Diapositiva 1

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(No Transcript)
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I quadrilateri
Il quadrilatero è il più comune tra i poligoni ed
è presente nelle forme e negli oggetti che ci
circondano.
Costruibilità di un quadrilatero
DOMANDA
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• Attività didattica
• Costruiamo dei quadrilateri con cartoncino e
  graffette a farfalla e facciamo notare che i
  quadrilateri sono figure deformabili rispetto ai
  triangoli.
• Domande
• Quanti vertici hanno?
• Quanti lati hanno?
• Quanti angoli hanno?
• Quante diagonali hanno?
• I lati, gli angoli e i vertici sono in ugual
  numero?

Definizione Un poligono con quattro lati e
quattro angoli si dice quadrilatero.
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Possiamo notare che il quadrilatero può essere
visto come la somma di due triangoli
La somma degli angoli interni di un quadrilatero
è sempre 360.
Osservazione
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(No Transcript)
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Il trapezio
Osserviamo questi oggetti ed individuiamo tra
essi i trapezi presenti
Definizione Il trapezio è un quadrilatero
particolare avente 2 lati paralleli se gli altri
due non sono paralleli si dicono lati obliqui.
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Possiamo notare che le rette r ed r, parallele
tra loro, se tagliate da due trasversali s ed s,
formano coppie di angoli coniugati interni che
sono supplementari.

• I trapezi possono essere classificati in tre
  categorie
• isoscele
• scaleno
• rettangolo

Trapezio scaleno Non gode di particolari
proprietà i lati obliqui non sono congruenti
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Trapezio rettangolo I lati obliqui non sono
congruenti ed uno di essi è perpendicolare alle
basi
Trapezio isoscele Il trapezio isoscele ha i lati
obliqui congruenti
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Attività didattica Creiamo, con cartoncino e
forbici, un trapezio isoscele e disegniamo la
perpendicolare alle due basi passante per i punti
medi. Procediamo come in figura
Ripiegando il cartoncino lungo la perpendicolare
MN, notiamo che le due parti coincidono.
DOMANDA
Cosa si può dedurre?
Riutilizziamo il trapezio precedente e disegniamo
le due perpendicolari AH e DK.
Come prima ripieghiamo il cartoncino lungo la
perpendicolare MN.
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DOMANDA
Cosa si può dedurre?
Adesso creiamo un altro trapezio, in carta
velina, uguale al primo e tracciamo le diagonali
come in figura.
Ribaltando orizzontalmente il secondo trapezio e
sovrapponendolo sul primo, notiamo che le
diagonali coincidono
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DOMANDA
Le diagonali di un trapezio isoscele sono
congruenti
Cosa si può dedurre?
OSSERVAZIONE Possiamo osservare che un trapezio
rettangolo, isoscele o scaleno, può essere
ottenuto tagliando un triangolo rispettivamente
rettangolo, isoscele o scaleno con una retta
parallela alla base
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Il parallelogramma
Definizione Si dice parallelogramma un
quadrilatero avente i lati opposti a due a e
paralleli.
Ovviamente il parallelogramma possiede le
proprietà dei trapezi a cui si aggiungono le
seguenti
1. In un parallelogramma gli angoli opposti sono
congruenti
sono angoli coniugati interni
rispetto a coppie di rette parallele tagliate da
una trasversale e quindi supplementari

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2. In un parallelogramma i lati opposti sono
congruenti
Consideriamo un parallelogramma e la sua
diagonale AC questa lo divide in due triangoli
che sono congruenti per il III criterio di
congruenza dei triangoli. Come conseguenza
possiamo dire che gli angoli B e D sono
congruenti.
Se consideriamo la diagonale BD, faremmo le
stesse deduzioni per cui otterremmo che anche gli
angoli A e C sono congruenti.
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3. In un parallelogramma le diagonali si
incontrano in un punto che le divide in due parti
congruenti (punto medio)
Consideriamo il parallelogramma ABCD e le sue
diagonali notiamo che si incontrano in un punto
O. Tagliamo il parallelogramma in due triangoli
secondo la diagonale AC. I due triangoli ACD e
ABC sono congruenti per il primo criterio, quindi
posso sovrapporli facendoli coincidere
perfettamente. Osserviamo quindi che OB OD. La
stessa considerazione possiamo farla tagliando il
parallelogramma lungo la diagonale DB constatando
ancora che ADB DBC per cui AO OC. Quindi
possiamo affermare che un parallelogramma è
diviso da ciascuna delle diagonali in due
triangoli congruenti.
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Il rettangolo
Definizione Il rettangolo è un parallelogramma
avente i quattro angoli congruenti (e quindi
retti).
DOMANDA
Quali tra i seguenti poligoni è un rettangolo?
I seguenti poligoni sono tutti dei rettangoli!
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Ovviamente il rettangolo possiede le proprietà
dei parallelogrammi a cui si aggiunge la seguente
Dimostrazione I triangoli DAB e DCB sono
congruenti poiché hanno cateti congruenti e di
conseguenza anche ACBD.
Le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
Riassumiamo le tutte le proprietà di cui gode il
rettangolo

• I lati opposti sono congruenti e paralleli a due
  a due
• I quattro angoli sono congruenti e quindi retti
• Le diagonali sono congruenti e si bisecano (si
  incontrano nel punto medio)

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Il rombo
Definizione Il rombo è un parallelogramma
avente tutti e quattro i lati congruenti.
Poiché i rombi sono particolari parallelogrammi,
per essi devono valere tutte le proprietà
relative ai parallelogrammi, alle quali si
aggiungono le seguenti

• Le diagonali sono perpendicolari
• Le diagonali sono bisettrici degli angoli interni
  opposti

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Attività didattica
Costruiamo, in carta velina, un rombo come in
figura e proviamo le due proprietà Pieghiamo il
rombo lungo le diagonali e notiamo che i
triangoli DOC, COB, BOA, AOD sono congruenti e
che langolo in O di ciascun triangolo è di .
Pertanto le diagonali risultano perpendicolari
tra loro. Dalla congruenza dei 4 triangoli DOC,
COB, BOA, AOD segue anche che

Riassumendo le proprietà del rombo sono
quindi le diagonali sono bisettrici degli angoli
interni opposti.

• I 4 lati sono tutti tra loro congruenti, e
  paralleli a due a due
• Gli angoli sono a due a due congruenti, due
  acuti e due ottusi
• Le diagonali sono perpendicolari, sono
  bisettrici degli angoli e si bisecano tra loro

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Il quadrato
Definizione Il quadrato è un parallelogramma
avente tutti i lati congruenti e tutti gli angoli
retti e quindi congruenti.
Possiamo considerare il quadrato come un
parallelogramma che gode sia delle proprietà del
rettangolo sia delle proprietà del rombo.
Riassumiamole

• I lati sono tutti e 4 quattro congruenti e a due
  a due paralleli
• Gli angoli sono tutti retti
• Le diagonali sono congruenti, sono
  perpendicolari, sono bisettrici degli angoli e si
  bisecano
• E un poligono regolare

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Lesame dei quadrilateri e dei suoi sottoinsiemi
può essere visualizzato con un diagramma di
Eulero-Venn
QUADRILATERI
TRAPEZI
PARALLELOGRAMMI
ROMBI
RETTANGOLI
QUADRATI
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MAPPA CONCETTUALE