della Pressione
La pressione esercitata dal gas è dovuta agli
urti delle molecole contro le pareti del
contenitore.
Ricordiamo dalla meccanica che
Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto
con velocità v entro una scatola cubica di lato
L
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Nellurto contro la parete di destra,
perpendicolare allasse X, essa subisce una
variazione della quantità di moto
forza agente sulla particella in 1 urto
La variazione della q. di moto della parete in 1
urto
forza agente sulla parete in 1 urto
( 3 principio della dinamica)
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Esaminiamo attentamente lurto contro la parte 1
Urto
Lurto rispetta le leggi della riflessione 1-
raggio incidente, raggio riflesso, normale alla
sup. riflettente, nel punto dìncidenza, sono
complanari, 2- angolo incidenza angolo
riflessione
Lurto è elastico Ec iniziale Ec finale ?
Viniziale V finale
Consideriamo la variazione della q. di moto della
molecola
La variazione della q. di moto della parete in 1
urto
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Dopo lurto la molecola si muove verso la parete
opposta con velocità vx, e, dopo un altro urto,
torna indietro verso la parete 1 Quindi percorre
la distanza 2L con velocità vx impiegando un
tempo ?t 2L/vx Pertanto la forza media
esercitata dalla molecola contro la parete 1 è
Che determina la pressione
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La formula precedente fa riferimento ad una sola
molecola. Per la pressione totale dovremo tener
conto del contributo di tutte le molecole che
però hanno velocità diverse e in generale
variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione
delle velocità rimane costante e, quindi, anche
la velocità media rimane costante, pertanto
invece della velocità vx faremo riferimento alla
velocità media
Distribuzione velocità
E tenendo conto di tutte le molecole
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Siccome vx è una delle tre componenti della
velocità v
e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente
equivalenti, cioè, ogni direzione è ugualmente
probabile,
(teorema di Pitagora)
avremo
v
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(ove è il valore medio del
quadrato della velocità. Indicando con Ec
lenergia cinetica media di una molecola )
Allora, in un gas ideale, la pressione è
direttamente proporzionale al numero delle
molecole, inversamente proporzionale al volume e
La pressione di un gas è direttamente
proporzionale allenergia cinetica media delle
sue molecole.
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E portando al primo membro il volume V
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Energia cinetica e temperatura
Teoria Cinetica (ipotesi teorica)
Equazione di stato dei gas (risultato
sperimentale)
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La temperatura assoluta è (se la deduzione è
corretta !), direttamente proporzionale alla sola
energia cinetica media molecolare. Scaldando un
gas aumentiamo la velocità media delle sue
molecole, raffreddandolo diminuiamo la velocità
media delle molecole.
Energia cinetica media di una molecola
Si ha anche Energia di una mole Energia
totale gas
Acquista un significato chiaro la nozione di
temperatura assoluta !
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Calcolo delle velocità molecolari
A che velocità si muove, in media, una molecola
di Ossigeno ( O2 ) alla temperatura di 27 C ?
(T27 C 300 K)
se
Velocità quadratica media (radice quadrata della
media dei quadrati delle velocità)
Massa di 1 molecola
massa molecolare
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per lOssigeno
e una molecola dIdrogeno ( H2 ) ?
(a parità di temperatura lenergia cinetica media
è la stessa, ma la velocità media è inversamente
proporzionale alla radice quadrata della massa
molecolare)
In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e
Ossigeno 16O) tutte le molecole possiedono la
stessa en. cinetica media, ma le molecole di
azoto, essendo più leggere, sono mediamente più
veloci.
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Energia interna di un gas ideale
Lenergia interna di una sostanza è la somma di
tutte le energie potenziali, cinetiche,
rotazionali, delle molecole che la compongono
Ad ogni grado di libertà componente
dellenergia di una molecola è associata
unenergia pari a ½ kT
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In un gas ideale (monoatomico) le uniche
interazioni sono gli urti perfettamente elastici,
non cè energia potenziale e le molecole hanno
solo energia traslazionale nelle tre direzioni
dello spazio. Lenergia totale del sistema è la
somma dellenergia cinetica nelle tre direzioni
di moto, 3 gradi di libertà
oppure
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Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di
libertà complessivi 3 traslazionali nelle tre
direzioni dello spazio e 2 rotazionali.
quindi
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Negli urti tra molecole si hanno continui scambi
di energia cinetica ma il valore medio per
molecola di tale energia e quello complessivo
restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il
calcolo della distribuzione statistica delle
velocità molecolari in un gas, il cui andamento
dipende solo dalla temperatura
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CENNI STORICI SULLE INTERPRETAZIONI FISICHE DEL
MOTO BROWNIANO DIVERSE DA QUELLA
CINETICO-MOLECOLARE -Dopo lesclusione (peraltro
non completa) delle interpretazioni vitalistiche
del moto browniano, varie interpretazioni di tipo
fisico iniziarono a essere proposte intorno alla
metà dellOttocento. -Tra le possibili cause del
fenomeno, furono ipotizzate la capillarità,
levaporazione, linterazione con la luce e
lelettricità.
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LINTERPRETAZIONE CINETICO-MOLECOLARE DEL MOTO
BROWNIANO E LE SUE DIFFICOLTÀ -Intorno al 1870,
vari autori suggerirono la teoria
cinetico-molecolare del calore come possibile
base per la spiegazione del moto
browniano. -Secondo la teoria cinetico-molecolare
del calore, sviluppata soprattutto da James
Joule (1818-1889), Rudolf Clausius (1822-1888),
James Clerk Maxwell (1831-1879) e successivamente
da Ludwig Boltzmann (1844-1906), il calore è la
manifestazione fenomenologica di moti caotici
compiuti dalle molecole dei corpi.   -Nel caso di
un gas perfetto monoatomico, si ricava in
particolare che la sua temperatura assoluta è
direttamente proporzionale allenergia cinetica
media degli atomi di cui il gas si compone. -In
questo contesto teorico, il moto browniano viene
spiegato come effetto degli urti che i corpuscoli
subiscono da parte delle molecole del mezzo
circostante in virtù del moto di agitazione
termica che esse possiedono.
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-Va sottolineato il fatto molto importante che
lapplicazione della teoria cinetico-molecolare
del calore al moto browniano fu un passo
tuttaltro che banale. -Utilizzando infatti le
velocità osservate nei corpuscoli browniani
(dellordine del ?/sec per corpuscoli di
dimensioni lineari intorno al ?), si può ricavare
il valore della loro energia cinetica media,
ottenendo per esso un valore circa 100.000 volte
più piccolo di quello che dovrebbe essere in base
alla teoria cinetico-molecolare del
calore.   -Ciò deriva dal fatto che i nostri
sensi ci permettono di rilevare non lo
spostamento reale dei corpuscoli, ma solo lo
spostamento risultante su tempi lunghi rispetto a
quelli in cui il movimento si verifica. -Come
Jean Perrin (1870-1942) ebbe a scrivere nel 1909,
gli aggrovigliamenti della traiettoria sono così
numerosi e rapidi che è impossibile seguirli e la
traiettoria osservata è sempre infinitamente più
semplice e più corta della traiettoria reale.
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SUPERAMENTO DELLE DIFFICOLTÀ DELLA
INTERPRETAZIONE CINETICO-MOLECOLARE DEL MOTO
BROWNIANO -Le difficoltà segnalate condussero
allo sviluppo di nuovi metodi teorici che resero
effettivamente possibile inquadrare il moto
browniano nellambito della teoria
cinetico-molecolare del calore.   -Insieme ai già
nominati Einstein e Perrin, Marian Smoluchowski
(1872-1917) fu tra i principali artefici
dellestensione coerente della teoria
cinetico-molecolare del calore al moto
browniano.
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LA FORMULA FINALE DELLA TEORIA EINSTEINIANA DEI
MOTI CORPUSCOLARI -Con metodi sofisticati, la
teoria dei moti corpuscolari che Einstein elaborò
nella memoria del 1905 conduce a una formula
finale che permette di calcolare lo spostamento
medio dei corpuscoli su intervalli temporali di
durata pari a quella delle osservazioni
macroscopiche.   -Risulta in particolare che lo
spostamento quadratico medio dei corpuscoli
(grandezza calcolabile a partire dalle
osservazioni) è una funzione semplice di costanti
universali e di parametri misurabili  
(R, N, T, t, k, r), con   R costante dei gas
perfetti, N numero di Avogadro, T temperatura
assoluta, t tempo in cui lo spostamento
quadratico medio dei corpuscoli avviene, k
viscosità del liquido in cui i corpuscoli sono
immersi, r raggio dei corpuscoli (scelti di
forma sferica).
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CONFERMA SPERIMENTALE DELLA TEORIA EINSTEINIANA
DEI MOTI CORPUSCOLARI E CONSEGUENTE
CORROBORAZIONE DELLIPOTESI ATOMICO-MOLECOLARE SU
CUI ESSA SI BASA -Poco tempo dopo la
formulazione della teoria einsteiniana dei moti
corpuscolari, Perrin trovò che il valore previsto
da questa teoria per lo spostamento quadratico
medio dei corpuscoli si accordava con le
osservazioni sperimentali.   -Ciò fu visto dalla
maggior parte degli scienziati come una solida
corroborazione delle premesse teoriche adottate
da Einstein e in particolare dellipotesi da lui
ammessa di una costituzione atomico-molecolare
della materia.   -Insieme a quelle di
Smoluchowski e di Perrin, le ricerche di Einstein
sui moti corpuscolari contribuirono quindi in
modo decisivo allaffermazione dellipotesi di
una costituzione atomico-molecolare della
materia. -Ciò fu un risultato di grande portata
perché allepoca la costituzione
atomico-molecolare della materia non era
universalmente accettata e veniva anzi messa in
discussione da vari scienziati, anche di grande
valore.