Kleiner Ausflug in Logik und Verkehrssteuerung

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Kleiner Ausflug in Logikund Verkehrssteuerung
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Ein logisches Rätsel

• Ausgangslage Drei Frauen stehenhintereinander.
  Jede trägt einen Hut auf dem Kopf und sieht nur
  die Hüte der voran stehenden Personen. Die Hüte
  sind entweder weiss oder schwarz. Nicht alle Hüte
  haben dieselbe Farbe.
• Frage Kann eine Frau die Farbe des eigenen Hutes
  nennen? (Wir gehen davon aus, dass eine Frau dies
  auch tut, falls sie es kann.)

Schwarz? Weiss?
Schwarz? Weiss?
Schwarz? Weiss?
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Ja, es geht!

• Falls die hinterste Frau vorne zwei gleichfarbige
  Hüte sieht, entscheidet sie sich für die andere
  Farbe. Nicht alle Hüte haben ja die gleiche
  Farbe.
• Falls die hinterste Frau nichts sagt, weiss die
  mittlere Frau, dass ihr Hut die andere Farbe hat
  als der von der vordersten Frau. Denn sonst hätte
  ja die hinterste Frau zwei gleiche Hüte gesehen
  und dies gesagt.
• logisch?

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Idee logische Formel zur Sicherheitan einer
Strassenkreuzung!

• Anforderung keine Kollisionen bei Kreuzungen!

Kollision möglich!...
Was muss gelten, damit keine Kollisionen möglich
sind? Wie kann man das spezifizieren?
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Programm heute

• Interaktive Einführung Logik (40)
• Logik als Grundlage der Rationalität
• Einführung Aussagenlogik
• Aussagen
• Operatoren
• Wahrheitstabellen
• Aufgaben zu LogicTraffic (45)
• Selbstständig Aufgaben lösen, mit Compi
• Lösungen besprechen

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Logik als Grundlageder Rationalität
Logik ist letztendlich die Grundlage jeglicher
Wissenschaft und jeglicher rationaler
Argumentation.

• Das heisst Wir alle müssen einige Grundregeln
  des logischen Denkens akzeptieren, sonst gibt es
  kein vernünftiges Denken (und Handeln).

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Der Satz vom Widerspruch
Eine Aussage kann nicht gleichzeitig mit ihrem
Gegenteil wahr sein.

• z.B. Zürich ist ein Kontinent. und Zürich ist
  kein Kontinent. kann nicht gleichzeitig wahr
  sein.
• weder beweis- noch widerlegbar.
• Aristoteles, Begründer der Logik 384 v. Chr.
  in Stageira 322 v. Chr. in Chalkis

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Logische Folgerung

• z.B. Aussage 1 Wenn es regnet, wird die
  Straße nass.
• Aussage 2 Es regnet.
• Folgerung Die Straße wird nass.

Aus den zwei Aussagen wenn A, dann B und A
kann die Aussage B hergeleitet werden.

• Auf diese Weise können wir argumentieren und
  mittels gemeinsam anerkannten Regeln und wahren
  Aussagen neue Aussagen als wahr herleiten.

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Was sind Aussagen?
Aussagen sind Sätze, die entweder wahr (1) oder
falsch (0) sind.

• 246 1
• Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz. 0
• Peter (23) ist älter als Paul (17). 1

• Keine Aussagen
• Wo ist der Bahnhof?
• Ruhe jetzt!

• Bern ist eine schöne Stadt.
• Dieses Wasser (20) ist kalt.

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Zusammengesetzte Aussagen

• sind ebenfalls Aussagen, alsoauch entweder wahr
  oder falsch.
• Peter (23) ist älter als Paul (17) und 449. 0
• Peter (23) ist älter als Paul (17) und 246. 1
• Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz oder Bern
  ist die Hauptstadt der Schweiz. 1

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Aussagenlogik

• Aussagen
• werden durch Variablen repräsentiert
• haben Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1)
• A Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz. 0
• B 246 1
• Aussagenlogische Formeln sind zusammengesetzte
  Aussagen
• Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1)
• A UND B 0
• A ODER B 1
• (NICHT A) UND B 1

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George Boole

• Begründer der Aussagenlogik
• englischer Mathematiker 1815 in Lincoln 1864
  in Ballintemple (Irland)
• Boolesche Variablen
• Können immer nur einen von zwei Werten annehmen
• true/false, wahr/falsch, 1/0
• In vielen Programmiersprachen als Datentyp
  vorhanden
• Oft gebraucht für bedingte Anweisungen
• z.B. in Java, C, PHP, Pascal oder VisualBasic

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Logische Operatoren

• Logische Operatoren verbinden Aussagen zu neuen
  (zusammengesetzten) Aussagen
• Welche Operatoren gibt es?

• NICHT, UND, ODER
• Sind die gebräuchlichsten, es gibt noch mehr.
  (z.B. wenn/dann)

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NICHT (Negation)

• Abgekürzte Schreibweise
• Wahrheitstabelle

A A
0 1
1 0
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UND (Konjunktion)

• Abgekürzte Schreibweise ?
• Wahrheitstabelle

A B A ? B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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ODER (Disjunktion)

• Abgekürzte Schreibweise ?
• Wahrheitstabelle

A B A ? B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
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Aussagenlogik (Kurzreferenz)
Variablen Variablen Negation NICHT KonjunktionUND Disjunktion ODER
A B A A?B A?B
0 0 1 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 1 0 1 1

• Aussagenlogischen Formeln, z.B.
• (A?B)?(A?B)
• A?(B?C)?(D?B)

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Jetzt Aussagen praktischVerkehrssteuerung
Logik

• Verkehrssituation
• Aussagen
• A Spur A hat grün.
• B Spur B hat grün.
• Aufgabe Beschreibe obige Situation mit einer
  zusammen-gesetzten Aussage! (d.h. mit Hilfe von
  logischen Operatoren und der den Variablen A und
  B.)Bemerkung Benutze dazu die erhaltene Tabelle.

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Jetzt Aussagen praktischVerkehrssteuerung
Logik

• Verkehrssituation
• Aussagen
• A Spur A hat grün.
• B Spur B hat grün.
• Aufgabe Beschreibe obige Situation mit einer
  zusammen-gesetzten Aussage! (d.h. mit Hilfe von
  logischen Operatoren und der den Variablen A und
  B.)Bemerkung Benutze dazu die erhaltene Tabelle.

Lösung A ? (B)
20
Lösung A ? (B)
A B A ? (B)


1 0 1

21
Lösung A ? (B)
A B A ? (B)
0 0 0

1 0 1

22
Lösung A ? (B)
A B A ? (B)
0 0 0
0 1 0
1 0 1

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Lösung A ? (B)
A B A ? (B)
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
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Wahrheitstabelle

• Gibt für alle Kombinationen der Variablenwerte
  die Wahrheitswerte einer aussagenlogischen Formel
  an.

A B A ? (B)
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
25
Idee Formel zur Sicherheitan einer
Strassenkreuzung!

• Anforderung keine Kollisionen bei Kreuzungen!
• Was muss gelten, damit keine Kollisionen möglich
  sind? Wie sieht die Wahrheitstabelle aus? Gibt es
  aussagenlogische Formeln dafür?

Kollision möglich!...
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Programm LogicTraffic

• Grundidee Finde eine aussagenlogische Formel,
  welche die gegebene Verkehrssituation sicher
  macht.
• Verschiedene Strategien!

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LogicTraffic
Wahrheitstabelle
Verkehrssituation
Formel zurWahrheitstabelle
Formeleditor
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Statusanzeige

• unsicher
• (Kollisionen möglich)

sicher (keine Kollisionen, abermehr Grünphasen
möglich)
optimal (keine Kollisionen und nicht mehr
Grünphasen möglich)
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Maus - Interaktionspunkte
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Visualisierung des Parse-Baums
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LogicTraffic - Demo!
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Jetzt Ihr

• Anleitung durchlesen
• Aufgaben bearbeiten mit Hilfe von LogicTraffic