Elementi di Calcolo delle Probabilit

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Elementi di Calcolo delle Probabilità

• Corso di Teoria dellInferenza Statistica 1
• a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo
• Prof. Filippo DOMMA
• Corso di Laurea in Statistica Facoltà di
  Economia - UniCal

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Prova, Evento e Probabilità
Concetti Primitivi nozioni originarie ed
intuitive.
Prova (o esperimento) è qualsiasi attività
sviluppata in condizioni di incertezza. Gli
esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli
nei quali i risultati non sono certi perché non
univoci.
Evento è uno dei possibili risultati della prova.
Probabilità è un numero associato al presentarsi
di un certo evento e soddisfa alcune proprietà
fondamentali detti assiomi del C.P.
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Def.1. Spazio dei Campioni. E la totalità di
tutti i possibili risultati di un esperimento
concettuale. Verrà indicato con W.
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile. Levento
certo è quello che si verifica sempre, W.
Levento impossibile è quello che non si
verifica mai, f.
Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di
Boole). E linsieme di tutti i possibili
sottoinsiemi di W.
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Diagrammi di Venn
UNIONE
INTERSEZIONE
EVENTI INCOMPATIBILI
NEGAZIONE
EVENTI NECESSARI
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Proprietà
Unione
Intersezione
Commutativa
Idempotenza
Associativa
Distributiva
Inoltre, si ha
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Leggi di De Morgan
(1)
(2)
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,,Ak appartenenti ad W
formano una partizione dello spazio campionario
se
(1)
(2)
cioè se sono a due a due incompatibili e
necessari.
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Esercizio 1
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei
sottoinsiemi A1,2,3,8, B2,3,5,7,8 e
C3,6,7,9,10 di un generico spazio
W1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Determinare i seguenti
sottoinsiemi
Esercizio 2
Un esperimento casuale consiste nellestrarre
contemporaneamente due palline da unurna
contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2
nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo
allesperimento e costruire i sottoinsiemi in cui
si identificano i seguenti eventi
1. Le due palline estratte sono di colore
differente
2. Le due palline estratte sono dello stesso
colore
3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.
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Esercizio 3
Un esperimento casuale consiste nel lancio
contemporaneo di due dadi da gioco posto che le
facce di ciascun dado siano state contraddistinte
con gli interi dall1 al 6, costruire lo spazio
dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i
seguenti eventi
1. I numeri portati dalle facce superiori dei due
dadi sono uguali
2. La somma dei due numeri portati dalle facce
superiori dei due dadi è 5
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di
un dado è doppio di quello riportato dalla faccia
superiore dellaltro.
Esercizio 4
Un esperimento casuale consiste nel lancio
contemporaneo di una moneta e di un dado da
gioco. Si costruiscano lo spazio campionario
relativo allesperimento e i sottoinsiemi a cui
si identificano i seguenti eventi
1. Testa per la moneta e numero pari per il
dado
2. Croce per la moneta e numero inferiore a 5
per il dado.
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Esercizio 5
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con
A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire
lo spazio degli eventi associato allo spazio
campionario in questione.
Esercizio 6
Un esperimento casuale consiste nel rilevare il
numero di teste e delle croci che si possono
presentare nel lancio contemporaneo di tre
monete. Costruire lo spazio campionario e lo
spazio degli eventi ad esso associato.
Esercizio 7
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano
numerate dall1 al 6, sia A levento la faccia
superiore porta il numero 3 e B levento la
faccia superiore porta un numero dispari. A e B
sono eventi disgiunti?
Esercizio 8
Si lancia due volte una moneta sia A levento
testa al primo lancio e B levento nei due
lanci non appare la stessa faccia. A e B sono
disgiunti?
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Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una
proposizione che è considerata vera e non viene
dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria
in questione, Il C.P. presenta i seguenti
assiomi
1.
2.
3.
Siano A e B due eventi incompatibili
allora
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Teoremi fondamentali del C.P.
Teo.1.
Teo.2.
Teo.3.
Teo.4.
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per
esercizio.
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Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è
il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A
e il numero di casi possibili, ammesso che questi
siano equiprobabili.
Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del
caso). In una serie di prove di un dato
esperimento, ripetuto un gran numero di volte in
circostanze più o meno simili, ciascuno degli
eventi possibili si manifesta con una frequenza
che è circa uguale alla sua probabilità.
Lapprossimazione si riduce al crescere del
numero di prove.
Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la
valutazione che il singolo individuo può
coerentemente formulare, in base alle proprie
conoscenze, del grado di avverabilità di un
evento.
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Esercizio 9
Dato un esperimento tale
Calcolare
Esercizio 10
Siano A e B due eventi tali che
Calcolare
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Esercizio 11
Supponiamo di avere unurna che contiene 8
palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13
palline nere (N) e 3 palline gialle (G).
Effettuiamo la seguente prova estrazione di
due palline con riposizione. Calcolare la
probabilità che a) entrambe le palline siano
rosse b) la prima sia rossa e la seconda
bianca c) la prima gialla e la seconda
non-rossa d) la prima sia nera e la seconda
non-bianca e) che almeno una sia rossa.
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Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.
Quando si ha motivo di credere che il verificarsi
di uno o più eventi influenzano il verificarsi di
altri eventi, allora si parlerà di eventi
dipendenti (condizionati). Così, la probabilità
dellevento A dato che si è già verificato
levento B (ovvero levento B condiziona levento
A), è
per
In tal caso, B diventa il nostro nuovo spazio
dei campioni cioè si assume che la prova abbia
dato luogo a qualche risultato in B.
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Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.
1.
2.
3.
Se A1 e A2 sono incompatibili allora
Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per
esercizio.
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Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel
caso in cui esiste un evento condizionante
Teo.5.
Teo.6.
Teo.7.
Teo.8.
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per
esercizio.
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Il teorema di Bayes
Per illustrare il teorema, consideriamo il
seguente esempio supponiamo di avere due urne,
la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6
nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche
e 5 nere. Si estrae a caso unurna e,
successivamente, da questa si estrae una
pallina. Ammesso che la pallina estratta sia
bianca, ci si chiede qual è la probabilità che
essa provenga dallurna U1, se la probabilità di
selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?
Simili problemi si presentano ogni volta che un
evento A può essere visto come il risultato -
EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE -
C1, C2, ,CK incompatibili e tali che uno di
essi deve verificarsi, e interessa valutare la
probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa
che lo ha prodotto.
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Supponiamo che gli eventi C1,,CK formino una
partizione di W, cioè
e
Levento A può essere scritto nel seguente modo
Osservando che
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si ha
Ricordando che
Si può scrivere
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La domanda iniziale era la seguente noto
leffetto A, qual è la probabilità che tale
effetto sia dovuto alla causa Cj ?
Lultima parte è il teorema di Bayes, dove
PCj/A è chiamata probabilità a posteriori, cioè
la probabilità che levento A, già verificatosi,
sia dovuto alla causa Cj mentre, la probabilità
PCj è chiamata probabilità a priori della causa
Cj (nel nostro esempio è la probabilità di
estrarre lurna U1). Infine, PA/Cj sono dette
probabilità probative o verosimiglianze,
rappresentano la probabilità con cui le singole
cause C1, , CK generano levento A. Esse sono
determinate empiricamente dallesperimento.
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Ritornando allesempio iniziale, se indichiamo
con PUi0.5 per i1,2 le probabilità a priori,
la probabilità a posteriori è
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Osservazione il teorema di Bayes può essere
visto come un meccanismo che permette di
correggere le informazioni a priori PCj
sulla base delle osservazioni sperimentali
PA/Cj fornendo per lappunto la probabilità a
posteriori. In questa formula, infatti, si
combinano informazioni a priori e
verosimiglianze, e quanto più la probabilità
a posteriori PCj/A è diversa dalla
probabilità a priori PCj , tanto più la
verosimiglianza ha modificato le informazioni a
priori sulle cause Cj.
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Definizione di Indipendenza.
Se il verificarsi di un evento non modifica la
probabilità del verificarsi di un altro evento
allora è lecito pensare che i due eventi siano
indipendenti questo può essere formalizzato con
la seguente
Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono
indipendenti se e solo se si verifica una delle
seguenti condizioni
1.
2.
3.
25
Teo. 9
Se A e B sono indipendenti allora
1.
2.
3.
La dimostrazioni del teorema è lasciata per
esercizio.
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Esercizio 12
Supponiamo di avere unurna che contiene 5
palline rosse (R), 4 bianche (B),3 nere (N) e 6
gialli (G). Effettuiamo la seguente prova
estrazione di due palline senza
riposizione. Calcolare la probabilità dei
seguenti eventi a) la prima rossa e la seconda
rossa b) la prima bianca e la seconda rossa c)
la prima gialla e la seconda non-rossa d) la
prima non-nera e la seconda bianca e) la prima
gialla e la seconda rossa o bianca f) la prova
generi almeno una pallina rossa.
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Esercizio 13
Si è fatto uno studio per determinare leffetto
dei programmi televisivi sui bambini. Ad un
gruppo di bambini composto da un numero uguale
di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai
stati spaventati da un programma televisivo. Il
25 dei bambini e il 44 delle bambine
rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel
gruppo, determinare la probabilità che 1. il
bambino sia stato spaventato 2. venga scelta una
bambina, sapendo che il selezionato/a è
stato/a spaventato/a 3. sia scelta una bambina,
sapendo che il bambino/a scelta/o non è
stata/o spaventato/a 4. sia scelto un bambino
sapendo che il bambino scelto non è stato
spaventato.
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Esercizio 14
Un costruttore viene rifornito per gli stessi
tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta
B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme
nello stesso magazzino. Per il passato si è
osservato che i prodotti di A erano per il 5
difettosi, mentre quelli di B lo erano nella
misura del 9. La ditta A fornisce 4 volte più
pezzi della ditta B. Avendo scelto un pezzo a
caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non
è difettoso, qual è la probabilità che sia
stato fornito da A?
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Esercizio 15
Siano A e B due eventi dello spazio campionario
tali che
Determinare PB se a) A e B sono disgiunti b)
A e B sono indipendenti c) PrA/B0.6
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Esercizio16
La probabilità di essere malato di cancro in uno
stadio iniziale è 0.1 per una persona in una
certa classe detà. Il test A risulta positivo
nel 99 dei casi in una persona malata e nel 5
dei casi in una persona sana. a) Qual è la
probabilità di una corretta diagnosi con il test
A nella data classe di età? b) Qual è la
probabilità che una persona sia malata se il
test A è negativo?
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Riferimenti Bibliografici. - G. Cicchitelli
(1984), Probabilità e Statistica.
Maggioli Editore. Rimini. C. Pag. 1-23. -
A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988),
Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill,
Milano. MGB. Pag. 1-53. - D. Piccolo e C.
Vitale (1984), Metodi Statistici per lanalisi
economica. Il Mulino, Bologna. PV. Pag.
119-150. - R. Orsi (1995), Probabilità ed
Inferenza Statistica, Il Mulino, Bologna.
O. 15-55. - D. Piccolo (2000), Statistica,
il Mulino, Bologna. P. Pag. 215-291.