Assicurazione Vita e Mercato del Risparmio Gestito

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Assicurazione Vita e Mercato del Risparmio Gestito

• Modello APT

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Ancora sullarbitraggiomodello APT

• Ipotesi statistiche
• I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo
  unattività finanziaria da t a T sono generati da
• ri ai bi f , con E(f) 0, Var(f) 1
• Ipotesi finanziarie
• Esiste un titolo risk-free che da t a T rende r
• Non esistono frizioni e costi di transazione
• Non devono esistere possibilità di arbitraggio

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Rendimenti attesi, volatilità e correlazione

• Ipotesi statistiche
• I rendimenti ottenuti acquistando e vendendo le
  attività finanziarie i e j da t a T sono generati
  da
• ri ai bi f , rj aj bj f
• con E(f) 0, Var(f) 1
• Ipotesi finanziarie
• Rendimenti attesi E(ri) ai, E(rj) aj
• Volatilità ?i bi, ?j bj
• Covarianza cov(ri, rj) bi bj ,correlazione 1

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Modello APT a un fattore

• Costruisco un portafoglio con due titoli i e j in
  modo da eliminare la dipendenza da f (un
  portafoglio immunizzato da variazioni di f)
• Operativamente scelgo wi bj /(bj - bi)
• Lassunzione di non-arbitraggio implica
• wi ri (1- wi ) rj r da cui
• (ai - r)/ bi (aj - r )/ bj ? per ogni i e
  j

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Il premio per il rischio

• Per ogni attività finanziaria i deve risultare
• E( ri ) ai r bi ? r ?i ?
• E(Rendimento) risk-free risk-premium
• Risk premium ?i ? dove
• ?i rischio del titolo i-esimo
• ? prezzo di mercato del rischio
• N.B. Il prezzo di mercato del rischio deve essere
  lo stesso per tutti i prodotti finanziari

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APT esempi

• Il rendimento atteso del MIB30 è 4, il
  rendimento del titolo privo di rischio è 2.5 ed
  il prezzo di mercato del rischio è 6.
• Ricaviamo la volatilità del MIB30 come
• (0.04 0.025)/0.06 0.25 25
• Una posizione sul MIB30 con ? 0.5 avrà
  rendimento atteso pari a
• E(r) 0.025 0.060.50.25 0.0325 3.25

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Modello APT a N fattori

• Lestensione naturale del modello APT consiste
  nellassumere che il rendimento di tutti i titoli
  sia funzione di un numero N di fattori di
  rischio.
• Il modello che genera i rendimenti è

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Il portafoglio immunizzato

• Poiché con un solo fattore di rischio utilizziamo
  2 titoli per calcolare il portafoglio
  immunizzato, è naturale ritenere che con N
  fattori di rischio siano necessari N 1 titoli
  per ottenere portafogli immunizzati agli N
  fattori di rischio.
• Questo portafoglio implica quindi che, per ogni
  fattore di rischio j,

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Il principio di non arbitraggio

• Per escludere possibilità di arbitraggio il
  portafoglio immunizzato deve rendere quanto il
  titolo privo di rischio

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Il problema in forma di matrice
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La soluzione

• Sappiamo che un sistema lineare omogeneo come
  quello della precedente slide ha soluzione non
  banale, cioè non semplicemente wi 0 per tutti
  gli i, se e solo se la matrice è a rango ridotto,
  cioè con determinante uguale a zero. Sappiamo
  anche che in questo caso ogni riga può essere
  scritta come combinazione lineare delle altre. In
  particolare possiamo scrivere

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Premio per il rischio

• Lestensione del modello a N fattori di rischio è
  quindi immediata.
• Il rendimento atteso di ogni attività finanziaria
  deve essere uguale a
• Il rendimento risk-free r
• Il premio per il rischio
• Il premio per il rischio è il prodotto interno di
  
• Prezzi di mercato dei fattori di rischio
• Sensitività di ciascuna attività finanziaria ai
  fattori di rischio (factor loading)
• Si noti che lesclusione di possibilità di
  arbitraggio richiede che i prezzi di mercato dei
  fattori di rischio siano gli stessi per tutte le
  attività finanziarie.

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Unestensione del modello APT

• Unestensione naturale del modello APT consiste
  nellassumere che il rendimento di tutti i titoli
  sia funzione di un numero N di fattori di rischio
  e di elementi di rischio specifici di ciascuna
  attività finanziaria

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Rischio sistematico e specifico

• Il modello APT individua un numero finito di
  fattori di rischio che influenzano tutti i titoli
  presenti sul mercato ed i portafogli
• Il rischio associato a questi fattori è rischio
  sistematico, o non diversificabile, e a ciascuna
  di queste fonti di rischio viene associato un
  premio per il rischio.
• Il rischio non associato a questi fattori può
  essere ridotto diversificando il portafoglio, e
  non viene prezzato dal mercato (rischio
  idiosincratico)

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Modello APT riassunto

• Il modello APT descrive le relazioni tra rischio
  e rendimento di ciascun titolo
• Il rischio è ripartito in rischio specifico, o
  idiosincratico, che è diversificabile, e rischio
  sistematico, che invece è retribuito
• Lesclusione di possibilità di arbitraggio
  richiede che il rendimento atteso di ogni titolo
  possa essere scomposto in rendimento privo di
  rischio (risk-free) e premio per il rischio, e
  che il premio per il rischio sia il prodotto
  interno (cioè la somma dei prodotti) dei prezzi
  di mercato dei fattori di rischio e delle
  sensitività al rischio. Inoltre, il prezzo di
  mercato dei fattori di rischio deve essere lo
  stesso per tutte le attività finanziarie, che
  invece differiscono tra loro per sensitività
  diverse ai diversi fattori di rischio

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Probabilità oggettiva e EMM

• Dal modello APT (e CAPM) sappiamo che
• E(Y(T)/Y(t) 1) r ??Y
• mentre sotto la misura risk-adjusted
• EQ(Y(T)/Y(t) 1) 1/P(t,T) r
• In un modello binomiale
• ?Y
• con p misura di probabilità oggettiva

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La relazione tra le misure

• Calcolando la differenza tra le misure
• E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t)) ??Y
• E(Y(T)/Y(t)) - EQ(Y(T)/Y(t))
  (p-Q)(Y(H)-Y(L))/Y(t)
• e dalla volatilità sotto la misura oggettiva
• p-Q ?
• Laggiustamento per il rischio è quindi ottenuto
  cambiando la probabilità oggettiva

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Informazione storica ed implicita

• Informazione storica
• Probabilità oggettiva
• Il rendimento dei titoli
• Eri rf ??i
• Valutazione del rischio

• Informazione implicita
• Probabilità risk-neutral
• Il rendimento dei titoli
• Eri rf
• Valutazione derivati

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Teorema di Girsanov

• Per il teorema di Girsanov, dato un processo di
  Wiener z(t) definito sotto la misura di
  probabilità P e definito un nuovo processo
• z(t) z(t) ?dt
• è possibile, sotto opportune condizioni di
  regolarità su ?, individuare una nuova misura di
  probabilità, ad es. Q, sotto la quale z(t) è un
  processo di Wiener.
• Per il teorema di Girsanov, cambiare la misura di
  probabilità è equivalente a cambiare il drift del
  processo stocastico

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Teorema di Girsanov applicazione

• Dal modello APT
• dY(t)) (r ??)Ydt ? Ydz(t)
• Se definiamo una misura Q tale che
• EQ(d(z(t) ?dt) 0
• possiamo scrivere
• dY(t)) rYdt ? Ydz(t)
• con dz(t) dz(t) ?dt e z(t) un processo di
  Wiener sotto la misura di probabilità Q.

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La probabilità risk-neutral

• Sotto la misura di probabilità Q
• EQ(dY(t)) rYdt
• Inoltre dal lemma di Ito otteniamo
• EQ(dC(t)) (C t rY CY ½ ?2Y2 CYY)dt
• e dalla fundamental PDE
• EQ(dC(t)) r Cdt

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Valutazione risk-neutral

• C(Y,t) exp(-r(T-t)) EQ(C(Y,T))
• Anche nel tempo continuo vige la stessa regola di
  valutazione basata sul principio di martingala.
  Nellipotesi di tasso dinteresse privo di
  rischio costante la valutazione del contratto
  derivato avviene calcolando il valore atteso alla
  scadenza scontato con il tasso risk-free.